AMC 8 · 2023 · #5

학년 4 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

ratio-proportionfraction-arithmetic ratio-proportionpattern-recognition ↑ 선수 지식: ratio-proportionfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 호수에는 송어 $250$ 마리와 함께 여러 종류의 다른 물고기가 살고 있습니다. 해양 생물학자가 이 호수에서 물고기 $180$ 마리를 잡아 표본으로 살펴본 뒤 다시 풀어 주었더니, 그중 $30$ 마리가 송어였습니다. 표본에서의 송어 비율과 호수 전체에서의 송어 비율이 같다고 가정할 때, 호수에는 모두 몇 마리의 물고기가 있습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1250

(B)

1500

(C)

1750

(D)

1800

(E)

2000

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 호수에 송어 $250$ 마리와 여러 종류의 다른 물고기들이 살고 있습니다. 생물학자가 호수에서 $180$ 마리의 물고기를 잡아 표본으로 살펴봤더니 그중 $30$ 마리가 송어였습니다. 표본에서의 송어 비율과 호수 전체에서의 송어 비율이 같다고 할 때, 호수에는 모두 몇 마리의 물고기가 있을까요?

주어진 것: 호수에는 송어가 정확히 $250$ 마리 있다 (나머지는 다른 종류의 물고기); 호수에서 $180$ 마리의 표본을 잡았다; 표본 $180$ 마리 중 송어는 $30$ 마리였다; 송어 대 전체 물고기의 비율이 표본과 호수 전체에서 **같다**; 선택지: (A) 1250, (B) 1500, (C) 1750, (D) 1800, (E) 2000

구하는 것: 호수 전체의 물고기 수 (송어 + 다른 물고기 모두)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

표본을 **반복되는 패턴**으로 읽어 봅시다. $180$ 마리 중 $30$ 마리가 송어라는 말은, **물고기 $6$ 마리마다 정확히 $1$ 마리가 송어**라는 뜻입니다(도구 #5). 호수 전체에서도 같은 패턴이 반복되므로, 알고 있는 송어 $250$ 마리 주위에 "송어 1, 물고기 6" 묶음이 몇 개 들어가는지만 세면 끝납니다. 대수식 없이도 풀리며, 작은 표본을 큰 호수로 그대로 확대하는 것은 같은 곱셈 문제의 더 친절한 버전입니다(도구 #9). 객관식이니 마지막에 도구 #3로 선택지와 맞춰 검산까지 합니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.NF.A.1 단계 1

표본에 숨어 있는 **패턴**을 찾습니다.
$180$ 마리 중 송어가 $30$ 마리이므로, 표본을 똑같은 비율의 묶음으로 쪼개 봅니다.
두 수를 $30$ 으로 나누면 가장 단순한 묶음은 **물고기 $6$ 마리에 송어 $1$ 마리**.
즉 표본은 "송어 1, 물고기 6" 패턴이 $30$ 번 반복된 모양입니다.

$$\dfrac{30\ \text{송어}}{180\ \text{물고기}} = \dfrac{1\ \text{송어}}{6\ \text{물고기}}$$

💡 $\tfrac{30}{180}$ 과 $\tfrac{1}{6}$ 이 같은 분수임을 알아보는 것은 4학년 **동치 분수** 학습 내용 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.2 단계 2

같은 패턴을 호수 전체에 적용합니다.
호수의 송어 대 전체 비율도 똑같으므로, 호수 역시 "송어 1, 물고기 6" 묶음들로 이루어져 있습니다.
송어가 $250$ 마리니까 묶음의 개수도 $250$ 개 — 송어 한 마리당 묶음 하나입니다.
표본에서 했던 비율 추론을 더 큰 수에 그대로 확대하는 것일 뿐(도구 #9).

$$250\ \text{송어} \;\Rightarrow\; 250 \text{개의 (송어 1, 물고기 6) 묶음}$$

💡 "송어 한 마리당 전체 물고기는 $6$ 마리" 는 4학년에서 배우는 **곱셈 비교**($\text{전체} = 6 \times \text{송어}$) 그 자체입니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 3

