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AMC 8 · 2015 · #25

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-rectanglesarea-trianglesspatial-visualizationreflection-symmetry identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 55인치짜리 정사각형의 네 모서리에서 가로세로 11인치짜리 정사각형을 잘라 냅니다. 남은 공간 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이는 몇 제곱인치일까요?

(A) 9(B) 12+42(C) 15(D) 9+45(E) 21\textbf{(A) }9\qquad\textbf{(B) }12+4\sqrt{2}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }9+4\sqrt{5}\qquad\textbf{(E) }21

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
$12+4\sqrt{2}$
(C)
15
(D)
$9+4\sqrt{5}$
(E)
21
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 정사각형의 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 작은 정사각형을 각각 잘라내면 십자(플러스) 모양 영역이 남습니다. 이 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 바깥 정사각형은 한 변이 $5$ 인치인 $5 \times 5$ 정사각형; 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 작은 정사각형이 잘려나감; 안에 들어가는 정사각형은 기울어져도 되고, 그 꼭짓점은 잘려나간 자리의 안쪽 모서리에 닿을 수 있음; 선택지: (A) $9$, (B) $12 + 4\sqrt{2}$, (C) $15$, (D) $9 + 4\sqrt{5}$, (E) $21$

구하는 것: 십자 모양 영역 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이(제곱인치)

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 정사각형의 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 작은 정사각형을 각각 잘라내면 십자(플러스) 모양 영역이 남습니다. 이 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 바깥 정사각형은 한 변이 $5$ 인치인 $5 \times 5$ 정사각형; 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 작은 정사각형이 잘려나감; 안에 들어가는 정사각형은 기울어져도 되고, 그 꼭짓점은 잘려나간 자리의 안쪽 모서리에 닿을 수 있음; 선택지: (A) $9$, (B) $12 + 4\sqrt{2}$, (C) $15$, (D) $9 + 4\sqrt{5}$, (E) $21$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

AMC 8 마지막 문제처럼 보이지만 도구 #1(그림 그리기) 하나면 한 줄짜리 넓이 문제로 바뀝니다 — 십자 모양과 그 안에 들어가는 가장 큰 기울어진 정사각형을 직접 그려 보면, 그 정사각형의 네 꼭짓점이 잘려나간 자리의 안쪽 모서리에 정확히 닿아야 한다는 게 보입니다 (그래야 잘린 부분을 침범하지 않으면서 가장 바깥쪽까지 뻗을 수 있음). 그림이 정확해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 그 기울어진 정사각형을 가운데 똑바로 놓인 $3 \times 3$ 정사각형 + 네 변에 붙는 합동인 직각삼각형 $4$ 개로 나눌 수 있고, 두 넓이를 더하면 끝 — 대수도, 피타고라스도 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1
  • 십자 모양을 모눈종이에 그려 봅니다.
  • $5 \times 5$ 정사각형의 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 칸을 지우면, 가운데에 꼭짓점이 $(1,1), (4,1), (4,4), (1,4)$ 인 작은 정사각형이 자연스럽게 생기는데, 이 네 점이 바로 "홈" 의 안쪽 꼭짓점입니다.
$$\text{가운데 똑바른 정사각형의 한 변} = 5 - 1 - 1 = 3.$$

💡 모눈종이에 그려 보면 "$5$ 칸 중 양 끝 $1$ 칸씩 잘리고 가운데 $3$ 칸" 이 바로 보입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 2
  • 이번엔 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 기울어진 정사각형을 그립니다.
  • 네 꼭짓점은 십자 모양 안에서 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 점들이어야 하는데, 그 위치가 바로 네 홈의 안쪽 모서리 — 즉 십자 긴 변의 중간 지점입니다.
  • 네 점 $(1,5), (5,4), (4,0), (0,1)$ 을 이으면 가장 큰 정사각형이 나옵니다.
$$\text{내접 정사각형의 네 꼭짓점: } (1,5),\; (5,4),\; (4,0),\; (0,1).$$

💡 꼭짓점을 좌표평면에 직접 찍어 보는 것은 5학년 좌표 표기 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3
  • 쪼개기.
  • 이 기울어진 정사각형 안에는 1단계의 똑바른 $3 \times 3$ 정사각형이 그대로 들어 있고, 나머지는 네 변 바깥쪽에 붙는 합동인 직각삼각형 $4$ 개입니다.
  • 각 삼각형은 밑변이 $3$ (가운데 정사각형의 한 변), 높이가 $1$ (홈의 깊이) 입니다.
$$\text{기울어진 정사각형 넓이} = (\text{가운데 } 3\times 3 \text{ 정사각형}) + 4 \times (\text{홈 삼각형}).$$

💡 기울어진 다각형을 똑바른 사각형 + 직각삼각형들로 쪼개는 것은 6학년 "넓이를 부분으로 나눠 구하기" 전략입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 4

가운데 정사각형의 넓이를 계산합니다.

$$3 \times 3 = 9.$$

💡 정사각형 넓이 = 한 변 $\times$ 한 변, 3학년 넓이 공식 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5
  • 네 직각삼각형의 넓이를 계산합니다.
  • 각 삼각형은 두 직각변이 $3$ 과 $1$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \tfrac{3}{2}$, 그게 $4$ 개입니다.
$$4 \times \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 4 \times \tfrac{3}{2} = 6.$$

💡 두 직각변이 $b$ 와 $h$ 인 직각삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}bh$ — 6학년.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 6

조각들을 더합니다.

$$\text{가장 큰 내접 정사각형의 넓이} = 9 + 6 = 15 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}.$$

💡 겹치지 않는 부분들의 넓이를 합하는 것은 3학년 "넓이의 가법성" 입니다.

