AMC 8 · 2023 · #22
학년 6 arithmetic문제
자연수로 이루어진 어떤 수열에서, 셋째항부터의 각 항은 바로 앞 두 항의 곱과 같습니다. 이 수열의 여섯째항이 일 때, 첫째항은 얼마입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 어떤 수열에서, 세 번째 항부터는 항상 "바로 앞 두 항의 곱"이 다음 항이 됩니다. 이 수열의 여섯 번째 항이 $4000$ 일 때, 맨 처음 첫째 항은 얼마일까요?
주어진 것: 수열의 모든 항은 양의 정수; 점화식: $n \ge 3$ 일 때 $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$; 여섯 번째 항은 $a_6 = 4000$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $10$
구하는 것: 첫째 항 $a_1$ 의 값
이해
문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 어떤 수열에서, 세 번째 항부터는 항상 "바로 앞 두 항의 곱"이 다음 항이 됩니다. 이 수열의 여섯 번째 항이 $4000$ 일 때, 맨 처음 첫째 항은 얼마일까요?
주어진 것: 수열의 모든 항은 양의 정수; 점화식: $n \ge 3$ 일 때 $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$; 여섯 번째 항은 $a_6 = 4000$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $10$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #5 패턴 찾기
출발 값이 두 개($a_1, a_2$)인데 조건은 단 하나($a_6 = 4000$)이므로, 미지수에 문자를 붙여 점화식을 따라 전개해 두 미지수에 대한 "하나의 식" 으로 정리하는 것이 자연스럽습니다 — 이것이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적인 쓰임입니다. 항을 하나씩 곱해 가다 보면 $a$ 의 지수와 $b$ 의 지수가 각각 피보나치 수열 모양($0,1,1,2,3,5,\dots$)을 따른다는 점을 발견할 수 있는데, 이 패턴 인식이 도구 #5(패턴 찾기)의 역할이며 전개의 손맛을 한결 가볍게 해 줍니다. 마지막에 $4000$ 의 소인수분해와 지수를 맞춰 $a$, $b$ 를 읽어내는 것은 대수가 일을 끝낸 뒤의 깔끔한 수론적 마무리입니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 - 모르는 첫 두 항에 이름을 붙입니다.
- $a_1 = a$, $a_2 = b$ 라 두고($a$, $b$ 는 양의 정수), 이후의 모든 항은 이 두 값이 결정합니다.
- 결국 첫째 항을 구한다는 것은 $a$ 의 값을 찾는 일입니다.
💡 모르는 수를 문자로 두는 것은 6학년 "문자가 수를 대신하는 식" 의 기본 동작입니다.
5.OA.B.3 단계 2 - 점화식 $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$ 를 한 항씩 적용하면서 곱에 들어가는 $a$ 의 개수와 $b$ 의 개수를 따로 셉니다.
- 그러면 $a$ 의 지수는 $0,1,1,2,3,5,\dots$, $b$ 의 지수는 $1,0,1,1,2,3,\dots$ 처럼 피보나치 수열 모양으로 늘어남을 볼 수 있습니다.
💡 주어진 규칙으로 새 항들을 만들어내고 지수의 변화를 관찰하는 것은 5학년 "규칙으로 수열 만들기" 그대로입니다.
6.EE.A.1 단계 3 - 문자로 표현된 여섯 번째 항과 주어진 값 $4000$ 을 같다고 놓습니다.
- $a_6 = a^3 b^5$ 이고 $a_6 = 4000$ 이므로, 두 양의 정수 미지수에 대한 하나의 식이 만들어집니다.
💡 $a^3$, $b^5$ 처럼 자연수 지수를 가진 식을 읽고 쓰는 것은 6학년 거듭제곱 식의 출발점입니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 왼쪽 변의 "지수 모양" 과 비교하기 위해 오른쪽의 $4000$ 도 소인수분해합니다.
- $4000$ 을 $2$ 로 나누어 가다가, $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3$ 를 풀어 쓰면 $2^5 \cdot 5^3$ 가 됩니다.
💡 수를 소인수의 거듭제곱으로 쪼개는 것은 최대공약수·최소공배수를 다룰 때 쓰는 바로 그 6학년 기술입니다.
