AMC 8 · 2022 · #9

학년 4 arithmeticalgebra

sequences-geometricexponentsfraction-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticexponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

끓는 물( $212^{\circ}\text{F}$ ) 한 컵을 실내 온도가 $68^{\circ}\text{F}$ 로 일정하게 유지되는 방에 두어 식힙니다. 물의 온도와 실내 온도의 차이가 $5$ 분마다 절반으로 줄어든다고 할 때, $15$ 분 후 물의 온도는 화씨 몇 도입니까?

$\textbf{(A) } 77 \qquad \textbf{(B) } 86 \qquad \textbf{(C) } 92 \qquad \textbf{(D) } 98 \qquad \textbf{(E) } 104$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

104

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 끓는 물 한 잔($212^{\circ}\text{F}$)을 실내 온도가 항상 $68^{\circ}\text{F}$로 일정한 방에 둡니다. 물 온도와 실내 온도의 차이가 $5$분마다 절반으로 줄어든다고 할 때, $15$분 뒤 물의 온도는 몇 $^{\circ}\text{F}$ 일까요?

주어진 것: 처음 물 온도 $= 212^{\circ}\text{F}$; 실내 온도(일정) $= 68^{\circ}\text{F}$; 물과 방의 온도 차이가 $5$분마다 절반으로 줄어듦; 지난 시간 $= 15$분; 선택지: (A) $77$, (B) $86$, (C) $92$, (D) $98$, (E) $104$

구하는 것: $15$분 뒤 물의 온도 ($^{\circ}\text{F}$ 단위)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

"차이가 $5$분마다 절반" 이라는 규칙은 도구 #5(패턴 찾기)에 딱 들어맞습니다 — $0, 5, 10, 15$분 시점의 차이를 표로 적으면 $144, 72, 36, 18$이라는 깔끔한 등비 패턴이 바로 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 조각으로 나눕니다 — (a) 처음 차이 구하기, (b) 그 차이를 세 번 반으로 줄이기, (c) 실내 온도를 다시 더해 물 온도로 되돌리기. 도구 #13(대수)이나 $D_n = D_0 \cdot (\tfrac{1}{2})^n$ 같은 지수 공식은 일부러 쓰지 않습니다 — 초등학생이 $144$를 세 번 반으로 나눠 보는 게 훨씬 자연스럽습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 선택지로 답을 검증할 때 마지막에 꺼냅니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 1

물 온도와 실내 온도의 처음 차이를 구합니다.
앞으로 이 값이 반복해서 반으로 줄어들 양이므로, 무엇보다 먼저 식탁 위에 올려 둡니다.

$$212 - 68 = 144 \;^{\circ}\text{F}$$

💡 여러 자리 자연수 뺄셈 ($212 - 68$) 은 4학년에서 다지는 기본 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 2

차이가 몇 번이나 반으로 줄어드는지 셉니다.
$5$분에 한 번씩 줄어들고 총 시간이 $15$분이므로, $5$분 묶음이 정확히 $3$개 들어갑니다.
즉 차이는 $3$번 절반이 됩니다.

$$\dfrac{15 \text{ 분}}{5 \text{ 분}} = 3 \text{ 번 반으로 줄어듦}$$

💡 "$15$ 안에 $5$가 몇 묶음 들어가나?" 라는 질문은 3학년 나눗셈 문장제 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

반으로 줄이는 규칙을 세 번 적용합니다.
한 줄짜리 작은 표를 만들면 패턴이 한눈에 보입니다 — 다음 칸은 늘 앞 칸을 $2$로 나눈 값입니다.

$$144 \;\xrightarrow{\div 2}\; 72 \;\xrightarrow{\div 2}\; 36 \;\xrightarrow{\div 2}\; 18$$

💡 "$2$로 나눈다" 라는 규칙을 따라 수열을 만들어 가는 것은 4학년 "주어진 규칙으로 수·도형 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

마지막 차이를 다시 "물 온도" 로 되돌립니다.
$15$분 뒤 물은 방보다 $18^{\circ}\text{F}$ 만큼 더 따뜻하고, 방은 여전히 $68^{\circ}\text{F}$ 입니다.

$$68 + 18 = 86 \;^{\circ}\text{F} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 차이에 실내 온도를 다시 더해 주는 마지막 작은 문제는 4학년 여러 자리 덧셈입니다.

[1] #7 4.NBT.B.4 물 온도와 실내 온도의 처음 차이를 구합니다. 앞으로 이 값이 반복해서 반으로 줄어들 양이므로, 무엇보다 먼저 식탁 위에 올려 둡니다.

[2] #7 3.OA.A.3 차이가 몇 번이나 반으로 줄어드는지 셉니다. $5$분에 한 번씩 줄어들고 총 시간이 $15$분이므로, $5$분 묶음이 정확히 $3$개 들어갑니다

[3] #5 4.OA.C.5 반으로 줄이는 규칙을 세 번 적용합니다. 한 줄짜리 작은 표를 만들면 패턴이 한눈에 보입니다 — 다음 칸은 늘 앞 칸을 $2$로 나눈 값입니다.

[4] #7 4.NBT.B.4 마지막 차이를 다시 "물 온도" 로 되돌립니다. $15$분 뒤 물은 방보다 $18^{\circ}\text{F}$ 만큼 더 따뜻하고, 방은 여전히

검토

합리성 확인: 상식 점검: 물은 $212^{\circ}\text{F}$ 에서 $68^{\circ}\text{F}$ 쪽으로 식어 가므로, 답은 반드시 두 값 사이($68$ ~ $212$)에 있어야 하고, $15$분 동안 빠르게 식었으니 $212$ 보다는 $68$ 쪽에 훨씬 가까워야 합니다. $86^{\circ}\text{F}$ 는 구간 $(68, 212)$ 안에 있으면서 실내 온도 쪽에 더 가까워, "차이가 세 번 반으로 줄었다" 는 상황과 정확히 어울립니다. (D) $98$ 과 (E) $104$ 는 차이가 덜 줄어든 경우, (A) $77$ 은 한 번 더 줄어든 경우라 모두 맞지 않고, 세 번 반으로 줄인 결과는 오직 (B) $86$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입할 수 있습니다. 각 후보 물 온도 $T$ 에 대해 마지막 차이는 $T - 68$ 인데, $144$ 를 세 번 반으로 줄이면 $18$ 이 되어야 하므로 $T - 68 = 18$, 즉 $T = 86$ 입니다. 다른 선택지의 차이는 $9, 24, 30, 36$ — 어느 것도 $144$ 를 세 번 반으로 줄인 값이 아닙니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 (처음 차이 $212 - 68 = 144$ 와 마지막 물 온도 $68 + 18 = 86$ 을 구하는 데 사용.)
3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (지난 시간 $15$ 분 안에 $5$ 분 간격이 몇 번 들어가는지 $15 \div 5 = 3$ 으로 세는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ("$2$로 나눈다" 라는 규칙을 세 번 적용해 차이의 수열 $144, 72, 36, 18$ 을 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙을 따라 패턴 만들기" — 어떤 수를 반으로 몇 번 줄이기 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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