[1] #1 3.MD.C.7 십자 모양을 모눈종이에 그려 봅니다. $5 \times 5$ 정사각형의 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 칸을 지우면, 가운데에 꼭짓점이 $
[2] #1 5.G.A.2 이번엔 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 기울어진 정사각형을 그립니다. 네 꼭짓점은 십자 모양 안에서 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 점들이어야
[3] #7 6.G.A.1 쪼개기. 이 기울어진 정사각형 안에는 1단계의 똑바른 $3 \times 3$ 정사각형이 그대로 들어 있고, 나머지는 네 변 바깥쪽에 붙는 합동인
[4] #7 3.MD.C.7 가운데 정사각형의 넓이를 계산합니다.
[5] #7 6.G.A.1 네 직각삼각형의 넓이를 계산합니다. 각 삼각형은 두 직각변이 $3$ 과 $1$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot
[6] #7 3.MD.C.7 조각들을 더합니다.

검토

합리성 확인: 원래 $5 \times 5$ 정사각형의 넓이는 $25$ 이고, 십자 모양 영역의 넓이는 $25 - 4 = 21$ 로 정확히 답 (E) 와 같습니다. 그 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이는 $21$ 보다는 작아야 하고, 똑바른 가운데 $3 \times 3$ 정사각형(=$9$)보다는 분명히 커야 합니다(기울이면 더 넓힐 수 있으니까). 그 사이의 후보는 $12 + 4\sqrt{2} \approx 17.66$, $15$, $9 + 4\sqrt{5} \approx 17.94$ 세 개인데, 우리 풀이는 정확히 $15$ 를 줍니다 — 셋 중 가장 작은 값이라는 점도, 기울어진 정사각형이 네 모퉁이의 잘려나간 부분을 "피해 가야" 한다는 사실과 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합으로 세기): 바깥 $5 \times 5$ 정사각형 전체 넓이 $25$ 에서 내접 정사각형 "바깥" 에 있는 부분을 모두 빼는 방식입니다. 빼야 할 것은 네 모퉁이의 $1 \times 1$ 작은 정사각형 $4$ 개(합 $4$) 와, 바깥 정사각형 안에 있으면서 기울어진 정사각형 바깥에 남는 직각삼각형 $4$ 개입니다. 이 삼각형들은 두 직각변이 $1$ 과 $3$ 이므로 각 넓이 $\tfrac{3}{2}$, 합 $6$. 따라서 내접 정사각형 넓이 $= 25 - 4 - 6 = 15$, 다시 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 3.MD.C.7 곱셈·덧셈과 넓이의 관계 이해; 타일링 및 겹치지 않는 부분의 합으로 넓이 구하기 (가운데 똑바른 정사각형의 넓이를 $3 \times 3 = 9$ 로 구하고, 겹치지 않는 조각들($9 + 6$)을 합쳐 최종 $15$ 를 얻는 데 사용.)
  • 5.G.A.2 좌표평면 1사분면에서 점을 찍어 실생활·수학 문제 표현하기 (십자 모양과 내접 정사각형을 좌표평면에 올려(꼭짓점 $(1,5), (5,4), (4,0), (0,1)$) 가운데 정사각형의 한 변과 삼각형의 두 직각변 길이를 그대로 읽어내는 데 사용.)
  • 6.G.A.1 직각삼각형·일반 삼각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 나누어 구하기 (기울어진 내접 정사각형을 똑바른 $3 \times 3$ 정사각형 + 두 직각변이 $3$ 과 $1$ 인 직각삼각형 $4$ 개로 쪼개고, 각 삼각형에 $\tfrac{1}{2}bh$ 를 적용하는 데 사용.)

⭐ 그림부터 그리면 답이 보입니다 — 기울어진 정사각형은 $3 \times 3$ 정사각형 하나와 작은 직각삼각형 $4$ 개로 쪼개지고, 그 다음은 6학년 "넓이를 부분으로 나눠 구하기" 만 쓰면 됩니다.

⭐ 그림부터 그리면 답이 보입니다 — 기울어진 정사각형은 $3 \times 3$ 정사각형 하나와 작은 직각삼각형 $4$ 개로 쪼개지고, 그 다음은 6학년 "넓이를 부분으로 나눠 구하기" 만 쓰면 됩니다.

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