AMC 8 · 2018 · #22

• 계산하기 좋은 정사각형으로 바꿉니다.
• 도구 #9 에 따라 $s = 6$ 으로 잡으면 $CE = ED = 3$ 이 되어 산수가 모두 정수로 떨어집니다.
• 좌표를 $D = (0,0)$, $C = (6,0)$, $B = (6,6)$, $A = (0,6)$, $E = (3,0)$ 로 두면 문제에 주어진 그림과 일치합니다.

💡 정사각형을 좌표 격자 위에 올리면 거리 계산이 단순한 좌표 차로 바뀌는 5학년 좌표평면 활용입니다.

• 대각선 $\overline{AC}$ 와 선분 $\overline{BE}$ 가 만나는 점 $F$ 의 좌표를 찾습니다.
• $A(0,6)$ 에서 $C(6,0)$ 으로 갈 때 오른쪽으로 한 칸 가면 아래로 한 칸 내려오므로 대각선 위의 점은 $x + y = 6$ 을 만족합니다.
• 한편 $B(6,6)$ 에서 $E(3,0)$ 까지는 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 아래로 두 칸 내려오므로 $\overline{BE}$ 위의 점은 $E$ 를 기준으로 $y = 2(x - 3)$ 이 됩니다.
• 두 식을 같게 놓으면 $6 - x = 2(x - 3)$ 에서 $3x = 12$, 즉 $x = 4$, $y = 2$ 가 되어 $F = (4, 2)$ — 그림에 표시된 점과 정확히 일치합니다.

💡 $F$ 의 좌표를 표시하는 것은 격자 위에서 두 선이 만나는 점을 찾는 5학년 그래프 그리기 그대로입니다.

• 도구 #7 로 그림을 쪼갭니다.
• 대각선 $\overline{AC}$ 는 정사각형을 합동인 두 직각삼각형으로 나누는데, $D$ 가 포함된 쪽이 $\triangle ACD$ 이고, 사각형 $AFED$ 는 그 $\triangle ACD$ 에서 작은 모서리 삼각형 $\triangle FCE$ 만 잘라낸 모양입니다.
• 따라서 $[AFED] = [\triangle ACD] - [\triangle FCE]$ 입니다.

💡 복잡한 도형의 넓이를 큰 도형의 넓이에서 작은 도형의 넓이를 빼서 구하는 것은 3학년 "넓이는 더하고 뺄 수 있다" 와 같은 발상입니다.

• $s = 6$ 인 시험용 정사각형에서 두 조각의 넓이를 직접 구합니다.
• $\triangle ACD$ 는 두 직각변이 $AD = 6$, $DC = 6$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$.
• $\triangle FCE$ 는 밑변 $CE = 3$ 을 아래쪽에 두고 보면 높이는 $F$ 에서 $\overline{CD}$ 까지의 수직거리 $y_F = 2$ 이므로 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.

💡 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 삼각형 넓이를 구해 합·차로 묶는 것은 6학년 다각형 넓이 표준입니다.

• 원래 문제로 비율을 되돌립니다.
• $s = 6$ 일 때 정사각형 넓이는 $36$, 사각형 $AFED$ 의 넓이는 $15$ 이므로 $AFED$ 는 정사각형의 $\tfrac{15}{36} = \tfrac{5}{12}$ 입니다.
• 이 비율은 $s$ 값과 관계없이 항상 성립합니다.
• 문제에서 $[AFED] = 45$ 이므로 정사각형의 넓이는 $\tfrac{5}{12} \cdot [\square ABCD] = 45$ 에서 $[\square ABCD] = 45 \cdot \tfrac{12}{5} = 108$.

💡 쉬운 경우에서 찾은 비율 $\tfrac{5}{12}$ 를 실제 값에 스케일링해 적용하는 것은 6학년 비율·비례 추론입니다.