AMC 8 · 2023 · #12

• 격자에서 반지름 읽기.
• 도구 #1을 적용해 점선 격자를 자로 활용합니다.
• 큰 흰색 원은 가로로 $6$ 칸이니 반지름 $3$.
• 큰 회색 원은 $4$ 칸이니 반지름 $2$.
• 안쪽 흰색 원은 각각 $2$ 칸이니 반지름 $1$.
• 바깥쪽 작은 회색 원은 각각 $1$ 칸이니 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.

💡 좌표 격자에서 길이를 직접 읽어내는 것은 5학년 "좌표평면 위의 점 표현" 표준 그대로입니다.

• 큰 흰색 원의 넓이 (= 분모).
• 원의 넓이 공식 $A=\pi r^2$ 에 $r=3$ 을 넣어 한 번에 끝냅니다.
• 이것이 회색 비율을 잴 "전체" 가 됩니다.

💡 $A=\pi r^2$ 은 7학년에서 배우는 원의 넓이 공식 — 이 문제에서 "가장 늦게 배우는" 도구는 사실 이것 하나뿐입니다.

• 작은 문제 A — 큰 회색 원의 넓이.
• 같은 공식에 $r=2$ 를 대입: $\pi(2)^2=4\pi$.
• 아직 안쪽 흰색 원을 "파내기" 전의 회색 영역입니다.

💡 같은 7학년 원의 넓이 공식에 다른 반지름을 대입한 것뿐입니다.

• 작은 문제 B — 안쪽 흰색 원 두 개.
• 각각 $r=1$ 이라 넓이는 $\pi(1)^2=\pi$, 두 개를 합치면 $2\pi$.
• 이 두 원은 큰 회색 원에서 "흰색으로 도려낸" 부분이므로, 회색 넓이에서 $2\pi$ 만큼 빼야 합니다.

💡 같은 원의 넓이 공식을 두 번 적용하고 더하는, 여전히 7학년 수준의 계산입니다.

• 작은 문제 C — 바깥쪽 작은 회색 원 세 개.
• 각각 $r=\tfrac{1}{2}$ 이라 넓이는 $\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{\pi}{4}$, 세 개를 합치면 $\tfrac{3\pi}{4}$.
• 이들은 다른 도형과 겹치지 않으므로 회색 넓이에 "순수하게 더해주는" 부분입니다.

💡 $\tfrac{1}{2}$ 을 제곱해 $\tfrac{1}{4}$ 을 얻는 것은 5학년 분수 × 분수 계산입니다.

• 세 조각을 합치기.
• (큰 회색) - (안쪽 흰색 두 개) + (바깥쪽 작은 회색 세 개) 를 계산합니다.
• 분모를 $4$ 로 통일해 더하면 $4\pi-2\pi+\tfrac{3\pi}{4}=2\pi+\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{8\pi+3\pi}{4}=\tfrac{11\pi}{4}$.

💡 $\pi$ 가 공통으로 붙은 항들을 분모를 맞춰서 더하는 것은 5학년 분수 덧셈입니다.

• 비율로 마무리.
• 회색 넓이를 큰 흰색 원의 넓이로 나누면 $\pi$ 가 약분되어 $\tfrac{11/4}{9}=\tfrac{11}{36}$.
• 선택지 (B) 와 일치합니다.

💡 "부분 ÷ 전체" 를 분수로 나타내는 것은 6학년 비율 표준 그대로입니다.