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AMC 8 · 2023 · #19

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-trianglessimilar-figuresratio-proportion area-differenceeasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-trianglesratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림과 같이, 더 큰 정삼각형 안에 정삼각형 하나를 놓아 두 삼각형 사이의 영역이 합동인 세 개의 사다리꼴로 나누어지도록 합니다. 안쪽 삼각형의 한 변의 길이는 바깥쪽 삼각형의 한 변의 길이의 23\frac23입니다. 사다리꼴 하나의 넓이와 안쪽 삼각형의 넓이의 비는 얼마입니까?

(A) 1 :3(B) 3 :8(C) 5 :12(D) 7 :16(E) 4 :9\textbf{(A) } 1 : 3 \qquad \textbf{(B) } 3 : 8 \qquad \textbf{(C) } 5 : 12 \qquad \textbf{(D) } 7 : 16 \qquad \textbf{(E) } 4 : 9

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1 : 3
(B)
3 : 8
(C)
5 : 12
(D)
7 : 16
(E)
4 : 9
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 들어 있어, 둘 사이의 띠 모양 영역이 세 개의 합동인 사다리꼴로 나뉩니다. 작은 삼각형의 한 변 길이는 큰 삼각형의 한 변 길이의 $\tfrac{2}{3}$ 입니다. 사다리꼴 하나의 넓이와 안쪽 정삼각형의 넓이의 비를 구합니다.

주어진 것: 바깥 도형과 안쪽 도형 모두 정삼각형이다; 안쪽 정삼각형의 한 변 $= \tfrac{2}{3}\times$ 바깥 정삼각형의 한 변; 두 삼각형 사이의 영역은 합동인 세 개의 사다리꼴로 나뉜다; 보기: $1{:}3,\ 3{:}8,\ 5{:}12,\ 7{:}16,\ 4{:}9$

구하는 것: (사다리꼴 한 개의 넓이) : (안쪽 정삼각형의 넓이)

이해

문제 재정리: 큰 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 들어 있어, 둘 사이의 띠 모양 영역이 세 개의 합동인 사다리꼴로 나뉩니다. 작은 삼각형의 한 변 길이는 큰 삼각형의 한 변 길이의 $\tfrac{2}{3}$ 입니다. 사다리꼴 하나의 넓이와 안쪽 정삼각형의 넓이의 비를 구합니다.

주어진 것: 바깥 도형과 안쪽 도형 모두 정삼각형이다; 안쪽 정삼각형의 한 변 $= \tfrac{2}{3}\times$ 바깥 정삼각형의 한 변; 두 삼각형 사이의 영역은 합동인 세 개의 사다리꼴로 나뉜다; 보기: $1{:}3,\ 3{:}8,\ 5{:}12,\ 7{:}16,\ 4{:}9$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)

묻는 것은 변의 길이와 무관한 ‘비’ 하나뿐이므로, 추상적인 식 대신 가장 다루기 쉬운 구체 값으로 바꿉니다 — 바깥 변 $= 3$, 안쪽 변 $= 2$. 두 정삼각형은 닮음이므로 안쪽:바깥 넓이비는 $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9}$ 이고, 안쪽 넓이 $= 4$, 바깥 넓이 $= 9$ 짜리 단위로 두면 제곱근이 등장하는 정삼각형 넓이 공식을 쓰지 않아도 됩니다. 이어서 풀이를 두 단계 작은 문제로 쪼개고 (도구 7) — (i) 세 사다리꼴의 넓이 합 구하기, (ii) 3으로 나누기 — (i)에서는 여집합(도구 16) 즉 ‘바깥 $-$ 안쪽’ 을 봅니다. 그림(도구 1)으로 분할을 한눈에 잡습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1
  • 두 정삼각형과 그 사이 띠를 사다리꼴 세 개로 나눈 그림을 그립니다.
  • 안쪽 정삼각형과 세 사다리꼴이 합쳐져서 바깥 정삼각형을 빈틈없이 채우므로, 사다리꼴 세 개의 넓이 합은 ‘바깥 정삼각형의 넓이 $-$ 안쪽 정삼각형의 넓이’ 와 같습니다.
3 \cdot T \;=\; A_{\text{바깥}} - A_{\text{안쪽}}

💡 큰 도형을 작은 도형들로 자르면 작은 넓이를 모두 더한 값이 큰 넓이와 같아요.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.A.1 단계 2
  • 추상적인 설정 대신 다루기 쉬운 구체 값으로 바꿉니다 — 바깥 변 $= 3$, 안쪽 변 $= 2$ (비율 $\tfrac{2}{3}$ 는 그대로 유지됨).
  • 두 정삼각형은 닮음비 $\tfrac{2}{3}$ 의 닮음 관계이므로, 두 넓이의 비는 닮음비의 제곱인 $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9}$ 입니다.
\frac{A_{\text{안쪽}}}{A_{\text{바깥}}} \;=\; \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} \;=\; \tfrac{4}{9}

💡 모든 변을 같은 배율로 늘리면 넓이는 그 배율의 제곱만큼 늘어요.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 3
  • 넓이가 자연수가 되도록 단위를 골라 잡습니다 — $A_{\text{안쪽}} = 4$, $A_{\text{바깥}} = 9$ (단위넓이).
  • 이렇게 잡아도 $4{:}9$ 라는 비는 그대로 유지되고, 제곱근이 들어간 계산을 피할 수 있습니다.
A_{\text{안쪽}} = 4,\qquad A_{\text{바깥}} = 9

