AMC 8 · 2024 · #21

학년 4 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

ratio-proportionlinear-equations-one-var systematic-enumeration ↑ 선수 지식: ratio-proportionmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 무리의 개구리들이 나무에서 살고 있습니다. 개구리는 그늘에 있으면 초록색으로 변하고, 햇빛 아래에 있으면 노란색으로 변합니다. 처음에는 초록색 개구리와 노란색 개구리의 비가 $3 : 1$ 이었습니다. 그 후 초록색 개구리 $3$ 마리가 햇빛이 드는 쪽으로 이동했고, 노란색 개구리 $5$ 마리가 그늘진 쪽으로 이동했습니다. 그러자 비가 $4 : 1$ 이 되었습니다. 지금 초록색 개구리 수와 노란색 개구리 수의 차이는 얼마입니까?

$\textbf{(A) } 10\qquad\textbf{(B) } 12\qquad\textbf{(C) } 16\qquad\textbf{(D) } 20\qquad\textbf{(E) } 24$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 나무에 사는 개구리 무리가 있습니다. 그늘에 있는 개구리는 녹색, 햇볕에 있는 개구리는 노란색이 됩니다. 처음에는 녹색과 노란색 개구리의 비가 $3 : 1$ 이었습니다. 그런 다음 녹색 개구리 $3$ 마리가 햇볕 쪽으로 가서 노란색이 되고, 노란색 개구리 $5$ 마리가 그늘 쪽으로 가서 녹색이 되었습니다. 이제 비가 $4 : 1$ 이 되었습니다. **지금** 의 녹색 개구리 수와 노란색 개구리 수의 차이를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 처음 녹색 : 노란색 $= 3 : 1$ (노란색 1마리당 녹색 3마리); 녹색 $3$ 마리가 햇볕으로 이동 $\Rightarrow$ 녹색은 $3$ 줄고 노란색은 $3$ 늘어남; 노란색 $5$ 마리가 그늘로 이동 $\Rightarrow$ 노란색은 $5$ 줄고 녹색은 $5$ 늘어남; 이동 후 녹색 : 노란색 $= 4 : 1$; 선택지: (A) 10, (B) 12, (C) 16, (D) 20, (E) 24

구하는 것: 이동 후 녹색 개구리 수와 노란색 개구리 수의 차이

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

참고 풀이는 변수 $G, Y$ 로 연립방정식을 세우는 **도구 #13 (대수)** 을 씁니다. 하지만 "3:1"은 "노란색 1마리마다 녹색 3마리" 라는 뜻이므로, 처음 노란색 수가 정해지면 처음 녹색 수와 이동 후 두 수가 모두 한 번에 정해집니다. 그래서 가능한 처음 노란색 수를 작은 것부터 큰 것까지 차례로 **추측해 확인하면**(도구 #6) 곧바로 답이 나옵니다. 후보를 빠뜨림 없이 적기 위해 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)를, 4:1 조건을 어기는 경우를 제거하기 위해 도구 #3 (가능성 지우기)을 함께 씁니다. 이렇게 하면 초등학생도 곱셈만으로 풀 수 있고, 변수를 정의하고 연립방정식을 푸는 도구 #13 은 필요 없습니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.2 단계 1

먼저 "$3:1$" 을 쉽게 다시 말합니다 — "노란색 1마리마다 녹색이 3마리 있다" 라는 **곱셈 비교** 입니다.
그래서 처음 노란색 개구리 수를 $Y$ 라고 정하면, 처음 녹색 개구리 수는 자동으로 $3 \times Y$ 가 됩니다.
다시 말해 가능한 (노란색, 녹색) 쌍은 $(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), \dots$ 처럼 항상 노란색 수의 $3$ 배가 녹색 수입니다.

$$\text{처음 } (Y, G) \in \{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18),\dots\}\;\text{(녹색} = 3 \times \text{노란색)}$$

💡 "3:1" 을 "노란색의 $3$ 배가 녹색" 으로 바꾸는 것은 4학년의 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배") 문제 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 2

다음으로 이동 후의 수를 정리합니다.
녹색 쪽은 $3$ 마리가 떠나고 노란색에서 $5$ 마리가 들어오므로, 새 녹색 수는 처음보다 $-3 + 5 = +2$ 만큼 변합니다.
노란색 쪽은 $5$ 마리가 떠나고 $3$ 마리가 들어오므로 새 노란색 수는 처음보다 $+3 - 5 = -2$ 만큼 변합니다.
즉 처음 $(Y, G)$ 가 이동 후에는 $(Y - 2,\; G + 2)$ 로 바뀝니다.

$$\text{이동 후 } (Y_{\text{new}}, G_{\text{new}}) = (Y - 2,\; G + 2)$$

💡 $+3$ 과 $-5$, $-3$ 과 $+5$ 를 합쳐 "순변화 $\pm 2$" 를 얻는 일은 2학년의 100 이내 덧셈·뺄셈 기능입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.2 단계 3

이제 처음 노란색 수 $Y$ 를 작은 것부터 차례로 **추측해 확인** 합니다.
이동 후 비가 $4 : 1$ 이려면 새 녹색 수가 새 노란색 수의 정확히 $4$ 배여야 합니다.
즉 $G + 2 = 4 \times (Y - 2)$ 인지 확인하면 됩니다.
(또한 $Y - 2 \geq 1$ 이어야 하므로 $Y \geq 3$.) 표로 만들어 차례로 따져 봅시다.

