AMC 8 · 2020 · #20

학년 6 number-theorylogic

modular-arithmeticparitymean-median-mode-rangesequences-geometric caseworktree-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticparity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 과학자가 숲을 걷다가 일렬로 서 있는 나무 $5$ 그루의 높이를 정수로 기록했습니다. 그녀는 각 나무가 바로 오른쪽 나무보다 키가 두 배이거나 절반임을 관찰했습니다. 안타깝게도 노트에 비가 내려 일부 자료가 사라졌습니다. 그녀의 노트는 아래와 같으며, 빈칸은 잃어버린 숫자를 나타냅니다. 관찰한 내용을 바탕으로 과학자는 잃어버린 자료를 복원할 수 있었습니다. 나무들의 평균 높이는 몇 미터입니까?

$\begingroup \setlength{\tabcolsep}{10pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Tree 1 & \rule{0.4cm}{0.15mm} meters \\ Tree 2 & 11 meters \\ Tree 3 & \rule{0.5cm}{0.15mm} meters \\ Tree 4 & \rule{0.5cm}{0.15mm} meters \\ Tree 5 & \rule{0.5cm}{0.15mm} meters \\ \hline Average height & \rule{0.5cm}{0.15mm}\text{ .}2 meters \\ \hline \end{tabular} \endgroup$
$\textbf{(A) }22.2 \qquad \textbf{(B) }24.2 \qquad \textbf{(C) }33.2 \qquad \textbf{(D) }35.2 \qquad \textbf{(E) }37.2$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

22.2

(B)

24.2

(C)

33.2

(D)

35.2

(E)

37.2

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 줄로 늘어선 나무 $5$ 그루의 키(미터)를 과학자가 모두 정수로 기록했는데, 어떤 나무든 바로 오른쪽 나무의 키와 두 배 또는 절반 관계입니다. 비에 노트가 젖어 둘째 나무 키 $11$ 미터만 남았고, 평균 키도 소수점 아래 자리가 $.2$ 라는 사실만 읽을 수 있습니다. 이 단서들로 나무 다섯 그루의 평균 키를 구하세요.

주어진 것: 한 줄로 늘어선 다섯 그루의 정수 키 $H_1, H_2, H_3, H_4, H_5$ (단위: 미터); $H_2 = 11$; 이웃한 두 나무 중 한쪽은 정확히 다른 쪽의 $2$ 배 (오른쪽 나무가 왼쪽의 $2$ 배 또는 $\tfrac{1}{2}$ 배); 평균 $\tfrac{H_1+H_2+H_3+H_4+H_5}{5}$ 의 소수 부분은 $.2$; 선택지: (A) $22.2$, (B) $24.2$, (C) $33.2$, (D) $35.2$, (E) $37.2$

구하는 것: 나무 다섯 그루의 평균 키 (미터)

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

두 배 규칙과 정수 조건을 함께 적용하면 가능한 $(H_1, H_2, H_3, H_4, H_5)$ 수열은 손에 꼽힐 만큼 적어집니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정해진 순서에 따라 후보를 모두 적어두는 것이 가장 깔끔합니다. $H_2 = 11$ 이 홀수라는 점에서 양쪽 이웃이 곧바로 정해지고, $H_3$ 부터 가지가 갈라집니다. 모든 정수 수열을 나열한 다음에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 평균이 $.2$ 로 끝나지 않는 경우를 걷어내면 답이 하나로 좁혀집니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)을 쓰지 않은 이유는, 후보가 워낙 적어 변수를 세우지 않아도 초등학생 손으로 충분히 끝낼 수 있기 때문입니다.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

$H_2 = 11$ 로부터 $H_1$ 과 $H_3$ 을 먼저 못 박습니다.
$11$ 의 이웃은 $2 \times 11 = 22$ 이거나 $\tfrac{1}{2} \times 11 = 5.5$ 인데, $5.5$ 는 정수가 아니므로 $H_1$ 과 $H_3$ 은 모두 $22$ 로 정해집니다.

$$H_1 = 22, \; H_2 = 11, \; H_3 = 22$$

💡 $11$ 처럼 홀수는 절반으로 나누면 정수가 안 되므로, 두 배 사슬에서 $11$ 의 정수 이웃은 $22$ 뿐 — 4학년 약수·배수 감각이면 충분합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 2

$(H_4, H_5)$ 후보를 빠짐없이 적어 봅니다.
$H_3 = 22$ 이므로 $H_4$ 는 $44$ 또는 $11$.
각 $H_4$ 에서 $H_5$ 는 $2 H_4$ 또는 $\tfrac{1}{2} H_4$ 인데, 정수만 살립니다.

$H_4 \in \{11, 44\}$. \; $H_4 = 11$ 이면 $H_5 = 22$ ($5.5$ 는 탈락). \; $H_4 = 44$ 이면 $H_5 \in \{22, 88\}$.

💡 $11, 22, 44$ 같은 작은 수의 두 배·절반 계산은 3학년 곱셈·나눗셈 유창성 범위 안입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 3

$2$ 단계의 결과를 모아 가능한 수열 세 개를 모두 적고, 각각의 합을 구합니다.

