AMC 8 · 2020 · #8
학년 5 arithmetic문제
리카르도는 개의 동전을 가지고 있는데, 그중 일부는 페니(센트짜리 동전)이고 나머지는 니켈(센트짜리 동전)입니다. 그는 적어도 한 개의 페니와 적어도 한 개의 니켈을 가지고 있습니다. 리카르도가 가질 수 있는 금액의 최댓값과 최솟값의 차이는 몇 센트입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 리카르도는 페니($1$ 센트짜리)와 니켈($5$ 센트짜리)을 모아 정확히 $2020$ 개의 동전을 가지고 있고, 두 종류 모두 최소 한 개씩은 가지고 있습니다. 이때 가능한 총 금액(센트 단위)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.
주어진 것: 동전의 총 개수는 $2020$ 개; 페니는 한 개에 $1$ 센트, 니켈은 한 개에 $5$ 센트; 페니도 최소 $1$ 개, 니켈도 최소 $1$ 개 있어야 함; 선택지: (A) $806$, (B) $8068$, (C) $8072$, (D) $8076$, (E) $8082$ (센트)
구하는 것: 가능한 총 금액의 최댓값(센트); 가능한 총 금액의 최솟값(센트); 최댓값과 최솟값의 차이(센트)
이해
문제 재정리: 리카르도는 페니($1$ 센트짜리)와 니켈($5$ 센트짜리)을 모아 정확히 $2020$ 개의 동전을 가지고 있고, 두 종류 모두 최소 한 개씩은 가지고 있습니다. 이때 가능한 총 금액(센트 단위)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.
주어진 것: 동전의 총 개수는 $2020$ 개; 페니는 한 개에 $1$ 센트, 니켈은 한 개에 $5$ 센트; 페니도 최소 $1$ 개, 니켈도 최소 $1$ 개 있어야 함; 선택지: (A) $806$, (B) $8068$, (C) $8072$, (D) $8076$, (E) $8082$ (센트)
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기
이 문장 속에는 작은 문제 세 개가 숨어 있습니다 — (가) 총액의 최댓값 찾기, (나) 총액의 최솟값 찾기, (다) 둘의 차이 구하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계를 분리하는 게 자연스럽습니다. 동전 개수를 어떻게 배분해야 최댓값/최솟값이 나오는지 직관이 안 보일 때는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $2020$ 대신 $5$ 개짜리 작은 버전을 먼저 풀어 보면 "한 종류는 딱 $1$ 개만 두고 나머지를 비싼(또는 싼) 동전으로 채운다" 는 규칙이 한눈에 드러납니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 이웃한 배분(예: 페니 $2$ 개, 니켈 $2018$ 개)과 비교해 "한 자리 바꾸면 정확히 $4$ 센트 차이" 를 확인하면 됩니다.
실행 — 정답: C
5.NBT.B.5 단계 1 - 먼저 더 쉬운 문제로 줄여 봅니다.
- 동전이 $5$ 개고 두 종류 모두 최소 $1$ 개 있어야 한다면, 총액을 최대로 만들려면 페니를 $1$ 개만 두고 나머지를 모두 니켈로 채워서 $1 + 4 \times 5 = 21$ 센트가 됩니다.
- 니켈 하나를 페니로 바꾸는 순간 $4$ 센트씩 줄어들기 때문에 이 배분이 진짜 최대입니다.
- 같은 규칙을 $2020$ 개에 적용하면 최댓값은 페니 $1$ 개 $+$ 니켈 $2019$ 개로 나옵니다.
💡 $2019 \times 5$ 같은 여러 자리 곱셈은 5학년에서 익히는 "여러 자리 자연수의 곱셈" 입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 같은 방식으로 최솟값도 구합니다.
- 이번엔 무게중심을 싼 동전 쪽에 몰면 됩니다 — 니켈을 $1$ 개만 두고 나머지 $2019$ 자리를 모두 페니로 채웁니다.
- 페니 하나를 니켈로 바꿀 때마다 $4$ 센트씩 늘어나므로 이 배분이 정말로 최소입니다.
