AMC 8 · 2015 · #18

학년 4 algebrapattern

sequences-arithmeticpattern-recognitionmean-median-mode-range identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

등차수열은 첫째 항 이후의 각 항을 바로 앞 항에 일정한 수를 더해 얻는 수열입니다. 예를 들어 $2,5,8,11,14$ 는 첫째 항이 $2$ 이고 더해지는 수가 $3$ 인 다섯 개 항의 등차수열입니다. 아래 $5\times5$ 배열에서 각 행과 각 열은 다섯 개 항의 등차수열입니다. 한가운데 칸에는 그림과 같이 $X$ 라고 적혀 있습니다. $X$ 의 값은 얼마일까요?

$\textbf{(A) }21\qquad\textbf{(B) }31\qquad\textbf{(C) }36\qquad\textbf{(D) }40\qquad \textbf{(E) }42$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 격자에 숫자가 채워져 있는데, 모든 행이 등차수열이고 모든 열도 등차수열입니다. 네 모서리만 보이고 — 왼쪽 위 $1$, 오른쪽 위 $25$, 왼쪽 아래 $17$, 오른쪽 아래 $81$ — 한가운데 칸에 $X$ 라고 쓰여 있습니다. $X$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 격자는 $5 \times 5$; $5$ 개의 행은 각각 $5$ 개 항으로 이루어진 등차수열; $5$ 개의 열도 각각 $5$ 개 항으로 이루어진 등차수열; 모서리: 왼쪽 위 $= 1$, 오른쪽 위 $= 25$, 왼쪽 아래 $= 17$, 오른쪽 아래 $= 81$; 선택지: (A) $21$, (B) $31$, (C) $36$, (D) $40$, (E) $42$

구하는 것: 한가운데 칸($3$행 $3$열)의 값 $X$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

빈칸 $25$ 개를 한꺼번에 채우려 하면 막막합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 행·열 중 딱 세 군데만 보면 됩니다 — 1행 한가운데($1$ 과 $25$ 사이), 5행 한가운데($17$ 과 $81$ 사이), 그리고 그 두 값으로 3열 한가운데. 도구 #5(패턴 찾기)는 각 단계를 한 줄로 끝내는 비결을 알려 줍니다 — 항의 개수가 홀수인 등차수열에서는 가운데 항이 양 끝 항의 평균과 같습니다. 그래서 공차를 따로 구할 필요조차 없습니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

핵심이 되는 등차수열 패턴을 먼저 봅니다.
짧은 수열 $2, 5, 8, 11, 14$ 를 적어 봅시다.
가운데 항 $8$ 은 정확히 $(2 + 14) / 2$ 입니다.
항의 개수가 홀수인 등차수열에는 항상 같은 규칙이 성립합니다 — 가운데 항 = 첫째 항과 마지막 항의 평균.

$$\text{가운데 항} = \dfrac{\text{첫째 항} + \text{마지막 항}}{2}$$

💡 등차수열 항 몇 개를 직접 만들어 보고 가운데 = 평균을 발견하는 것은 4학년 "규칙을 만들고 규칙의 특징 찾기" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

쪼갠 문제 1: 1행 가운데 칸을 구합니다.
1행은 첫째 항 $= 1$, 마지막 항 $= 25$ 인 $5$ 항 등차수열입니다.
1단계의 패턴으로 1행 3열은 $1$ 과 $25$ 의 평균입니다.

$$\text{1행 3열} = \dfrac{1 + 25}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$

💡 $1 + 25 = 26$ 은 4학년 "여러 자리 수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.2 단계 3

쪼갠 문제 2: 5행 가운데 칸을 구합니다.
5행도 첫째 항 $= 17$, 마지막 항 $= 81$ 인 $5$ 항 등차수열이므로 똑같이 "가운데 = 평균" 을 씁니다.

$$\text{5행 3열} = \dfrac{17 + 81}{2} = \dfrac{98}{2} = 49$$

💡 $98 \div 2 = 49$ 는 $98$ 을 $2$ 묶음으로 똑같이 나누는 3학년 "몫의 의미 해석" 기능입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

쪼갠 문제 3: $X$ 는 3열 3행에 있습니다.
3열 또한 $5$ 항 등차수열인데, 첫째 항($13$, 1행에서 구함)과 마지막 항($49$, 5행에서 구함)을 이미 알고 있으니, "가운데 = 평균" 을 한 번 더 적용합니다.

$$X = \dfrac{13 + 49}{2} = \dfrac{62}{2} = 31 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 결국 전체 문제는 "두 수를 더해 반으로 나누기" 라는 4학년 계산을 세 번 반복한 것이 전부입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 핵심이 되는 등차수열 패턴을 먼저 봅니다. 짧은 수열 $2, 5, 8, 11, 14$ 를 적어 봅시다. 가운데 항 $8$ 은 정확히 $(2 +

[2] #7 4.NBT.B.4 쪼갠 문제 1: 1행 가운데 칸을 구합니다. 1행은 첫째 항 $= 1$, 마지막 항 $= 25$ 인 $5$ 항 등차수열입니다. 1단계의 패턴으로

[3] #7 3.OA.A.2 쪼갠 문제 2: 5행 가운데 칸을 구합니다. 5행도 첫째 항 $= 17$, 마지막 항 $= 81$ 인 $5$ 항 등차수열이므로 똑같이 "가운데

[4] #7 4.NBT.B.4 쪼갠 문제 3: $X$ 는 3열 3행에 있습니다. 3열 또한 $5$ 항 등차수열인데, 첫째 항($13$, 1행에서 구함)과 마지막 항($49$,

검토

합리성 확인: 3열의 공차로 검산해 봅시다. $13$ 에서 $49$ 까지 $5$ 항이므로 공차 $d = (49 - 13)/4 = 9$. 3열은 $13, 22, 31, 40, 49$ 가 되고, 셋째 항은 정확히 $31$ 입니다. 직관적으로도 네 모서리의 평균 $\tfrac{1 + 25 + 17 + 81}{4} = 31$ 과 정확히 일치합니다 — 모든 행·열이 등차수열인 격자에서는 두 대각선이 중앙에서 만나므로, 중앙값이 네 모서리의 평균과 같아지기 때문입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 선택지를 넣어 3열의 공차가 일정해지는지 확인할 수도 있지만 더 느립니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 숨겨진 모서리 네 개를 $a, b, c, d$ 로 두고 연립방정식을 세워도 풀리지만, "가운데 = 평균" 패턴이 덧셈 세 번 · 반으로 나누기 세 번으로 끝내 주는 문제에 굳이 큰 도구를 쓸 필요가 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 패턴의 특징 찾기 (항의 개수가 홀수인 등차수열에서 가운데 항이 양 끝 항의 평균과 같다는 규칙을 인식하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 하기 (각 중앙값을 구하기 위한 양 끝 합 $1 + 25 = 26$, $17 + 81 = 98$, $13 + 49 = 62$ 계산에 사용.)
3.OA.A.2 자연수의 몫의 의미 해석 (각 합을 $2$ 로 나누어($26 \div 2 = 13$, $98 \div 2 = 49$, $62 \div 2 = 31$) 등차수열의 가운데 항을 구하는 데 사용.)

⭐ $5 \times 5$ 격자라 커 보이지만, 결국 필요한 건 4학년짜리 한 가지 아이디어 — 등차수열의 가운데 항은 첫째·마지막 항의 평균과 같다 — 를 세 번 쓰는 것뿐이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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