수열 A: $22, 11, 22, 11, 22 \Rightarrow S = 88$. \; 수열 B: $22, 11, 22, 44, 22 \Rightarrow S = 121$. \; 수열 C: $22, 11, 22, 44, 88 \Rightarrow S = 187$.

💡 두 자리 수 다섯 개를 더하는 것은 4학년 여러 자리 수 덧셈 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 4

평균이 $.2$ 로 끝나지 않는 수열을 지웁니다.
각 합을 $5$ 로 나눠 소수 부분을 확인합니다.

수열 A: $88 \div 5 = 17.6$ ($.6$ 으로 끝남 — 탈락). \; 수열 B: $121 \div 5 = 24.2$ ($.2$ 로 끝남 — 통과). \; 수열 C: $187 \div 5 = 37.4$ ($.4$ 로 끝남 — 탈락).

💡 정수를 $5$ 로 나눠 소수 결과를 읽어내는 것은 5학년 소수 사칙 연산입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 5

유일하게 남은 수열은 B 입니다.
즉 다섯 그루의 키는 $22, 11, 22, 44, 22$ 이고 평균은 $24.2$ 미터, 선택지 (B) 와 일치합니다.

$$\text{평균} = \dfrac{121}{5} = 24.2 \text{ m} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 합을 개수로 나눠 "평균" 한 값으로 자료를 요약하는 것은 6학년 대푯값 개념입니다.

[1] #3 4.OA.B.4 $H_2 = 11$ 로부터 $H_1$ 과 $H_3$ 을 먼저 못 박습니다. $11$ 의 이웃은 $2 \times 11 = 22$ 이거나 $\tf

[2] #2 3.OA.C.7 $(H_4, H_5)$ 후보를 빠짐없이 적어 봅니다. $H_3 = 22$ 이므로 $H_4$ 는 $44$ 또는 $11$. 각 $H_4$ 에서 $H

[3] #2 4.NBT.B.4 $2$ 단계의 결과를 모아 가능한 수열 세 개를 모두 적고, 각각의 합을 구합니다.

[4] #3 5.NBT.B.7 평균이 $.2$ 로 끝나지 않는 수열을 지웁니다. 각 합을 $5$ 로 나눠 소수 부분을 확인합니다.

[5] #2 6.SP.B.5 유일하게 남은 수열은 B 입니다. 즉 다섯 그루의 키는 $22, 11, 22, 44, 22$ 이고 평균은 $24.2$ 미터, 선택지 (B) 와

검토

합리성 확인: 살아남은 수열 $22, 11, 22, 44, 22$ 는 두 배 규칙을 모두 만족합니다 — $22 \leftrightarrow 11$ (절반), $11 \leftrightarrow 22$ (두 배), $22 \leftrightarrow 44$ (두 배), $44 \leftrightarrow 22$ (절반). 모든 키가 양의 정수이고, 평균 $24.2$ 도 문제가 요구한 대로 $.2$ 로 끝납니다. 선택지 중에서도 두 배 사슬과 정수 조건을 모두 지키며 만들 수 있는 평균은 $24.2$ 뿐이라, $22.2 / 33.2 / 35.2 / 37.2$ 는 어딘가에서 비정수 키나 어긋난 사슬이 생겨 자연히 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기)을 선택지에 직접 걸어볼 수 있습니다. 평균이 $N.2$ 라는 말은 합이 $5N + 1$ 이라는 뜻이므로, (A)–(E) 가 각각 가리키는 합은 $111, 121, 166, 176, 187$ 입니다. 이 중 $H_1 = 22, H_2 = 11, H_3 = 22$ 로 시작하는 두 배 사슬로 실제로 만들 수 있는 합은 $121$ 과 $187$ 뿐인데, $187$ 의 경우 $H_5 = 88$ 까지 두 배가 한 번 더 이어지는 사슬은 가능하지만 절반·두 배 분기 어디선가 비정수가 생기는지 검토해야 합니다 — 결국 정수 조건과 평균 $.2$ 조건을 동시에 만족시키는 것은 $121$ 뿐, 답은 평균 $24.2 =$ (B). 시험장에서 더 빠른 역대입 풀이입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 모든 약수쌍을 찾고 배수를 인식하기; 소수/합성수 판별 ($11$ 이 홀수($2$ 의 배수가 아님)임을 알아채어 $H_1$ 과 $H_3$ 이 $5.5$ 가 아닌 $22$ 로 강제됨을 추론.)
3.OA.C.7 $100$ 이내에서 곱셈과 나눗셈을 유창하게 수행 (후보 수열을 만들기 위해 작은 수의 두 배·절반 계산 ($11 \times 2 = 22$, $22 \times 2 = 44$, $44 \times 2 = 88$) 을 수행.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 (각 후보 수열의 다섯 나무 키를 더해 합 $88, 121, 187$ 을 계산.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 사칙 연산 (각 합을 $5$ 로 나눠 $17.6, 24.2, 37.4$ 를 얻은 뒤 소수 부분이 $.2$ 인지 점검.)
6.SP.B.5 관측값 개수와 대푯값으로 수치 자료를 요약 (다섯 그루 나무 키의 평균(대푯값) 을 합을 개수로 나눠 하나의 요약값으로 계산하고 해석.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "합을 개수로 나누는 평균" 만 알면, 두 배·절반 후보를 차근차근 나열해서 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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