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AMC 8 · 2020 · #25

학년 8 geometry-2dalgebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation
area-rectanglessystems-of-equationslinear-equations-two-varspatial-visualization convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equationsspatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에 표시된 직사각형 R1,R2R_1, R_2와 정사각형 S1,S2,S3S_1, S_2, S_3가 합쳐져서 가로 33223322 단위, 세로 20202020 단위인 직사각형을 이룹니다. S2S_2의 한 변의 길이는 몇 단위입니까?

(A) 651(B) 655(C) 656(D) 662(E) 666\textbf{(A) }651 \qquad \textbf{(B) }655 \qquad \textbf{(C) }656 \qquad \textbf{(D) }662 \qquad \textbf{(E) }666

답을 골라 클릭하세요.

(A)
651
(B)
655
(C)
656
(D)
662
(E)
666
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로 $3322$, 세로 $2020$ 인 큰 직사각형이 세 개의 정사각형 $S_1, S_2, S_3$ (한 변의 길이 $s_1, s_2, s_3$) 과 두 개의 직사각형 $R_1, R_2$ 로 빈틈 없이 채워져 있습니다. 그림에서 $S_1$ 은 왼쪽 위, 그 아래에 $R_1$ 이 있고, $S_2$ 는 가운데, $S_3$ 은 오른쪽 아래, 그 위에 $R_2$ 가 놓여 있습니다. 가운데 정사각형 $S_2$ 의 한 변 $s_2$ 를 구하시오.

주어진 것: 큰 직사각형의 가로 $= 3322$; 큰 직사각형의 세로 $= 2020$; $S_1, S_2, S_3$ 은 한 변의 길이가 각각 $s_1, s_2, s_3$ 인 정사각형; $R_1$ 은 $S_1$ 바로 아래, $R_2$ 는 $S_3$ 바로 위에 위치; 선택지: (A) $651$, (B) $655$, (C) $656$, (D) $662$, (E) $666$

구하는 것: 가운데 정사각형 $S_2$ 의 한 변의 길이 $s_2$

이해

문제 재정리: 가로 $3322$, 세로 $2020$ 인 큰 직사각형이 세 개의 정사각형 $S_1, S_2, S_3$ (한 변의 길이 $s_1, s_2, s_3$) 과 두 개의 직사각형 $R_1, R_2$ 로 빈틈 없이 채워져 있습니다. 그림에서 $S_1$ 은 왼쪽 위, 그 아래에 $R_1$ 이 있고, $S_2$ 는 가운데, $S_3$ 은 오른쪽 아래, 그 위에 $R_2$ 가 놓여 있습니다. 가운데 정사각형 $S_2$ 의 한 변 $s_2$ 를 구하시오.

주어진 것: 큰 직사각형의 가로 $= 3322$; 큰 직사각형의 세로 $= 2020$; $S_1, S_2, S_3$ 은 한 변의 길이가 각각 $s_1, s_2, s_3$ 인 정사각형; $R_1$ 은 $S_1$ 바로 아래, $R_2$ 는 $S_3$ 바로 위에 위치; 선택지: (A) $651$, (B) $655$, (C) $656$, (D) $662$, (E) $666$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

그림이 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기) 의 정신대로 "내 손으로 다시 그리며" 모든 변에 $s_1, s_2, s_3$ 라벨을 붙이는 게 핵심입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 그림을 가로 방향(전체 가로 = 정사각형 세 개의 변의 합) 과 세로 방향(왼쪽·오른쪽 기둥의 높이) 의 두 독립 식으로 분리합니다. 이렇게 만든 두 식을 도구 #13(대수로 바꾸기) 로 다루면, 두 식을 빼는 한 번의 동작만으로 $s_1$ 과 $s_3$ 가 동시에 사라지고 $s_2$ 만 남으므로 — 세 변을 모두 구할 필요가 없습니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1
  • 그림을 다시 그리며 라벨을 답니다.
  • 각 정사각형의 변에 $s_1, s_2, s_3$ 을 적고, 큰 직사각형의 윗변을 따라 어떤 변들이 일렬로 놓이는지 확인합니다.
  • 세 정사각형의 폭이 좌에서 우로 나란히 윗변 전체를 덮는데, 왼쪽이 $S_1$ ($R_1$ 위), 가운데가 $S_2$, 오른쪽이 $S_3$ (그 위가 $R_2$) 입니다.
$$\text{윗변} = s_1 + s_2 + s_3$$

💡 각 선분에 이름을 붙이면 그림이 문장이 됩니다 — "세 폭을 더하면 긴 변이 된다".

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 2
  • 가로 식을 읽어냅니다.
  • 라벨이 붙은 윗변의 길이는 주어진 가로 $3322$ 와 같으므로, 첫 번째 식이 만들어집니다.
$$s_1 + s_2 + s_3 = 3322 \quad (\text{식 1})$$

💡 그림의 가로 길이를 미지수의 합으로 표현하는 것은, 변수를 써서 실제 양을 묘사하는 동작 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3
  • 세로 방향을 읽어냅니다.
  • 왼쪽 기둥 ($S_1$ 위 $R_1$) 의 전체 높이는 $2020$ 이므로 $R_1$ 의 높이 $= 2020 - s_1$.
  • 오른쪽 기둥 ($S_3$ 아래 $R_2$) 의 전체 높이는 $2020$ 이므로 $R_2$ 의 높이 $= 2020 - s_3$.
  • 가운데 기둥에서 $S_2$ 는 $R_1$ 의 윗변(바닥에서 $2020 - s_1$ 높이) 과 $R_2$ 의 아랫변(바닥에서 $s_3$ 높이) 사이의 빈 구간을 정확히 채웁니다.
$$s_2 = (2020 - s_1) - s_3 \;\Leftrightarrow\; s_1 - s_2 + s_3 = 2020 \quad (\text{식 2})$$

