AMC 8 · 2017 · #16

• 도형을 보면서 라벨을 채워 봅니다.
• 삼각형 $ABC$ 는 꼭짓점 $A$ 에서 직각을 이루고 두 변이 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변이 $BC = 5$ 입니다.
• 빗변 $\overline{BC}$ 위에 점 $D$ 를 찍고 두 미지 길이 $BD$, $CD$ 를 표시합니다.
• 그러면 두 작은 삼각형이 공통으로 가지는 선분 $AD$ (꼭짓점 $A$ 에서 $D$ 까지의 선분)가 자연스럽게 드러납니다.

💡 도형 위에 점·선분·공통 선분을 표시하는 작업은 4학년 "도형 속에서 점, 선, 선분 등을 식별" 표준 그대로입니다.

• 두 삼각형의 둘레식을 적고 공통 변을 양변에서 지웁니다.
• $\triangle ACD$ 의 둘레는 $AC + CD + AD$, $\triangle ABD$ 의 둘레는 $AB + BD + AD$.
• 두 식이 같다고 놓으면 $AD$ 가 약분되어 $AC + CD = AB + BD$, 즉 $3 + CD = 4 + BD$ 가 되고 정리하면 $CD = BD + 1$ 입니다.

💡 다각형의 세 변을 더해 둘레를 구하는 것은 3학년 다각형 둘레 표준이고, 같은 변을 양변에서 지우는 것은 "같은 것을 빼면 같은 것" 정도의 기본 등식 다루기입니다.

• 이제 두 조건 $BD + CD = 5$, $CD = BD + 1$ 로 $BD$ 를 찾습니다.
• 추측하고 확인해 봅시다 — $BD = 2$ 라고 가정하면 $CD = 3$ 이고 $2 + 3 = 5$, 차이는 $1$ 로 두 조건이 모두 맞습니다.
• 따라서 $BD = 2$, $CD = 3$ 입니다.

💡 "합이 $5$, 차이가 $1$ 인 두 자연수를 찾아라" 는 4학년 수준의 한 줄짜리 다단계 문장제입니다.

• 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 넓이를 구합니다.
• 직각을 이루는 두 변 $AB = 4$ 와 $AC = 3$ 을 각각 밑변·높이로 보면 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ 입니다.

💡 삼각형의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이 공식은 6학년 평면도형 넓이 표준입니다.

• 공통 높이 원리를 사용합니다.
• $\triangle ABD$ 와 $\triangle ABC$ 는 둘 다 꼭짓점이 $A$ 이고 밑변이 같은 직선 $BC$ 위에 놓이므로, $A$ 에서 $BC$ 까지 내린 높이가 같습니다.
• 두 삼각형이 높이를 공유하면 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다: $\text{넓이}(\triangle ABD) : \text{넓이}(\triangle ABC) = BD : BC = 2 : 5$.

💡 같은 높이를 공유하는 두 넓이 조각을 비교하는 것은 6학년 비율·비례 추론의 전형적인 활용입니다.

• 마지막으로 곱셈으로 넓이를 구합니다: $\text{넓이}(\triangle ABD) = \tfrac{2}{5} \cdot 6 = \tfrac{12}{5}$.
• 이는 선택지 (D) 에 해당합니다.

💡 $6$ 의 $\tfrac{2}{5}$ 를 구하는 것은 5학년 "분수와 자연수의 곱셈" 그대로입니다.