AMC 8 · 2018 · #15
학년 7 geometry-2d문제
아래 그림에서 두 개의 작은 원의 지름은 각각 큰 원의 반지름과 같습니다. 두 작은 원의 넓이의 합이 제곱 단위라고 할 때, 색칠된 영역의 넓이는 몇 제곱 단위입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 원 안에 똑같이 생긴 작은 원 두 개가 들어 있습니다. 작은 원 하나의 지름이 큰 원의 반지름과 같아서, 두 작은 원이 큰 원의 지름을 따라 딱 맞게 놓여 있습니다. 두 작은 원의 넓이의 합이 $1$ 제곱 단위일 때, 색칠된 부분 — 즉, 큰 원에서 두 작은 원을 뺀 도넛 모양 — 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 큰 원 한 개 안에, 합동인 작은 원 두 개가 들어 있다; 작은 원의 지름 $=$ 큰 원의 반지름; 두 작은 원의 넓이의 합 $= 1$ 제곱 단위; 색칠된 영역 $=$ (큰 원의 넓이) $-$ (두 작은 원의 넓이); 선택지: (A) $\frac{1}{4}$, (B) $\frac{1}{3}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $1$, (E) $\frac{\pi}{2}$
구하는 것: 색칠된 영역의 넓이(제곱 단위)
이해
문제 재정리: 큰 원 안에 똑같이 생긴 작은 원 두 개가 들어 있습니다. 작은 원 하나의 지름이 큰 원의 반지름과 같아서, 두 작은 원이 큰 원의 지름을 따라 딱 맞게 놓여 있습니다. 두 작은 원의 넓이의 합이 $1$ 제곱 단위일 때, 색칠된 부분 — 즉, 큰 원에서 두 작은 원을 뺀 도넛 모양 — 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 큰 원 한 개 안에, 합동인 작은 원 두 개가 들어 있다; 작은 원의 지름 $=$ 큰 원의 반지름; 두 작은 원의 넓이의 합 $= 1$ 제곱 단위; 색칠된 영역 $=$ (큰 원의 넓이) $-$ (두 작은 원의 넓이); 선택지: (A) $\frac{1}{4}$, (B) $\frac{1}{3}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $1$, (E) $\frac{\pi}{2}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
색칠된 영역이 "큰 원에서 작은 원 두 개를 잘라낸 모양" 이라는 합성 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 가장 자연스럽습니다 — 색칠된 넓이 $=$ (큰 원 넓이) $-$ (두 작은 원 넓이). 그 다음 도구 #1(그림 그리기)로 작은 원의 반지름을 $r$ 이라 쓰고 큰 원의 반지름이 $R = 2r$ 이 됨을 표시해 두면 관계가 한눈에 보입니다. 마지막으로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 안전장치 역할입니다 — 굳이 $\pi$ 를 끝까지 끌고 갈 필요 없이, 작은 원 두 개의 넓이 합이 "이미 $1$ 로 주어져 있다" 는 사실을 활용하면, "큰 원이 작은 원 두 개 합의 몇 배인가?" 라는 단순한 비교 문제로 바뀝니다.
실행 — 정답: D
4.MD.A.1 단계 1 - 그림에 이름을 붙여 봅니다.
- 작은 원의 반지름을 $r$ 이라 합시다.
- 문제에서 "작은 원의 지름은 큰 원의 반지름과 같다" 고 했으니, 작은 원의 지름 $2r$ 이 곧 큰 원의 반지름이 됩니다.
- 즉, $R = 2r$.
💡 도형 각 부분에 이름표를 붙이고 지름 $= 2 \times$ 반지름 이라는 관계를 쓰는 것은 4학년 측정 단위 수준입니다.
7.G.B.4 단계 2 - 원 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 을 써서 각 영역의 넓이를 식으로 적어 둡니다.
- 작은 원 두 개를 합친 넓이는 $2\pi r^2$, 큰 원의 넓이는 $\pi R^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$ 입니다.
💡 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 자체를 알아야 한다는 점에서 7학년 원 단원이 등장합니다.
6.EE.A.3 단계 3 - 색칠된 영역 $=$ (큰 원 넓이) $-$ (작은 원 두 개의 넓이 합) 으로 쪼개서 식을 정리합니다.
- 그러면 색칠된 넓이는 $4\pi r^2 - 2\pi r^2 = 2\pi r^2$ 으로, 작은 원 두 개의 넓이 합과 **똑같은 식** 이 됩니다.