💡 최댓값에 이어 최솟값을 따로 구하는 두 번째 소문제 — 사칙연산을 쓰는 4학년 다단계 문장제와 같은 결입니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 "한 자리 바꿈 $=$ $4$ 센트 차이" 를 직접 확인합니다.
- 페니 $2$ 개 $+$ 니켈 $2018$ 개를 시도하면 $2 + 10090 = 10092$ 센트로, 최댓값 $10096$ 보다 정확히 $4$ 센트 작습니다.
- 따라서 위에서 잡은 최댓값과 최솟값의 배분이 옳습니다.
💡 두 큰 수의 차이를 빠르게 빼 보는 작업이라 4학년 여러 자리 뺄셈 표준에 정확히 들어맞습니다.
4.NBT.B.4 단계 4 - 마지막 소문제는 단순한 뺄셈입니다.
- 최댓값에서 최솟값을 빼서 문제가 실제로 묻는 "차이" 를 구합니다.
💡 여러 자리 자연수의 뺄셈이라 4학년 표준 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 5 구한 값 $8072$ 를 선택지에서 찾으면 (C) 입니다.
💡 계산 결과를 선택지에 맞춰 고르는 것은 모든 다단계 문장제의 마무리 단계(4학년)입니다.
5.NBT.B.5 먼저 더 쉬운 문제로 줄여 봅니다. 동전이 $5$ 개고 두 종류 모두 최소 $1$ 개 있어야 한다면, 총액을 최대로 만들려면 페니를 $1$ 개만 4.OA.A.3 같은 방식으로 최솟값도 구합니다. 이번엔 무게중심을 싼 동전 쪽에 몰면 됩니다 — 니켈을 $1$ 개만 두고 나머지 $2019$ 자리를 모두 페니 4.NBT.B.4 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 "한 자리 바꿈 $=$ $4$ 센트 차이" 를 직접 확인합니다. 페니 $2$ 개 $+$ 니켈 $2018$ 개 4.NBT.B.4 마지막 소문제는 단순한 뺄셈입니다. 최댓값에서 최솟값을 빼서 문제가 실제로 묻는 "차이" 를 구합니다. 4.OA.A.3 구한 값 $8072$ 를 선택지에서 찾으면 (C) 입니다. 검토
합리성 확인: 지름길로 한 번 더 검산해 봅시다. 최솟값 배분(페니 $2019$, 니켈 $1$)에서 최댓값 배분(페니 $1$, 니켈 $2019$)으로 옮겨 갈 때 $2018$ 개의 동전이 페니에서 니켈로 바뀌고, 한 번 바뀔 때마다 $5 - 1 = 4$ 센트가 늘어납니다. 따라서 차이는 $2018 \times 4 = 8072$ 센트여야 하고, 직접 뺄셈한 값과 일치합니다. 크기 자체도 $8000$ 부근으로 선택지 범위와 잘 맞고, $4$ 의 배수라는 점도 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 도 가능합니다. 페니 개수를 $p$ 라 두면 니켈은 $2020 - p$ 개, 총액은 $V(p) = p + 5(2020 - p) = 10100 - 4p$ 센트입니다. $V$ 는 $p$ 가 커질수록 $4$ 씩 줄어드므로, $p = 1$ 일 때 최댓값 $10096$, $p = 2019$ 일 때 최솟값 $2024$ 가 나옵니다. 차이는 $4 \times (2019 - 1) = 8072$. 다만 어린 학습자에게는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 훨씬 가볍게 느껴집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 자연수의 다단계 문장제 해결 ("최댓값 구하기 $\to$ 최솟값 구하기 $\to$ 차이 구하기 $\to$ 선택지 고르기" 의 다단계 문장제 흐름을 그대로 적용.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈 (한 자리 교체 비용 $10096 - 10092 = 4$ 확인과, 최종 차이 $10096 - 2024 = 8072$ 계산에 사용.)5.NBT.B.5여러 자리 자연수의 곱셈 (최댓값을 구할 때 $2019 \times 5 = 10095$ 와 같은 큰 곱셈을 수행.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "여러 자리 자연수의 곱셈" 과 4학년 다단계 문장제 사고만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "여러 자리 자연수의 곱셈" 과 4학년 다단계 문장제 사고만 알면 풀 수 있어요!
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