6.EE.A.1 단계 5 - $a^3 b^5 = 5^3 \cdot 2^5$ 양변의 소인수분해가 같아야 하므로 지수를 맞춥니다.
- 왼쪽에서 지수 $3$ 을 가진 것은 $a^3$, 오른쪽에서 지수 $3$ 을 가진 것은 $5^3$ 이므로 $a = 5$.
- 마찬가지로 지수 $5$ 를 비교하면 $b^5 = 2^5$ 에서 $b = 2$.
- 문제가 묻는 것은 첫째 항이므로 답은 $a = 5$, 선택지 $(\textbf{D})$ 입니다.
💡 유일한 소인수분해 위에서 지수를 맞춰 미지수를 읽어내는 것은 6학년 거듭제곱 식을 "논리적으로 비교" 하는 활용입니다.
6.EE.A.2 모르는 첫 두 항에 이름을 붙입니다. $a_1 = a$, $a_2 = b$ 라 두고($a$, $b$ 는 양의 정수), 이후의 모든 항은 이 두 5.OA.B.3 점화식 $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$ 를 한 항씩 적용하면서 곱에 들어가는 $a$ 의 개수와 $b$ 의 개수를 따로 셉니 6.EE.A.1 문자로 표현된 여섯 번째 항과 주어진 값 $4000$ 을 같다고 놓습니다. $a_6 = a^3 b^5$ 이고 $a_6 = 4000$ 이므로, 두 6.NS.B.4 왼쪽 변의 "지수 모양" 과 비교하기 위해 오른쪽의 $4000$ 도 소인수분해합니다. $4000$ 을 $2$ 로 나누어 가다가, $1000 = 6.EE.A.1 $a^3 b^5 = 5^3 \cdot 2^5$ 양변의 소인수분해가 같아야 하므로 지수를 맞춥니다. 왼쪽에서 지수 $3$ 을 가진 것은 $a^3$ 검토
합리성 확인: $a_1 = 5$, $a_2 = 2$ 를 도로 수열에 넣어 앞으로 진행해 봅니다 — $a_3 = 5 \cdot 2 = 10$, $a_4 = 2 \cdot 10 = 20$, $a_5 = 10 \cdot 20 = 200$, $a_6 = 20 \cdot 200 = 4000$. 여섯 번째 항이 정확히 $4000$ 이 나오므로 답 $a_1 = 5$ 는 문제의 모든 조건과 어긋나지 않습니다. 다른 선택지로는 이 검산이 실패합니다 — 예를 들어 $a_1 = 1$ 이면 식이 $b^5 = 4000$ 이 되는데, $4000$ 은 어떤 양의 정수의 다섯제곱도 아닙니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 객관식을 빠르게 공략할 수도 있습니다. $a^3 b^5 = 4000 = 2^5 \cdot 5^3$ 에서 $a$ 후보를 선택지에서 차례로 대입해 보면, $a = 1, 2, 4, 10$ 일 때는 $b^5$ 가 어떤 양의 정수의 다섯제곱이 되지 못해 모두 탈락하고, 오직 $a = 5$ 일 때만 $b^5 = 2^5$ 가 깔끔하게 떨어져 $b = 2$ 를 얻습니다 — 답은 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.OA.B.3주어진 두 규칙으로 두 수열을 만들고 그 관계를 발견하기 (점화식 $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$ 로 항을 하나씩 만들어 가면서 $a$ 와 $b$ 의 지수가 피보나치 모양으로 자라는 것을 관찰하는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 ($a_6 = a^3 b^5$ 라는 자연수 지수 표현을 쓰고, $a^3 b^5 = 2^5 \cdot 5^3$ 에서 지수를 맞춰 $a$, $b$ 를 읽어내는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식 쓰고 읽고 계산하기 (모르는 첫 두 항을 $a$, $b$ 로 두어 여섯 번째 항을 하나의 대수식 $a^3 b^5$ 로 표현하는 데 사용.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($4000 = 2^5 \cdot 5^3$ 의 소인수분해를 수행 — 최대공약수·최소공배수 계산의 바탕이 되는 같은 6학년 기술.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 소인수분해만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 소인수분해만 알면 풀 수 있어요!