💡 같은 문자를 가진 항끼리 빼는 ($4\pi r^2 - 2\pi r^2 = 2\pi r^2$) 동치식 정리는 6학년 "동치인 식" 다루기입니다.
6.EE.B.5 단계 4 - 이 식을 주어진 숫자와 맞춰 봅니다.
- 문제에서 "두 작은 원의 넓이의 합 $= 1$" 이라고 했으므로 $2\pi r^2 = 1$.
- 3단계에서 색칠된 넓이 역시 $2\pi r^2$ 이었으니, 색칠된 넓이도 $1$ 입니다.
💡 두 식이 완전히 같은 형태이면 값도 같아야 한다는 "식을 참으로 만드는 값" 개념은 6학년 방정식 단원의 핵심입니다.
4.MD.A.1 그림에 이름을 붙여 봅니다. 작은 원의 반지름을 $r$ 이라 합시다. 문제에서 "작은 원의 지름은 큰 원의 반지름과 같다" 고 했으니, 작은 원 7.G.B.4 원 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 을 써서 각 영역의 넓이를 식으로 적어 둡니다. 작은 원 두 개를 합친 넓이는 $2\pi r^2$, 큰 6.EE.A.3 색칠된 영역 $=$ (큰 원 넓이) $-$ (작은 원 두 개의 넓이 합) 으로 쪼개서 식을 정리합니다. 그러면 색칠된 넓이는 $4\pi r^2 6.EE.B.5 이 식을 주어진 숫자와 맞춰 봅니다. 문제에서 "두 작은 원의 넓이의 합 $= 1$" 이라고 했으므로 $2\pi r^2 = 1$. 3단계에서 색 검토
합리성 확인: 그림으로 다시 확인: 큰 원의 반지름이 작은 원의 $2$ 배이므로, 큰 원의 넓이는 작은 원 하나의 $4$ 배입니다 (반지름이 $2$ 배가 되면 넓이는 $2^2 = 4$ 배). 작은 원 하나의 넓이는 $\tfrac{1}{2}$ (두 개 합쳐서 $1$ 이니까) 이므로, 큰 원의 넓이는 $4 \times \tfrac{1}{2} = 2$. 따라서 색칠된 넓이 $= 2 - 1 = 1$. 답 (D) 와 일치합니다. (E) $\tfrac{\pi}{2}$ 는 "답에 $\pi$ 가 남아 있을 것" 이라고 착각할 때 빠지는 함정으로, 사실은 주어진 $1$ 안에 이미 $\pi$ 가 흡수돼 있습니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)만으로도 끝낼 수 있습니다. 친근한 값, 예컨대 $r = 1$ 을 잡아 봅시다. 그러면 작은 원 하나의 넓이는 $\pi$, 두 개 합쳐서 $2\pi$, 큰 원의 넓이는 $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$. 색칠된 넓이 $= 4\pi - 2\pi = 2\pi$ — 작은 원 두 개의 넓이 합과 똑같습니다. 그러므로 작은 원 두 개의 넓이 합이 $1$ 로 다시 조정되면 색칠된 넓이도 같은 비율로 줄어들어 $1$ 이 됩니다. 결과에 $\pi$ 가 남지 않는 이유까지 깔끔하게 보여 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.MD.A.1측정 단위의 상대적 크기를 알고 큰 단위에서 작은 단위로 환산하기 (지름 $= 2 \times$ 반지름 관계를 그림에 적용해 $R = 2r$ 로 옮기는 데 사용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 (각 원의 넓이를 $A = \pi r^2$ 로 표현 — 작은 원 두 개 합 $= 2\pi r^2$, 큰 원 $= \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$.)6.EE.A.3연산의 성질을 활용해 동치인 식 만들기 (색칠된 넓이의 식 $4\pi r^2 - 2\pi r^2$ 을 같은 항끼리 묶어 $2\pi r^2$ 으로 정리.)6.EE.B.5방정식·부등식 풀이를 식을 참으로 만드는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (색칠된 넓이의 식 $2\pi r^2$ 과 주어진 작은 원들의 합 $2\pi r^2 = 1$ 이 동일한 양임을 인식해 색칠된 넓이 $= 1$ 임을 결론.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 게다가 색칠된 부분과 작은 원 두 개의 넓이 식이 똑같이 나와서, 정답은 이미 문제에서 알려준 $1$ 그대로랍니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 게다가 색칠된 부분과 작은 원 두 개의 넓이 식이 똑같이 나와서, 정답은 이미 문제에서 알려준 $1$ 그대로랍니다!
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