💡 양옆의 $2020$ 높이 기둥을 쌓아 두고 가운데 정사각형에 남는 자리만 보면, 세로 배치가 식 하나로 깔끔하게 정리됩니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4
  • $s_1$ 과 $s_3$ 를 한 번에 없앱니다.
  • 식 1 에서 식 2 를 빼면 $s_1$ 항과 $s_3$ 항은 사라지고, $s_2$ 항은 두 배가 되어 살아남습니다.
$$(s_1 + s_2 + s_3) - (s_1 - s_2 + s_3) = 3322 - 2020 \;\Rightarrow\; 2 s_2 = 1302$$

💡 두 식이 대부분의 변수를 공유할 때, 두 식을 빼면 미지수들이 짝지어 소거됩니다 — 연립방정식의 전형적인 한 수입니다.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.B.6 단계 5

$s_2$ 를 구합니다.

$$s_2 = \dfrac{1302}{2} = 651 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 네 자리 수를 $2$ 로 나누는 것은 표준 나눗셈으로 깔끔하게 처리됩니다.

[1] #1 4.G.A.1 그림을 다시 그리며 라벨을 답니다. 각 정사각형의 변에 $s_1, s_2, s_3$ 을 적고, 큰 직사각형의 윗변을 따라 어떤 변들이 일렬로 놓
[2] #7 6.EE.B.6 가로 식을 읽어냅니다. 라벨이 붙은 윗변의 길이는 주어진 가로 $3322$ 와 같으므로, 첫 번째 식이 만들어집니다.
[3] #7 6.EE.B.7 세로 방향을 읽어냅니다. 왼쪽 기둥 ($S_1$ 위 $R_1$) 의 전체 높이는 $2020$ 이므로 $R_1$ 의 높이 $= 2020 - s_1
[4] #13 8.EE.C.8 $s_1$ 과 $s_3$ 를 한 번에 없앱니다. 식 1 에서 식 2 를 빼면 $s_1$ 항과 $s_3$ 항은 사라지고, $s_2$ 항은 두 배가
[5] #13 5.NBT.B.6 $s_2$ 를 구합니다.

검토

합리성 확인: 정답은 $0$ 과 $\min(3322, 2020) = 2020$ 사이에 있어야 하는데 $651$ 은 그 안에 잘 들어옵니다. 검산: $s_1 + s_2 + s_3 = 3322$ 와 $s_1 + s_3 - s_2 = 2020$ 을 더하면 $2(s_1 + s_3) = 5342$, 즉 $s_1 + s_3 = 2671$. 따라서 $s_2 = 3322 - 2671 = 651$ — 일치합니다. 또 그림상 $s_1, s_3 > s_2$ (가운데 정사각형이 가장 작음) 인데, $s_1 + s_3 = 2671$ 을 각각 $651$ 보다 큰 두 값으로 나누는 분할(예: $s_1 \approx 1369, s_3 \approx 1302$) 은 충분히 가능합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 검증할 수 있습니다. 식 1 과 식 2 를 더하면 $s_1 + s_3 = 2671$ 이 고정되므로, 식 1 로부터 $s_2 = 3322 - 2671 = 651$. (A)~(E) 각각의 $s_2$ 값을 식 1·식 2 에 동시에 대입해 보면 $s_1 + s_3 = 2671$ 을 만족시키는 후보는 $s_2 = 651$ 뿐이라, 대수 풀이 없이도 (A) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

  • 4.G.A.1 도형에서 점, 직선, 선분, 반직선, 각을 그리고 식별하기 (복합 직사각형 내부의 선분들을 읽고 각 정사각형의 변에 변수를 부여하여 라벨링.)
  • 6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 세우기 (미지의 정사각형 변 길이를 $s_1, s_2, s_3$ 으로 두고 윗변을 $s_1 + s_2 + s_3$ 식으로 표현.)
  • 6.EE.B.7 실생활 문제를 식을 세우고 풀어서 해결 (세 기둥의 높이를 비교하여 세로 배치를 $s_1 - s_2 + s_3 = 2020$ 의 식 하나로 정리.)
  • 8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립 분석 및 해결 ($s_1, s_2, s_3$ 에 대한 두 일차식을 빼서 $s_1$ 과 $s_3$ 을 동시에 소거하고 $2 s_2 = 1302$ 만 남기는 데 사용.)
  • 5.NBT.B.6 네 자리 피제수와 두 자리 제수까지의 정수 몫 구하기 (마지막에 $1302 \div 2 = 651$ 을 계산하여 변의 길이를 구함.)

⭐ 이 AMC 8 마지막 문제는 사실 8학년 때 배운 "두 일차방정식 빼서 변수 소거하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형의 가로·세로를 식 두 개로 적고 빼기만 하면 $s_2$ 가 툭 떨어집니다!

⭐ 이 AMC 8 마지막 문제는 사실 8학년 때 배운 "두 일차방정식 빼서 변수 소거하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형의 가로·세로를 식 두 개로 적고 빼기만 하면 $s_2$ 가 툭 떨어집니다!

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