AMC 8 · 2022 · #23

학년 7 counting

combinations-basicsystematic-enumerationspatial-visualization caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

$3 \times 3$ 격자의 아홉 칸 각각에 $\triangle$ 또는 $\bigcirc$ 를 하나씩 그려 넣습니다. 아래 그림은 $\triangle$ 세 개가 한 줄을 이루는 배치의 한 예입니다.

$\triangle$ 세 개가 한 줄을 이루면서 동시에 $\bigcirc$ 세 개도 한 줄을 이루는 배치는 모두 몇 가지입니까?

$\textbf{(A) } 39 \qquad \textbf{(B) } 42 \qquad \textbf{(C) } 78 \qquad \textbf{(D) } 84 \qquad \textbf{(E) } 96$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자의 $9$ 칸 각각에 삼각형($\triangle$) 또는 동그라미($\bigcirc$) 중 하나를 놓습니다. "줄"이란 $3$ 개의 행, $3$ 개의 열, 그리고 $2$ 개의 주대각선 — 모두 $8$ 줄입니다. $2^9 = 512$ 가지 채우는 방법 중, $\triangle$ 세 개로 이루어진 줄과 $\bigcirc$ 세 개로 이루어진 줄을 동시에 갖는 경우의 수를 구하시오.

주어진 것: 칸이 $9$ 개인 $3 \times 3$ 격자; 각 칸에는 $\triangle$ 또는 $\bigcirc$ 중 정확히 하나가 들어감; "줄"은 행, 열, 또는 주대각선 (총 $8$ 줄); 조건: 적어도 한 줄이 모두 $\triangle$, 적어도 한 줄이 모두 $\bigcirc$; 선택지: (A) $39$, (B) $42$, (C) $78$, (D) $84$, (E) $96$

구하는 것: $\triangle$ 줄과 $\bigcirc$ 줄을 동시에 갖는 배치의 총 가짓수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

"몇 가지 배치인가?" 라는 큰 질문은 한 번에 풀기 어렵지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 먼저 기하학적 작은 질문을 던지면 길이 열립니다 — "어떤 두 줄이 동시에 단색이 될 수 있는가?" 두 줄이 칸을 공유할 수 없으므로, $3 \times 3$ 격자에서 서로소(겹치지 않는)인 줄 쌍은 "서로 다른 두 행" 또는 "서로 다른 두 열" 뿐입니다. 대각선은 단번에 제외됩니다. 이렇게 문제가 훨씬 작아지면, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 "열 경우"만 세고 대칭으로 $2$ 배 하면 끝납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "단색 열이 몇 개인가" 를 기준으로 경우를 나누는 데 사용해 누락·중복을 막아줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.3 단계 1

첫 번째 작은 문제 — $\triangle$ 줄과 $\bigcirc$ 줄이 될 수 있는 줄 쌍은?
두 줄은 서로 칸을 공유하면 안 됩니다(서로소).
모든 종류의 줄 쌍을 점검해 보면, 행과 열은 항상 한 칸에서 만나고, 행과 대각선·열과 대각선도 한 칸에서 만나며, 두 대각선은 중앙 칸에서 만납니다.
서로소인 경우는 "서로 다른 두 행" 또는 "서로 다른 두 열" 뿐입니다.

$$\text{서로소 줄 쌍} \in \{\text{행, 행}\} \cup \{\text{열, 열}\}$$

💡 $8$ 개의 줄을 "공존 가능" / "불가능" 으로 분류해 문제를 줄이는 것은 5학년 "속성으로 분류하기" 동작 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.B.3 단계 2

행과 열을 바꾸는 대칭성에 따라, 단색 줄이 "열" 인 격자의 수와 "행" 인 격자의 수는 같습니다.
또한 두 경우는 절대 겹치지 않습니다 — 격자에 $\triangle$ 단색 열과 $\bigcirc$ 단색 열이 동시에 존재하면 모든 행이 이미 두 모양을 모두 포함하므로, 어떤 행도 단색일 수 없습니다.
따라서 열 경우만 한 번 세고 $2$ 를 곱하면 됩니다.

$$\text{전체} = 2 \times (\triangle\text{ 단색 열과 }\bigcirc\text{ 단색 열을 동시에 갖는 배치 수})$$

💡 행과 열의 대칭성은 5학년 "한 분류 안의 성질은 공유된다" 는 발상으로, 쉬운 쪽만 풀고 거울처럼 옮겨오면 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

두 번째 작은 문제 (경우 1) — $\triangle$ 단색 열과 $\bigcirc$ 단색 열이 정확히 하나씩이고, 나머지 한 열은 섞여 있는 경우.
$3$ 개의 열 중 어디를 $\triangle$ 단색으로 할지 ($3$ 가지) $\times$ 남은 $2$ 개 중 어디를 $\bigcirc$ 단색으로 할지 ($2$ 가지).
마지막 열은 $3$ 칸 각각 $2$ 가지 선택이라 $2^3 = 8$ 가지 채우는 방법이 있지만, 모두 같은 모양인 $2$ 가지는 경우 2 로 넘기므로 제외 — 섞인 열은 $8 - 2 = 6$ 가지.

