AMC 8 · 2022 · #16
학년 4 arithmeticalgebra문제
네 개의 수가 한 줄로 나열되어 있습니다. 처음 두 수의 평균은 , 가운데 두 수의 평균은 , 마지막 두 수의 평균은 입니다. 첫 번째 수와 마지막 수의 평균은 얼마입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 수가 한 줄로 놓여 있고, 차례대로 $a, b, c, d$ 라고 합시다. 주어진 정보는 이웃한 두 수씩 묶은 평균 세 개입니다 — 앞쪽 두 수의 평균 $\tfrac{a+b}{2} = 21$, 가운데 두 수의 평균 $\tfrac{b+c}{2} = 26$, 뒤쪽 두 수의 평균 $\tfrac{c+d}{2} = 30$. 구해야 할 것은 첫 번째 수와 마지막 수의 평균 $\tfrac{a+d}{2}$ 입니다.
주어진 것: 앞쪽 두 수의 평균 $\tfrac{a+b}{2} = 21$; 가운데 두 수의 평균 $\tfrac{b+c}{2} = 26$; 뒤쪽 두 수의 평균 $\tfrac{c+d}{2} = 30$; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $26$, (D) $27$, (E) $28$
구하는 것: 첫 번째 수와 마지막 수의 평균 $\tfrac{a+d}{2}$
이해
문제 재정리: 네 수가 한 줄로 놓여 있고, 차례대로 $a, b, c, d$ 라고 합시다. 주어진 정보는 이웃한 두 수씩 묶은 평균 세 개입니다 — 앞쪽 두 수의 평균 $\tfrac{a+b}{2} = 21$, 가운데 두 수의 평균 $\tfrac{b+c}{2} = 26$, 뒤쪽 두 수의 평균 $\tfrac{c+d}{2} = 30$. 구해야 할 것은 첫 번째 수와 마지막 수의 평균 $\tfrac{a+d}{2}$ 입니다.
주어진 것: 앞쪽 두 수의 평균 $\tfrac{a+b}{2} = 21$; 가운데 두 수의 평균 $\tfrac{b+c}{2} = 26$; 뒤쪽 두 수의 평균 $\tfrac{c+d}{2} = 30$; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $26$, (D) $27$, (E) $28$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 사고)
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
$a, b, c, d$ 각각을 구하려 들면 미지수 4 개에 식은 3 개라 답이 하나로 정해지지 않습니다. 그러나 문제가 묻는 것은 개별 값이 아니라 $a+d$ 하나뿐 — 여기서 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정적입니다. 네 수의 전체 합 $a+b+c+d$ 안에서 보면, 우리가 원하는 $a+d$ 는 가운데 쌍 $b+c$ 의 "여집합" 입니다. 전체와 가운데를 알면 바깥쪽은 자동으로 정해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세 단계로 일을 나눠 줍니다 — (1) 평균 $\times 2$ 로 각 쌍의 합을 구하고, (2) 양 끝 쌍의 합을 더해 전체 합을 만들고, (3) 가운데 쌍의 합을 빼서 $a+d$ 를 얻고 마지막에 $2$ 로 나누면 끝. 대수($x, y$ 연립방정식)는 전혀 필요하지 않습니다.
실행 — 정답: B
3.OA.A.3 단계 1 - 주어진 평균을 모두 "쌍의 합" 으로 바꿉니다.
- 두 수의 평균은 두 수의 합을 $2$ 로 나눈 값이므로, 각 평균에 $2$ 를 곱하면 그 쌍의 합이 됩니다.
💡 "두 수의 평균이 $21$" 을 "두 수의 합이 $42$" 로 바꿔 읽는 것은 3학년 곱셈 문장제 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 양 끝 쌍의 합 $a+b$ 와 $c+d$ 를 더합니다.
- 이 두 쌍에는 $a, b, c, d$ 가 한 번씩만 나오므로, 결과는 네 수 전체의 합이 됩니다.
💡 겹치지 않는 작은 합들을 더해 전체 합을 만드는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 "부분 답을 합쳐서 큰 답을 만든다" 그 자체입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 여기서 관점을 뒤집습니다.
