AMC 8 · 2022 · #21

학년 7 algebrarate-ratio

percentageratio-proportionsystems-of-equations bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 경기에서 스테프(Steph)는 전반에 $20$ 번 시도하여 $15$ 골을 넣었고, 후반에 $10$ 번 시도하여 $10$ 골을 모두 넣었습니다. 캔디스(Candace)는 전반에 $12$ 번, 후반에 $18$ 번을 시도했습니다. 전반과 후반 모두에서 스테프의 성공률이 캔디스의 성공률보다 높았습니다. 그런데 놀랍게도 두 사람의 경기 전체 성공률은 같았습니다. 캔디스가 후반에 넣은 골은 전반에 넣은 골보다 몇 골 더 많습니까?

$\textbf{(A) } 7\qquad\textbf{(B) } 8\qquad\textbf{(C) } 9\qquad\textbf{(D) } 10\qquad\textbf{(E) } 11$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 스테프와 캔디스가 한 경기를 전반·후반으로 나누어 뛰었습니다. 스테프는 전반전에 $20$ 개 중 $15$ 개, 후반전에 $10$ 개 중 $10$ 개를 성공시켰습니다. 캔디스는 전반전에 $12$ 개를 시도해 $x$ 개, 후반전에 $18$ 개를 시도해 $y$ 개를 성공시켰습니다. 각 하프에서 스테프의 성공률이 캔디스보다 엄격히 높았지만, 전체 성공률은 둘이 똑같았습니다. 캔디스가 후반전에 전반전보다 몇 개를 더 넣었는지, 즉 $y - x$ 의 값을 구해야 합니다.

주어진 것: 스테프: 전반전 $15/20$, 후반전 $10/10$ (전체 $25/30$); 캔디스: 전반전 $x/12$, 후반전 $y/18$ (전체 $(x+y)/30$); 전반전 성공률은 스테프 $>$ 캔디스; 후반전 성공률도 스테프 $>$ 캔디스; 전체 성공률은 스테프 $=$ 캔디스; $x, y$ 는 음이 아닌 정수; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$

구하는 것: $y - x$ 의 값 (캔디스가 후반전에 전반전보다 더 넣은 바스켓 수)

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

두 미지수 $x, y$ 가 하나의 방정식(전체 성공률이 같음)과 두 개의 부등식(하프별 비교)으로 묶여 있는, 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적인 상황입니다. 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)로 데이터를 $2 \times 3$ 표에 정리하면 "두 선수 모두 총 $30$ 회 시도"라는 핵심이 한눈에 보이고, 이 사실 덕분에 "성공률이 같다" 가 곧바로 깔끔한 방정식 $x + y = 25$ 로 바뀝니다. 마지막엔 도구 #3(가능성 지우기)으로 한쪽 부등식의 $x \le 8$ 과 다른 쪽에서 유도되는 $x \ge 8$ 을 결합해 가능한 정수 쌍을 단 하나로 좁힙니다.

실행 — 정답: C

#15 다르게 정리하기 6.RP.A.1 단계 1

슛 데이터를 $2 \times 3$ 표(선수 $\times$ 하프+합계)로 다시 정리해, 두 선수의 구조를 한눈에 비교합니다.
| 선수 | 전반전 | 후반전 | 합계 | |---------|------------|------------|-------------| | 스테프 | $15/20$ | $10/10$ | $25/30$ | | 캔디스 | $x/12$ | $y/18$ | $(x+y)/30$ | 핵심 관찰: 두 선수의 합계 분모가 모두 $30$ 으로 같습니다 ($20+10 = 12+18 = 30$).

$$20 + 10 = 30, \quad 12 + 18 = 30$$

💡 표로 다시 정리하는 것이 도구 #15 의 핵심 — 두 선수의 시도 합계가 똑같이 $30$ 이라는, 문제 풀이의 결정적 단서가 바로 눈에 들어옵니다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 2

"전체 성공률이 같다" 를 식으로 바꿉니다.
분모가 같으므로 분자도 같아야 하며, 시스템의 첫 번째 식이 나옵니다.

$$\dfrac{25}{30} = \dfrac{x+y}{30} \;\Longrightarrow\; x + y = 25$$

💡 분모가 같은 두 비가 같으려면 분자도 같아야 한다는 6학년 비율 추론 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

하프별 비교를 부등식으로 옮기고 풉니다.
전반전: $\dfrac{x}{12} < \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$ 이므로 양변에 $12$ 를 곱해 $x < 9$ 를 얻고, $x$ 가 정수이므로 $x \le 8$.
후반전: $\dfrac{y}{18} < \dfrac{10}{10} = 1$ 이므로 $y < 18$, 즉 $y \le 17$.

