AMC 8 · 2019 · #20

학년 6 algebra

유형 Branching State Enumeration

perfect-squaressystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 방정식을 만족시키는 서로 다른 실수 $x$ 의 개수는 몇 개입니까? $(x^{2}-5)^{2}=16$

$\textbf{(A) }0\qquad\textbf{(B) }1\qquad\textbf{(C) }2\qquad\textbf{(D) }4\qquad\textbf{(E) }8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $(x^2 - 5)^2 = 16$ 을 만족하는 서로 다른 실수 $x$ 가 몇 개인지 구하는 문제입니다. 답은 $0, 1, 2, 4, 8$ 중 하나여야 합니다.

주어진 것: 방정식: $(x^2 - 5)^2 = 16$; 미지수 $x$ 는 실수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $8$

구하는 것: 주어진 방정식을 만족하는 서로 다른 실수 $x$ 의 개수

이해

문제 재정리: 방정식 $(x^2 - 5)^2 = 16$ 을 만족하는 서로 다른 실수 $x$ 가 몇 개인지 구하는 문제입니다. 답은 $0, 1, 2, 4, 8$ 중 하나여야 합니다.

주어진 것: 방정식: $(x^2 - 5)^2 = 16$; 미지수 $x$ 는 실수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $8$

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

$(\text{무언가})^2 = 16$ 의 꼴이 보이면, 그 "무언가" 는 제곱해서 $16$ 이 되는 단 두 실수 — $+4$ 와 $-4$ — 중 하나여야 합니다. 어려워 보이는 4차 방정식이 "$x^2 - 5 = 4$ 는 언제?", "$x^2 - 5 = -4$ 는 언제?" 라는 친근한 두 질문으로 쪼개집니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 정수 $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ 를 차례로 대입해 안쪽 식이 $9$ 또는 $1$ 이 되는 값을 찾고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 빠뜨림 없이 정리하며, 도구 #3(가능성 지우기) 로 개수가 정확히 선택지 (D) 와 맞는지 확인합니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 1

바깥 제곱을 풀어 두 갈래로 나눕니다.
$(x^2 - 5)^2 = 16$ 이 성립할 필요충분조건은 $x^2 - 5$ 가 제곱해서 $16$ 이 되는 실수, 즉 $+4$ 또는 $-4$ 인 것입니다.

$$(x^2 - 5)^2 = 16 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 5 = 4 \;\text{또는}\; x^2 - 5 = -4$$

💡 제곱해서 $16$ 이 되는 수가 $4$ 와 $-4$ 뿐이라는 사실은 지수 $2$ 의 의미 — 6학년 거듭제곱 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

두 경우를 각각 $x^2$ 에 관한 간단한 식으로 정리합니다.
양변에 $5$ 를 더하면 됩니다.

경우 1: $x^2 = 9. \qquad$ 경우 2: $x^2 = 1.$

💡 방정식 하나를 더 쉬운 두 개로 쪼개는 것은 6학년 "$p\,x = q$ 꼴 방정식 풀이" 와 같은 흐름입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.6 단계 3

작은 정수와 그 음수에 차례로 $x$ 를 대입해 $x^2 = 9$ 를 만족하는 값을 찾습니다.
표를 만들어 작은 수부터 순서대로 확인합니다.

$0^2 = 0,\; (\pm 1)^2 = 1,\; (\pm 2)^2 = 4,\; (\pm 3)^2 = 9.\;$ 만족: $x = 3$ 과 $x = -3$.

💡 $+3$ 과 $-3$ 을 수직선 위 서로 다른 두 점으로 보는 것은 6학년 "양수·음수" 개념입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.6 단계 4

같은 표를 다시 보고 $x^2 = 1$ 의 해를 읽습니다.

위 표에서 $(\pm 1)^2 = 1.\;$ 만족: $x = 1$ 과 $x = -1$.

