AMC 8 · 2019 · #23

학년 6 number-theoryalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

lcmmultiplesfraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: lcmfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

유클리드 고등학교의 지난 농구 경기가 끝난 뒤, 팀 전체 득점의 $\frac{1}{4}$ 은 알렉사가, $\frac{2}{7}$ 은 브리트니가 득점한 것으로 확인되었습니다. 첼시는 $15$ 점을 득점했습니다. 나머지 $7$ 명의 팀원 중 누구도 $2$ 점을 초과해서 득점하지는 않았습니다. 이 나머지 $7$ 명의 팀원이 득점한 점수의 합은 얼마입니까?

$\textbf{(A) }10\qquad\textbf{(B) }11\qquad\textbf{(C) }12\qquad\textbf{(D) }13\qquad\textbf{(E) }14$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유클리드 고등학교 농구팀의 총 득점을 $T$ 라고 합시다. 알렉사가 $\tfrac{1}{4}T$, 브리트니가 $\tfrac{2}{7}T$ 를 넣었고, 첼시는 $15$ 점을 넣었습니다. 나머지 $7$ 명은 각자 최대 $2$ 점까지만 넣었다고 할 때, 이 $7$ 명이 넣은 점수의 합 $X$ 를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 알렉사의 득점 $= \tfrac{1}{4}T$; 브리트니의 득점 $= \tfrac{2}{7}T$; 첼시의 득점 $= 15$; 나머지 $7$ 명은 각자 $2$ 점을 넘지 않음; 선택지: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$

구하는 것: 나머지 $7$ 명이 넣은 점수의 합 $X$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기

$\tfrac{1}{4}T$ 와 $\tfrac{2}{7}T$ 가 모두 자연수가 되려면 $T$ 는 $4$ 와 $7$ 의 공배수, 즉 $\text{lcm}(4,7) = 28$ 의 배수여야 합니다. 그러면 가능한 $T$ 의 후보는 $28, 56, 84, \dots$ 라는 아주 짧은 목록으로 줄어드니, 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 후보를 하나씩 대입해 알렉사 $+$ 브리트니 $+$ 첼시를 빼고, 남은 $X$ 가 $0 \le X \le 14$ 를 만족하는지 보면 끝입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 $X$ 가 음수가 되거나 $14$ 를 넘는 후보를 잘라 주고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "점수 총량", "세 명의 주연", "나머지 일곱 명" 으로 깔끔하게 항을 나누어 줍니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.6 단계 1

팀을 "이름이 있는 세 명" 과 "나머지 일곱 명" 으로 나눈 뒤, 네 조각의 합이 $T$ 가 된다는 식을 세웁니다.

$$\underbrace{\tfrac{1}{4}T}_{\text{알렉사}} + \underbrace{\tfrac{2}{7}T}_{\text{브리트니}} + \underbrace{15}_{\text{첼시}} + \underbrace{X}_{\text{7명}} = T$$

💡 전체 $T$ 의 $\tfrac{1}{4}$, $\tfrac{2}{7}$ 을 떼어 내는 것은 5학년 "전체의 분수" 문장제 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 2

모든 선수의 득점이 자연수여야 하므로 $\tfrac{1}{4}T$ 가 자연수($4 \mid T$), $\tfrac{2}{7}T$ 도 자연수($7 \mid T$) 가 되어야 합니다.
두 조건을 동시에 만족하는 가장 작은 $T$ 는 $\text{lcm}(4,7) = 28$ 이고, 그 다음부터는 $28$ 의 배수여야 합니다.

$$T \in \{28,\,56,\,84,\,112,\dots\}$$

💡 두 나눗셈 조건을 합쳐 "$4$ 와 $7$ 의 최소공배수" 로 묶는 것은 6학년 최소공배수 추론입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 3

$T$ 의 상한을 잡습니다.
세 주연 선수의 합은 $\tfrac{1}{4}T + \tfrac{2}{7}T + 15 = \tfrac{15}{28}T + 15$ 이므로, 나머지 $7$ 명의 몫은 $\tfrac{13}{28}T - 15$ 점입니다.
이 일곱 명은 각자 최대 $2$ 점이므로 합이 $14$ 를 넘을 수 없습니다.
따라서 $\tfrac{13}{28}T - 15 \le 14$, 즉 $T \le \tfrac{28 \cdot 29}{13} \approx 62.5$.

$$\tfrac{13}{28}T - 15 \le 14 \;\Longrightarrow\; T \le 62.46\ldots$$

💡 "$7$ 명이 각자 $2$ 점 이하" 라는 현실 조건을 부등식으로 옮기는 것이 6학년 부등식 표현 표준입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.B.4 단계 4

두 필터("$28$ 의 배수" 와 "$T \le 62$") 를 동시에 만족하는 후보는 $T = 28$ 과 $T = 56$ 둘뿐이라 손으로 확인하기에 충분히 작은 목록이 됩니다.

$T$ 후보: $\{28,\,56\}$

💡 "$28$ 의 배수" 와 상한을 동시에 적용해 후보를 좁히는 것은 6학년 배수·범위 다루기입니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NF.B.6 단계 5

$T = 28$ 을 대입합니다.
알렉사 $= 7$, 브리트니 $= 8$, 첼시 $= 15$ 의 합만 이미 $7 + 8 + 15 = 30$ 으로 $T$ 보다 $2$ 점 더 많으니, 나머지 $X$ 가 음수가 되어 불가능합니다.
후보에서 지웁니다.