$\dfrac{x}{12} < \dfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; x < 9 \;\Rightarrow\; x \le 8$ $\dfrac{y}{18} < 1 \;\Rightarrow\; y < 18 \;\Rightarrow\; y \le 17$

💡 미지수에 대한 간단한 부등식을 세우고 푸는 것은 7학년 "방정식과 부등식 세우고 풀기" 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 7.EE.B.4 단계 4

방정식과 두 부등식을 합쳐 $x, y$ 를 확정합니다.
$x + y = 25$ 와 $y \le 17$ 에서 $x = 25 - y \ge 25 - 17 = 8$.
여기에 $x \le 8$ 까지 묶이면 $x = 8$ 하나로 좁혀지고, 따라서 $y = 17$.

$$x \ge 8 \text{ 이고 } x \le 8 \;\Rightarrow\; x = 8, \; y = 17$$

💡 양쪽에서 반대 방향으로 누른 부등식이 단 하나의 정수만 남기는, 도구 #3 의 "가능성 지워서 하나만 남기기" 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 4.NBT.B.4 단계 5

문제가 묻는 값을 계산합니다 — 캔디스가 후반전에 전반전보다 몇 개 더 넣었는가?

$$y - x = 17 - 8 = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 수가 정해지고 나면 정답은 4학년 뺄셈 한 줄로 끝납니다.

[1] #15 6.RP.A.1 슛 데이터를 $2 \times 3$ 표(선수 $\times$ 하프+합계)로 다시 정리해, 두 선수의 구조를 한눈에 비교합니다. | 선수

[2] #13 6.RP.A.3 "전체 성공률이 같다" 를 식으로 바꿉니다. 분모가 같으므로 분자도 같아야 하며, 시스템의 첫 번째 식이 나옵니다.

[3] #13 7.EE.B.4 하프별 비교를 부등식으로 옮기고 풉니다. 전반전: $\dfrac{x}{12} < \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$ 이므로

[4] #3 7.EE.B.4 방정식과 두 부등식을 합쳐 $x, y$ 를 확정합니다. $x + y = 25$ 와 $y \le 17$ 에서 $x = 25 - y \ge 25 -

[5] #13 4.NBT.B.4 문제가 묻는 값을 계산합니다 — 캔디스가 후반전에 전반전보다 몇 개 더 넣었는가?

검토

합리성 확인: $(x, y) = (8, 17)$ 로 시나리오를 확인해 봅니다. 전반전 캔디스 $8/12 \approx 66.7\%$ vs 스테프 $75\%$ — 스테프가 더 높음 (조건 만족). 후반전 캔디스 $17/18 \approx 94.4\%$ vs 스테프 $100\%$ — 역시 스테프가 더 높음 (조건 만족). 전체 캔디스 $25/30 \approx 83.3\%$ vs 스테프 $25/30$ — 같음 (조건 만족). 모든 조건이 들어맞고, 답 $9$ 는 선택지 (C) 와 일치하며, $7$ 부터 $11$ 까지의 보기 중에서 한가운데 값이라 극단치 경고도 없습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지에 직접 대입해 봅시다. $y - x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}$ 각 후보는 $x + y = 25$ 와 묶여 $(x, y)$ 를 유일하게 결정합니다 — 예컨대 $y - x = 9$ 이면 $(x, y) = (8, 17)$. 각 쌍을 $x \le 8, \; y \le 17$ 에 대입해 보면, $7 \to (9, 16)$ 은 $x \le 8$ 위반, $10, 11 \to (7.5, 17.5), (7, 18)$ 은 비정수이거나 $y \le 17$ 위반. 두 부등식을 모두 만족하는 쌍은 $(8, 17)$ 뿐이고 답은 (C) 로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 ($x, y$ 가 정해진 뒤 최종 답 $y - x = 17 - 8 = 9$ 를 구하는 마무리 뺄셈.)
6.RP.A.1 비(比)의 개념을 이해하고 비의 언어로 표현 (스테프와 캔디스의 슛 데이터를 "성공/시도" 비의 표로 다시 정리해, 두 선수의 시도 합계가 모두 $30$ 임을 가시화.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (분모가 공통($30$)인 두 비 $25/30 = (x+y)/30$ 이 같으려면 분자도 같아야 함을 이용해 $x + y = 25$ 를 끌어냄.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고, 간단한 방정식·부등식을 세워 해결 (하프별 부등식 $x/12 < 3/4$, $y/18 < 1$ 을 세우고 풀어 $x \le 8, \; y \le 17$ 을 얻은 뒤, $x + y = 25$ 와 결합해 $x = 8, \; y = 17$ 을 확정.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "방정식 + 부등식 세우기" 만 알면 풀 수 있어요 — 두 개의 부등식으로 답을 살짝 좁혀 보세요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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