💡 이미 만든 제곱표를 다시 활용하면, $(-1)^2 = 1$ 이 $1^2 = 1$ 과 똑같다는 점이 자연스럽게 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 5

다른 실수가 더 없는지 확인합니다.
$|x| \geq 4$ 이면 $x^2 - 5 \geq 11$ 이므로 $(x^2-5)^2 \geq 121 > 16$ 이고, $|x|$ 가 커질수록 더 커지기만 합니다.
정수 사이에서도 $x^2$ 는 연속적으로 움직이므로 우리가 찾은 정수 해 외에는 새로 생기지 않습니다.
두 경우의 결과를 하나의 빠짐없는 목록으로 모읍니다.

모든 실수 해: $\{-3,\, -1,\, 1,\, 3\}.\;$ 개수 $= 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}.$

💡 방정식을 참으로 만드는 값을 빠짐없이 나열하고 개수를 세는 것은 6학년 "방정식을 만족하는 값 찾기" 개념입니다.

[1] #3 6.EE.A.1 바깥 제곱을 풀어 두 갈래로 나눕니다. $(x^2 - 5)^2 = 16$ 이 성립할 필요충분조건은 $x^2 - 5$ 가 제곱해서 $16$ 이 되

[2] #7 6.EE.B.7 두 경우를 각각 $x^2$ 에 관한 간단한 식으로 정리합니다. 양변에 $5$ 를 더하면 됩니다.

[3] #6 6.NS.C.6 작은 정수와 그 음수에 차례로 $x$ 를 대입해 $x^2 = 9$ 를 만족하는 값을 찾습니다. 표를 만들어 작은 수부터 순서대로 확인합니다.

[4] #6 6.NS.C.6 같은 표를 다시 보고 $x^2 = 1$ 의 해를 읽습니다.

[5] #2 6.EE.B.5 다른 실수가 더 없는지 확인합니다. $|x| \geq 4$ 이면 $x^2 - 5 \geq 11$ 이므로 $(x^2-5)^2 \geq 121 >

검토

합리성 확인: 네 해를 직접 대입해 검산해 보면 $((\pm 3)^2 - 5)^2 = (9-5)^2 = 16 \checkmark$ 이고 $((\pm 1)^2 - 5)^2 = (1-5)^2 = (-4)^2 = 16 \checkmark$ 입니다. 네 값은 모두 서로 다른 실수이므로 개수는 정확히 $4$ 개. 선택지 (E) $8$ 은 서로 다른 $x$ 값이 8개여야 하는데 우리가 찾은 것은 4개뿐이고, $|x| > 3$ 에서는 $(x^2-5)^2$ 가 계속 커지기만 하므로 더 나올 수 없습니다. (D) 와 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 치환: $u = x^2 - 5$ 라 두면 $u^2 = 16 \Rightarrow u = \pm 4$ 로 같은 두 경우가 나옵니다. 각 경우는 $x$ 에 관한 이차방정식이라 실수해가 2개씩, 총 $4$ 개. 치환은 같은 논리를 더 "대수적으로" 포장한 것일 뿐, 어린 학습자에게는 추측하고 확인하기가 더 직관적입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 작성·계산 ($(x^2 - 5)^2 = 16$ 에서 안쪽 식이 $\pm 4$ 여야 함을 거듭제곱의 정의로 인식하고, 작은 정수의 $x^2$ 값을 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 실생활 문제 해결 (양변에 $5$ 를 더해 각 경우를 $x^2 = 9$ 와 $x^2 = 1$ 의 더 간단한 식으로 정리하는 데 사용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해 ($+3$ 과 $-3$, $+1$ 과 $-1$ 이 수직선 위 서로 다른 점이지만 제곱은 같다는 사실을 사용해 각 경우에서 두 개씩의 해를 얻음.)
6.EE.B.5 방정식·부등식을 만족하는 값을 찾는 과정 이해 (두 경우의 결과를 모아 원래 방정식을 참으로 만드는 모든 실수 $x$ 를 빠짐없이 나열하고 그 개수를 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 "$+a$ 와 $-a$ 의 제곱이 같다" 는 규칙만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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