AMC 8 · 2018 · #11

학년 7 probabilitycounting

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationspatial-visualization caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticcombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

애비, 브리짓과 같은 반 친구 네 명, 총 여섯 명이 단체 사진을 찍기 위해 아래와 같이 한 줄에 3명씩 두 줄로 앉으려고 합니다.
\begin{eqnarray*} \text{X}&\quad\text{X}\quad&\text{X} \ \text{X}&\quad\text{X}\quad&\text{X} \end{eqnarray*}
자리를 무작위로 배정한다고 할 때, 애비와 브리짓이 같은 행 또는 같은 열에서 서로 이웃하여 앉을 확률은 얼마입니까?

$\textbf{(A) } \frac{1}{3} \qquad \textbf{(B) } \frac{2}{5} \qquad \textbf{(C) } \frac{7}{15} \qquad \textbf{(D) } \frac{1}{2} \qquad \textbf{(E) } \frac{2}{3}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{2}{5}$

(C)

$\frac{7}{15}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 애비, 브리짓을 포함한 친구 $6$ 명이 가로 $3$ 줄, 세로 $2$ 줄로 놓인 $2 \times 3$ 좌석에 무작위로 앉습니다. 애비와 브리짓이 같은 줄(가로)에서 옆자리에 앉거나, 같은 줄(세로)에서 앞뒤로 붙어 앉을 확률은 얼마인가요?

주어진 것: 좌석은 $2$ 행 $3$ 열, 총 $6$ 자리; $6$ 명이 모든 자리 배치를 동등하게 가질 수 있도록 무작위로 앉음; 애비와 브리짓은 $6$ 명 중 특정한 두 사람; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{2}{5}$, (C) $\tfrac{7}{15}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{2}{3}$

구하는 것: 애비와 브리짓이 인접한 자리(같은 행 옆자리 또는 같은 열 앞뒤자리)에 앉을 확률

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 핵심 정보는 "$2 \times 3$ 격자에서 인접"이라는 공간 구조이기 때문에, 가장 먼저 도구 #1(그림 그리기)로 좌석 $6$ 개를 그리고 변을 공유하는 쌍을 직접 표시하는 것이 자연스럽습니다. 그림이 생기면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 인접 쌍을 일정한 순서로 훑어 빠짐·중복 없이 셀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 인접을 "가로(같은 행) 쌍"과 "세로(같은 열) 쌍" 두 묶음으로 나눠 각각 따로 세게 해 줘서 실수를 줄입니다. 마지막에 인접 쌍 수를 전체 쌍 수 $\binom{6}{2}$ 로 나누면 확률이 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 2.G.A.2 단계 1

좌석을 그림으로 그리고 번호를 매깁니다.
$2$ 행 $3$ 열의 점 $6$ 개에 번호를 붙여, 셀 때 어떤 자리를 가리키는지 분명히 해 둡니다.
윗줄은 $1, 2, 3$번, 아랫줄은 $4, 5, 6$번 자리입니다.

$$\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}$$

💡 직사각형을 행과 열의 같은 크기 칸으로 나누는 것은 2학년 배열 개념 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

애비와 브리짓이 차지할 두 자리를 고르는 모든 경우의 수를 구합니다.
두 사람 중 누가 어디 앉는지가 아니라 "어떤 두 자리에 앉는가" 만 따지면 되므로 순서 없는 짝을 셉니다.

$$\binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

💡 $6$ 자리에서 $2$ 자리를 고르는 모든 짝을 정리해 나열하는 것은 7학년 확률 문제의 "표본공간 정리" 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.A.1 단계 3

가로(같은 행) 인접 쌍을 행별로 셉니다.
윗줄에서는 $\{1,2\}$, $\{2,3\}$ 의 두 쌍이 변을 공유하고, 아랫줄에서도 $\{4,5\}$, $\{5,6\}$ 의 두 쌍이 변을 공유합니다.
따라서 가로 인접 쌍은 $2 + 2 = 4$ 개입니다.

$$\text{가로 인접 쌍} = 2 + 2 = 4$$

💡 윗줄과 아랫줄, 같은 크기 두 묶음을 더하는 것은 1학년 덧셈 문장제와 똑같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.A.1 단계 4

세로(같은 열) 인접 쌍을 열별로 셉니다.
각 열에는 앞뒤로 붙은 쌍이 하나씩 있습니다 — $\{1,4\}$, $\{2,5\}$, $\{3,6\}$.
따라서 세로 인접 쌍은 $3$ 개입니다.

$$\text{세로 인접 쌍} = 1 + 1 + 1 = 3$$

💡 세 열에서 하나씩 — 하나씩 세서 더하는 가장 기본적인 1학년 덧셈입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.A.1 단계 5

두 경우를 더해 인접 쌍의 총 개수를 구합니다.
"같은 행" 과 "같은 열" 은 동시에 일어날 수 없으므로 겹치는 쌍이 없어 그대로 더하면 됩니다.

$$\text{인접 쌍 총합} = 4 + 3 = 7$$

💡 겹치지 않는 두 묶음을 합쳐 전체를 세는 1학년 "모으기" 모형입니다.