💡 마지막에는 비만 남으므로 어떤 단위를 골라도 괜찮아요.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 5.NF.A.1 단계 4

‘여집합’ 관점을 씁니다 — 세 사다리꼴이 띠 전체를 채우므로 그 합은 ‘바깥 넓이 $-$ 안쪽 넓이’ 이고, 세 사다리꼴이 합동이므로 $3$ 으로 나누면 사다리꼴 한 개의 넓이가 나옵니다.

$$3T \;=\; 9 - 4 \;=\; 5 \quad\Longrightarrow\quad T \;=\; \tfrac{5}{3}$$

💡 ‘남은 부분(바깥 $-$ 안쪽)’ 을 보면 복잡한 사다리꼴 공식이 필요 없어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

묻는 비, 즉 사다리꼴 한 개와 안쪽 정삼각형의 넓이의 비를 세워서 약분합니다.

\frac{T}{A_{\text{안쪽}}} \;=\; \frac{5/3}{4} \;=\; \frac{5}{12} \;\Longrightarrow\; T : A_{\text{안쪽}} \;=\; 5 : 12

💡 같은 단위로 잰 두 양을 나누면 곧바로 비가 나와요.

[1] #1 6.G.A.1 두 정삼각형과 그 사이 띠를 사다리꼴 세 개로 나눈 그림을 그립니다. 안쪽 정삼각형과 세 사다리꼴이 합쳐져서 바깥 정삼각형을 빈틈없이 채우므로,
[2] #9 7.G.A.1 추상적인 설정 대신 다루기 쉬운 구체 값으로 바꿉니다 — 바깥 변 $= 3$, 안쪽 변 $= 2$ (비율 $\tfrac{2}{3}$ 는 그대로
[3] #9 6.RP.A.3 넓이가 자연수가 되도록 단위를 골라 잡습니다 — $A_{\text{안쪽}} = 4$, $A_{\text{바깥}} = 9$ (단위넓이). 이렇게
[4] #16 5.NF.A.1 ‘여집합’ 관점을 씁니다 — 세 사다리꼴이 띠 전체를 채우므로 그 합은 ‘바깥 넓이 $-$ 안쪽 넓이’ 이고, 세 사다리꼴이 합동이므로 $3$
[5] #7 6.RP.A.3 묻는 비, 즉 사다리꼴 한 개와 안쪽 정삼각형의 넓이의 비를 세워서 약분합니다.

검토

합리성 확인: 전체 합을 다시 맞춰 봅니다 — 사다리꼴 한 개가 $\tfrac{5}{3}$ 이므로 세 개 합은 $5$, 여기에 안쪽 넓이 $4$ 를 더하면 정확히 바깥 넓이 $9$ 가 되어 그림과 일치합니다. 또한 답 $5{:}12 \approx 0.417$ 은 보기 (A) $1{:}3 \approx 0.333$ 과 (E) $4{:}9 \approx 0.444$ 사이에 있어 크기 감도 자연스럽습니다. (A) $1{:}3$ 은 ‘세 사다리꼴 합 $=$ 안쪽’ 을 뜻하는데, 실제 띠는 $9 - 4 = 5 > 4$ 로 안쪽보다 크므로 (A)는 너무 작고, (E) $4{:}9$ 는 안쪽:바깥의 비여서 자주 헷갈리는 함정 보기입니다.

대안 접근: 도구 13(대수로 바꾸기)로도 같은 답이 나옵니다 — $A_S = A_{\text{안쪽}}$ 로 두면 $A_L = \tfrac{9}{4} A_S$, $T = \tfrac{1}{3}(A_L - A_S) = \tfrac{1}{3}\bigl(\tfrac{9}{4} - 1\bigr) A_S = \tfrac{5}{12} A_S$. 분수 대수 조작에 익숙하면 한 줄로 풀리지만, ‘$4$ 와 $9$’ 로 바꾼 우리의 방법은 모든 단계가 자연수 산수라 5–6학년 학생에게 더 편합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (‘바깥 $-$ 안쪽 $= 9 - 4 = 5$’ 로 세 사다리꼴 합을 구하고, 이를 $3$ 으로 나누어 사다리꼴 한 개의 넓이 $\tfrac{5}{3}$ 를 얻는 데 사용했습니다.)
  • 6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (안쪽 정삼각형과 세 사다리꼴이 합쳐져 바깥 정삼각형을 이룬다는 분할·합성 관계를 이용해 사다리꼴 공식 대신 ‘차’ 로 넓이를 구하는 데 사용했습니다.)
  • 6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($4{:}9$ 비를 유지하는 단위넓이를 골라잡고, 최종 비 $T : A_{\text{안쪽}} = 5 : 12$ 를 정리하는 데 사용했습니다.)
  • 7.G.A.1 Solve problems involving scale drawings of geometric figures (닮음비 $\tfrac{2}{3}$ 를 넓이비 $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9}$ 로 옮기는 ‘닮음 도형에서 넓이는 닮음비의 제곱’ 원리를 적용하는 데 사용했습니다.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 ‘닮음비의 제곱이 넓이비’ 만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 ‘닮음비의 제곱이 넓이비’ 만 알면 풀 수 있어요!

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