$$\text{확인 조건: } G + 2 \;\stackrel{?}{=}\; 4 \times (Y - 2)$$

💡 "새 녹색이 새 노란색의 $4$ 배인가?" 를 묻는 것은 4학년의 곱셈 비교 문제이며, 후보를 하나씩 시험해 보는 것은 추측·확인의 기본 절차입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 4

$Y = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 을 차례로 시험합니다.
각 줄은 $(Y, G) \to (Y-2, G+2)$ 와 그 비를 보여 줍니다.
$Y=3: (3,9)\to(1,11)$, $11/1 = 11$ — 너무 큼.
$Y=4: (4,12)\to(2,14)$, $14/2 = 7$ — 너무 큼.
$Y=5: (5,15)\to(3,17)$, $17/3$ 은 정수 아님.
$Y=6: (6,18)\to(4,20)$, $20/4 = 5$ — 아직 큼.
$Y=7: (7,21)\to(5,23)$, $23/5$ 정수 아님.
$Y=8: (8,24)\to(6,26)$, $26/6$ 정수 아님.
$Y=9: (9,27)\to(7,29)$, $29/7$ 정수 아님.
$Y=10: (10,30)\to(8,32)$, $32/8 = 4$ — **정확히 $4:1$ 통과!** 비율 값이 $11, 7, 5, 4, \dots$ 로 줄어들고 있었으므로 $Y=10$ 에서 처음으로 $4$ 가 되는 것이 정답입니다.

$$Y=10:\; (10, 30)\to(8, 32),\;\;\dfrac{32}{8} = 4 = \dfrac{4}{1}\;\checkmark$$

💡 $3 \times 10 = 30$, $4 \times 8 = 32$ 같은 곱셈과 $32 \div 8 = 4$ 같은 나눗셈은 모두 3학년의 100 이내 곱셈·나눗셈 유창성 표준입니다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 5

마지막으로 문제가 묻는 "지금 녹색과 노란색의 차이" 를 구합니다.
이동 후 녹색은 $32$, 노란색은 $8$ 이므로 차이는 $32 - 8 = 24$.
선택지 $10, 12, 16, 20, 24$ 와 비교하면 정확히 (E) $24$ 와 일치합니다.
다른 선택지는 모두 $24$ 보다 작아 우리가 찾은 정답과 어긋나므로 모두 제거됩니다.

$$32 - 8 = 24 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 자리 수 $32$ 에서 $8$ 을 빼는 일은 2학년의 100 이내 뺄셈 표준 그대로입니다.

[1] #2 4.OA.A.2 먼저 "$3:1$" 을 쉽게 다시 말합니다 — "노란색 1마리마다 녹색이 3마리 있다" 라는 **곱셈 비교** 입니다. 그래서 처음 노란색 개구

[2] #2 2.NBT.B.5 다음으로 이동 후의 수를 정리합니다. 녹색 쪽은 $3$ 마리가 떠나고 노란색에서 $5$ 마리가 들어오므로, 새 녹색 수는 처음보다 $-3 + 5

[3] #6 4.OA.A.2 이제 처음 노란색 수 $Y$ 를 작은 것부터 차례로 **추측해 확인** 합니다. 이동 후 비가 $4 : 1$ 이려면 새 녹색 수가 새 노란색 수

[4] #6 3.OA.C.7 $Y = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 을 차례로 시험합니다. 각 줄은 $(Y, G) \to (Y-2, G+2)$ 와 그 비를 보

[5] #3 2.NBT.B.5 마지막으로 문제가 묻는 "지금 녹색과 노란색의 차이" 를 구합니다. 이동 후 녹색은 $32$, 노란색은 $8$ 이므로 차이는 $32 - 8 =

검토

합리성 확인: 이동 후 비 $4:1$ 은 "노란색 $1$ 마리당 녹색 $4$ 마리" 이므로, 노란색 $8$ 마리에 대해 녹색은 $4 \times 8 = 32$ 마리. 차이는 $32 - 8 = 24$. 다른 시각에서도 검산됩니다 — 이동 후 비 $4:1$ 에서 노란색을 $1$ 묶음으로 보면 녹색은 $4$ 묶음, 차이는 $3$ 묶음. 한 묶음 크기가 $8$ 이므로 차이 $= 3 \times 8 = 24$. 두 방법 모두 $24$ 로 일치하고, 선택지의 최댓값과 같다는 점도 자연스럽습니다.

대안 접근: 다른 풀이로 도구 #13 (대수) 을 써서 $G = 3Y$ 와 $G + 2 = 4(Y - 2)$ 의 연립방정식을 풀어 $Y = 10$ 을 직접 얻을 수도 있습니다(참고 풀이의 방식). 결과는 같지만, 위의 추측·확인 풀이는 변수와 등식을 도입할 필요가 없어 초등학생도 곱셈만으로 따라갈 수 있다는 장점이 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (이동에 따른 순변화 $\pm 2$ 의 계산과 마지막 단계 $32 - 8 = 24$ 계산에 사용.)
3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 유창하게 한다 ($3 \times Y$ 로 처음 녹색 수를 구하고 $32 \div 8 = 4$ 로 새 비가 $4:1$ 임을 확인하는 데 사용.)
4.OA.A.2 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배")가 들어간 문장제를 곱셈·나눗셈으로 푼다 ("$3:1$" 을 "녹색이 노란색의 $3$ 배" 로, "$4:1$" 을 "녹색이 노란색의 $4$ 배" 로 해석하여 후보를 추측·확인하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배")만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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