$T = 28 \Rightarrow X = 28 - (7 + 8 + 15) = -2 < 0$ — 기각.

💡 자연수의 $\tfrac{1}{4}$, $\tfrac{2}{7}$ 을 직접 계산하는 것은 5학년 "전체의 분수" 계산입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 6

$T = 56$ 을 대입합니다.
알렉사 $= 14$, 브리트니 $= 16$, 첼시 $= 15$ 의 합이 $14 + 16 + 15 = 45$ 이므로, 나머지 $7$ 명의 점수는 $X = 56 - 45 = 11$ 점입니다.
$0 \le 11 \le 14$ 이므로 모든 조건을 통과하고, 답은 $X = \mathbf{11}$.

$$T = 56 \Rightarrow X = 56 - (14 + 16 + 15) = \mathbf{11} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 전체에서 세 명분을 빼서 남은 점수를 구하는 것은 4학년 "여러 단계 자연수 문장제" 그대로입니다.

[1] #7 5.NF.B.6 팀을 "이름이 있는 세 명" 과 "나머지 일곱 명" 으로 나눈 뒤, 네 조각의 합이 $T$ 가 된다는 식을 세웁니다.

[2] #3 6.NS.B.4 모든 선수의 득점이 자연수여야 하므로 $\tfrac{1}{4}T$ 가 자연수($4 \mid T$), $\tfrac{2}{7}T$ 도 자연수($7

[3] #3 6.EE.B.8 $T$ 의 상한을 잡습니다. 세 주연 선수의 합은 $\tfrac{1}{4}T + \tfrac{2}{7}T + 15 = \tfrac{15}{28}

[4] #6 6.NS.B.4 두 필터("$28$ 의 배수" 와 "$T \le 62$") 를 동시에 만족하는 후보는 $T = 28$ 과 $T = 56$ 둘뿐이라 손으로 확인하

[5] #6 5.NF.B.6 $T = 28$ 을 대입합니다. 알렉사 $= 7$, 브리트니 $= 8$, 첼시 $= 15$ 의 합만 이미 $7 + 8 + 15 = 30$ 으로

[6] #6 4.OA.A.3 $T = 56$ 을 대입합니다. 알렉사 $= 14$, 브리트니 $= 16$, 첼시 $= 15$ 의 합이 $14 + 16 + 15 = 45$ 이므

검토

합리성 확인: 답 $X = 11$ 이 실제로 만들 수 있는 점수인지 확인합니다. $7$ 명이 각자 최대 $2$ 점이라는 조건 아래 $11$ 점을 만드는 방법은 충분히 있습니다 — 예를 들어 $4$ 명이 $2$ 점씩, $3$ 명이 $1$ 점씩 넣으면 $4 \times 2 + 3 \times 1 = 11$. 최종 합계도 $14 + 16 + 15 + 11 = 56 = T$ 로 딱 맞습니다. 그 다음 후보였던 $T = 84$ 는 나머지 $7$ 명에게 $\tfrac{13}{28}(84) - 15 = 39 - 15 = 24$ 점을 요구해 $14$ 점 한도를 넘기므로 불가능하고, 따라서 $T = 56$ 이 유일한 해임이 다시 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로도 같은 답이 나옵니다. $\tfrac{1}{4}T + \tfrac{2}{7}T + 15 + X = T$ 의 양변을 정리해 $\tfrac{13}{28}T = 15 + X$ 를 얻고, $T = 28k$ 로 놓으면 $X = 13k - 15$. 여기에 $0 \le X \le 14$ 를 대입하면 $k = 2$ 만 살아남아 $X = 11$ 이 됩니다. 추측·확인보다 식 조작은 많지만, 결론은 동일합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결 (알렉사, 브리트니, 첼시의 점수를 더한 뒤 $T$ 에서 빼서 남은 점수 $X$ 를 구하는 데 사용 (예: $56 - (14 + 16 + 15) = 11$).)
5.NF.B.6 분수와 대분수의 곱셈을 포함한 실생활 문제 해결 ("$T$ 의 $\tfrac{1}{4}$", "$T$ 의 $\tfrac{2}{7}$" 같은 "전체의 분수" 를 각 선수의 점수로 옮기는 데 사용 (예: $\tfrac{1}{4} \times 56 = 14$).)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($4 \mid T$ 와 $7 \mid T$ 라는 두 나눗셈 조건을 $\text{lcm}(4,7) = 28$ 으로 묶어 $T$ 의 후보를 $28$ 의 배수로 제한하는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 세우고 수직선 위에 나타내기 ("$7$ 명이 각자 $2$ 점 이하" 라는 조건을 $X \le 14$, 나아가 $\tfrac{13}{28}T - 15 \le 14$ 라는 $T$ 에 대한 부등식으로 옮겨 후보를 좁히는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — $T$ 가 $4$ 와 $7$ 의 공배수, 즉 $28$ 의 배수여야 한다는 사실 하나로 가능한 답이 단숨에 줄어듭니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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