- 전체 합 $a+b+c+d = 102$ 안에서 가운데 쌍 $b+c = 52$ 를 빼면, 남은 것은 정확히 양 끝의 합 $a+d$ — 즉 가운데 쌍의 "여집합" 입니다.
💡 전체와 한 부분을 알면 나머지 부분은 "전체 $-$ 부분" — 도구 #16(관점 바꾸기) 의 여집합 트릭이 4학년 뺄셈 옷을 입고 나타난 모습입니다.
3.OA.A.3 단계 4 - 마지막으로 쌍의 합 $a+d = 50$ 을 다시 평균으로 되돌립니다.
- $2$ 로 나누면 첫 번째 수와 마지막 수의 평균이 나옵니다.
💡 1단계와 같은 정의를 거꾸로 — "두 수의 합이 $50$ 이면 평균은 $25$" — 3학년 나눗셈 그대로입니다.
3.OA.A.3 주어진 평균을 모두 "쌍의 합" 으로 바꿉니다. 두 수의 평균은 두 수의 합을 $2$ 로 나눈 값이므로, 각 평균에 $2$ 를 곱하면 그 쌍의 4.OA.A.3 양 끝 쌍의 합 $a+b$ 와 $c+d$ 를 더합니다. 이 두 쌍에는 $a, b, c, d$ 가 한 번씩만 나오므로, 결과는 네 수 전체의 합이 4.OA.A.3 여기서 관점을 뒤집습니다. 전체 합 $a+b+c+d = 102$ 안에서 가운데 쌍 $b+c = 52$ 를 빼면, 남은 것은 정확히 양 끝의 합 3.OA.A.3 마지막으로 쌍의 합 $a+d = 50$ 을 다시 평균으로 되돌립니다. $2$ 로 나누면 첫 번째 수와 마지막 수의 평균이 나옵니다. 검토
합리성 확인: 주어진 평균 세 개는 $21, 26, 30$ 으로, 두 수씩 묶는 창문을 왼쪽에서 오른쪽으로 옮길수록 커집니다. 즉 네 수 자체가 전체적으로 증가하는 흐름이라, 가장 왼쪽 $a$ 와 가장 오른쪽 $d$ 의 평균은 $21$ 과 $30$ 사이 어딘가에 자리잡을 것이라 예상할 수 있습니다. 답 $25$ 는 그 범위 안에서 약간 아래쪽 — 작은 쪽 $a$ 가 평균을 끌어내리는 효과와 잘 맞습니다. 구체적으로 $a = 16, b = 26, c = 26, d = 34$ 를 잡으면 세 평균 조건을 모두 만족하고 $\tfrac{a+d}{2} = \tfrac{16+34}{2} = 25$ 가 됩니다. ✓
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 편한 값을 잡아 봅시다. 가운데 평균이 $26$ 이니 $b = 26$ 으로 두면 자연스럽고, 그러면 $a = 42 - 26 = 16$, $c = 52 - 26 = 26$, $d = 60 - 26 = 34$ 가 따라옵니다. 첫 번째와 마지막의 평균은 $\tfrac{16+34}{2} = 25$. $b$ 를 다른 값으로 잡아도 $a$ 가 같은 만큼 내려가고 $d$ 가 같은 만큼 올라가서 $\tfrac{a+d}{2}$ 는 항상 $25$ 로 일정합니다 — 이 문제가 사실 이 "불변량" 위에 설계되어 있다는 것을 보여 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.A.3100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 ("두 수의 평균" 과 "두 수의 합" 사이를 $\times 2$, $\div 2$ 로 오가는 데 사용 — 시작 단계에서 각 평균을 쌍의 합으로 바꾸고, 마지막 단계에서 합 $50$ 을 다시 평균 $25$ 로 되돌릴 때.)4.OA.A.3네 가지 연산을 사용한 여러 단계 문장제 해결 (양 끝 쌍의 합을 더해 전체 합을 만들고 ($42 + 60 = 102$), 거기서 가운데 쌍의 합을 빼서 $a+d$ 를 분리하는 ($102 - 52 = 50$) 다단계 정수 연산.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 사칙연산 — 양 끝 쌍의 합을 더하고 가운데 쌍의 합을 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 사칙연산 — 양 끝 쌍의 합을 더하고 가운데 쌍의 합을 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!
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