$$3 \times 2 \times (2^3 - 2) = 3 \times 2 \times 6 = 36$$

💡 각 열의 독립적인 선택지를 곱하는 것은 7학년 "조직화된 목록으로 복합 사건 세기" 의 곱셈 원리입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

두 번째 작은 문제 (경우 2) — 세 열 모두 단색이고 두 모양이 모두 등장하는 경우.
$\triangle$ 단색 열 $2$ 개 $+ \bigcirc$ 단색 열 $1$ 개($\bigcirc$ 열 위치를 고르는 $3$ 가지), 또는 그 반대($3$ 가지).
합 $3 + 3 = 6$.
경우 1 과 경우 2 를 더하면 열 경우 합계: $36 + 6 = 42$.

$$3 + 3 = 6;\quad 36 + 6 = 42 \text{ (열 경우)}$$

💡 남은 상황을 빠짐없이·겹치지 않게 나누어 더하는 것은 7학년 체계적 세기 방법입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 5

2단계의 대칭성을 적용하면 행 경우도 $42$ 이고, 두 경우는 서로소이므로 단순히 더할 수 있습니다.
따라서 조건을 만족하는 배치의 총 수는 $42 + 42 = 84$ — 선택지 (D) 와 일치합니다.

$$42 + 42 = 84 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 서로소 경우를 더하는 것은 세기의 덧셈 원리 — 7학년 복합 사건 추론입니다.

[1] #7 5.G.B.3 첫 번째 작은 문제 — $\triangle$ 줄과 $\bigcirc$ 줄이 될 수 있는 줄 쌍은? 두 줄은 서로 칸을 공유하면 안 됩니다(서로소

[2] #9 5.G.B.3 행과 열을 바꾸는 대칭성에 따라, 단색 줄이 "열" 인 격자의 수와 "행" 인 격자의 수는 같습니다. 또한 두 경우는 절대 겹치지 않습니다 —

[3] #2 7.SP.C.8 두 번째 작은 문제 (경우 1) — $\triangle$ 단색 열과 $\bigcirc$ 단색 열이 정확히 하나씩이고, 나머지 한 열은 섞여 있는

[4] #2 7.SP.C.8 두 번째 작은 문제 (경우 2) — 세 열 모두 단색이고 두 모양이 모두 등장하는 경우. $\triangle$ 단색 열 $2$ 개 $+ \big

[5] #9 7.SP.C.8 2단계의 대칭성을 적용하면 행 경우도 $42$ 이고, 두 경우는 서로소이므로 단순히 더할 수 있습니다. 따라서 조건을 만족하는 배치의 총 수는

검토

합리성 확인: 답의 크기 감을 잡아 봅니다. $3 \times 3$ 격자의 전체 채우기 수는 $2^9 = 512$. 단색 $\triangle$ 줄이 있는 격자 수와 단색 $\bigcirc$ 줄이 있는 격자 수는 거의 같고, 둘이 동시에 일어나는 경우는 그중 일부입니다. $84$ 가지($512$ 의 약 $16\%$)는 합리적인 범위 — 분명히 $96$ 보다 작고 $39$ 보다는 훨씬 큽니다. 내부 검산: 열 경우 합 $36 + 6 = 42$ 는 선택지 (B), 행 경우 $42$ 를 더한 $84$ 가 (D). 문제 출제자는 "대칭 곱하기를 잊으면 $42$", "대각선 배제를 빠뜨리면 $78$" 처럼 흔한 실수가 오답 선택지에 떨어지도록 일부러 배치했습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건)으로 경우 1 을 한 줄로 교차 검증할 수 있습니다. "섞인 열은 $8 - 2 = 6$ 가지" 대신, 세 번째 열을 $2^3 = 8$ 가지로 자유롭게 두고 단색인 $2$ 가지를 여사건으로 빼는 관점입니다. 그러면 $3 \cdot 2 \cdot 8 = 48$ 인데, 이 안에는 "세 번째 열이 우연히 단색" 이 되어 사실은 경우 2 에 속하는 배치가 $6$ 개 중복으로 들어 있습니다. 그 $6$ 을 빼고 경우 2 의 $6$ 으로 다시 더해도 결과는 같은 $42$ — 열 경우 수가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.B.3 한 분류에 속하는 성질은 그 모든 하위 분류에 적용됨을 이해 ($8$ 개의 줄(행·열·대각선)을 서로소가 될 수 있는 것과 없는 것으로 분류하고, 행과 열의 대칭성을 인식해 열 경우만 풀어도 충분함을 보이는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직화된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률(경우의 수) 구하기 (열 배치 수 계산: 곱셈 원리(경우 1 에서 $3 \times 2 \times 6 = 36$)와 덧셈 원리(경우 1 $+$ 경우 2 $= 42$; 행 $+$ 열 $= 84$)를 체계적인 경우 목록 위에서 적용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "경우의 수 곱하고 더하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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