전체 물고기 수를 셉니다.
묶음 $250$ 개 각각에 물고기가 $6$ 마리씩 있으니, 호수 전체에는 $250 \times 6$ 마리가 있습니다.
세 자리 수 × 한 자리 수 계산으로 $250 \times 6 = 1500$.

$$250 \times 6 = 1500\ \text{마리}$$

💡 세 자리 수에 한 자리 수를 곱하는 것은 4학년 곱셈 능숙도 표준에 정확히 들어맞습니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.1 단계 4

선택지로 교차 확인합니다.
우리가 구한 답은 $1500$ 으로 (B) 와 일치합니다.
다른 후보 $1250, 1750, 1800, 2000$ 은 각각 송어 비율이 어긋납니다 — 예를 들어 $\tfrac{250}{2000} = \tfrac{1}{8}$ 이므로 표본의 $\tfrac{1}{6}$ 과 맞지 않아 제외됩니다.

$$1500 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{250}{1500}$ 이 $\tfrac{1}{6}$ 로 약분되는지 확인하는 것도 4학년 동치 분수 확인입니다.

[1] #5 4.NF.A.1 표본에 숨어 있는 **패턴**을 찾습니다. $180$ 마리 중 송어가 $30$ 마리이므로, 표본을 똑같은 비율의 묶음으로 쪼개 봅니다. 두 수를

[2] #9 4.OA.A.2 같은 패턴을 호수 전체에 적용합니다. 호수의 송어 대 전체 비율도 똑같으므로, 호수 역시 "송어 1, 물고기 6" 묶음들로 이루어져 있습니다.

[3] #5 4.NBT.B.5 전체 물고기 수를 셉니다. 묶음 $250$ 개 각각에 물고기가 $6$ 마리씩 있으니, 호수 전체에는 $250 \times 6$ 마리가 있습니다.

[4] #3 4.NF.A.1 선택지로 교차 확인합니다. 우리가 구한 답은 $1500$ 으로 (B) 와 일치합니다. 다른 후보 $1250, 1750, 1800, 2000$ 은

검토

합리성 확인: $1500$ 이 말이 되는 값일까요? 표본에서 송어가 $6$ 마리에 $1$ 마리꼴이었으니, 전체 물고기 수는 송어 수의 약 $6$ 배여야 합니다. $6 \times 250 = 1500$ 으로 정확히 들어맞고, $\tfrac{250}{1500} = \tfrac{1}{6}$ 이 표본의 $\tfrac{30}{180} = \tfrac{1}{6}$ 과 같으므로 비율 조건도 만족합니다. (B) 1500 이 맞습니다.

대안 접근: 다른 방법은 도구 #13(대수로 바꾸기)을 써서 비례식 $\tfrac{30}{180} = \tfrac{250}{F}$ 를 세우고 교차 곱셈으로 $F = \tfrac{180 \times 250}{30} = 1500$ 을 얻는 것입니다. 답은 같지만, 초등학생에게는 위의 "패턴 + 확대" 방식이 교차 곱셈 없이도 풀리기에 더 자연스럽습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NF.A.1 한 분수가 다른 분수와 동치임을 설명한다 (표본 비율 $\tfrac{30}{180}$ 를 가장 간단한 $\tfrac{1}{6}$ 로 약분하고, $\tfrac{250}{1500} = \tfrac{1}{6}$ 임을 확인하는 데 사용.)
4.OA.A.2 곱셈 비교가 포함된 문장제를 곱셈이나 나눗셈으로 푼다 ("송어 1마리당 전체 물고기 6마리" 라는 관계를 이용해 전체 물고기 수가 송어 수의 $6$ 배임을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수를 한 자리 수와 곱한다 (최종 곱셈 $250 \times 6 = 1500$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 동치 분수와 곱셈 비교만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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