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 6

확률을 "유리한 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 로 계산합니다.
모든 자리 짝이 동등하게 일어나는 상황이므로 이 정의를 그대로 적용할 수 있습니다.

$$P(\text{인접}) = \dfrac{7}{15} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 확률을 (유리한 경우) $\div$ (전체 경우) 로 정의하는 것은 7학년 확률 모형의 정의 그대로입니다.

[1] #1 2.G.A.2 좌석을 그림으로 그리고 번호를 매깁니다. $2$ 행 $3$ 열의 점 $6$ 개에 번호를 붙여, 셀 때 어떤 자리를 가리키는지 분명히 해 둡니다.

[2] #2 7.SP.C.8 애비와 브리짓이 차지할 두 자리를 고르는 모든 경우의 수를 구합니다. 두 사람 중 누가 어디 앉는지가 아니라 "어떤 두 자리에 앉는가" 만 따지

[3] #7 1.OA.A.1 가로(같은 행) 인접 쌍을 행별로 셉니다. 윗줄에서는 $\{1,2\}$, $\{2,3\}$ 의 두 쌍이 변을 공유하고, 아랫줄에서도 ${4,5

[4] #7 1.OA.A.1 세로(같은 열) 인접 쌍을 열별로 셉니다. 각 열에는 앞뒤로 붙은 쌍이 하나씩 있습니다 — $\{1,4\}$, $\{2,5\}$, ${3,6\

[5] #7 1.OA.A.1 두 경우를 더해 인접 쌍의 총 개수를 구합니다. "같은 행" 과 "같은 열" 은 동시에 일어날 수 없으므로 겹치는 쌍이 없어 그대로 더하면 됩니

[6] #1 7.SP.C.7 확률을 "유리한 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 로 계산합니다. 모든 자리 짝이 동등하게 일어나는 상황이므로 이 정의를 그대로 적용할

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 답을 확인합니다. 전체 자리 짝은 $15$ 가지, 답은 $\tfrac{7}{15} \approx 0.467$ 로 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 작은데, $2 \times 3$ 처럼 좁은 격자에서는 거의 절반에 가까운 짝이 변을 공유하므로 자연스러운 값입니다. 한 자리 기준으로도 확인해 봅시다 — 네 모서리 자리(예: $1$번)는 이웃이 $2$ 개($2, 4$번), 가운데 자리($2, 5$번)는 이웃이 $3$ 개입니다. 평균 이웃 수는 $\tfrac{4 \cdot 2 + 2 \cdot 3}{6} = \tfrac{7}{3}$ 이고, 나머지 $5$ 자리 중에서 이웃 자리에 앉을 확률은 $\tfrac{7/3}{5} = \tfrac{7}{15}$ 로 답과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 을 선택지에 바로 적용할 수도 있습니다. 분모는 $\binom{6}{2} = 15$ 에서 나와야 하므로, 기약분수의 분모는 $15, 5, 3, 1$ 중 하나여야 합니다. (A) $\tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{15}$, (B) $\tfrac{2}{5} = \tfrac{6}{15}$, (C) $\tfrac{7}{15}$, (D) $\tfrac{1}{2}$ ($2$는 $15$를 나눌 수 없으므로 후보에서 제거), (E) $\tfrac{2}{3} = \tfrac{10}{15}$. (D) 가 바로 빠지고, 그다음에는 인접 쌍 $7$ 개만 정확히 세면 (C) 로 좁혀집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

2.G.A.2 직사각형을 행과 열의 같은 크기 정사각형으로 나누기 ($2 \times 3$ 좌석 격자를 그려 인접 관계를 시각적으로 다룰 수 있게 만드는 데 사용.)
1.OA.A.1 $20$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 (가로 인접 쌍($2 + 2 = 4$), 세로 인접 쌍($1 + 1 + 1 = 3$), 그리고 두 경우의 합($4 + 3 = 7$) 을 더하는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (표본공간을 정리하는 단계로, $6$ 자리에서 $2$ 자리를 고르는 모든 짝 $\binom{6}{2} = 15$ 를 세는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들고 사건의 확률 구하기 (인접 자리 짝의 수를 전체 자리 짝의 수로 나눠 확률 $\tfrac{7}{15}$ 를 정의·계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우 = 확률" 정의만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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