AMC 8 · 2024 · #21

• 먼저 "$3:1$" 을 쉽게 다시 말합니다 — "노란색 1마리마다 녹색이 3마리 있다" 라는 **곱셈 비교** 입니다.
• 그래서 처음 노란색 개구리 수를 $Y$ 라고 정하면, 처음 녹색 개구리 수는 자동으로 $3 \times Y$ 가 됩니다.
• 다시 말해 가능한 (노란색, 녹색) 쌍은 $(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), \dots$ 처럼 항상 노란색 수의 $3$ 배가 녹색 수입니다.

💡 "3:1" 을 "노란색의 $3$ 배가 녹색" 으로 바꾸는 것은 4학년의 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배") 문제 그대로입니다.

• 다음으로 이동 후의 수를 정리합니다.
• 녹색 쪽은 $3$ 마리가 떠나고 노란색에서 $5$ 마리가 들어오므로, 새 녹색 수는 처음보다 $-3 + 5 = +2$ 만큼 변합니다.
• 노란색 쪽은 $5$ 마리가 떠나고 $3$ 마리가 들어오므로 새 노란색 수는 처음보다 $+3 - 5 = -2$ 만큼 변합니다.
• 즉 처음 $(Y, G)$ 가 이동 후에는 $(Y - 2,\; G + 2)$ 로 바뀝니다.

💡 $+3$ 과 $-5$, $-3$ 과 $+5$ 를 합쳐 "순변화 $\pm 2$" 를 얻는 일은 2학년의 100 이내 덧셈·뺄셈 기능입니다.

• 이제 처음 노란색 수 $Y$ 를 작은 것부터 차례로 **추측해 확인** 합니다.
• 이동 후 비가 $4 : 1$ 이려면 새 녹색 수가 새 노란색 수의 정확히 $4$ 배여야 합니다.
• 즉 $G + 2 = 4 \times (Y - 2)$ 인지 확인하면 됩니다.
• (또한 $Y - 2 \geq 1$ 이어야 하므로 $Y \geq 3$.) 표로 만들어 차례로 따져 봅시다.

💡 "새 녹색이 새 노란색의 $4$ 배인가?" 를 묻는 것은 4학년의 곱셈 비교 문제이며, 후보를 하나씩 시험해 보는 것은 추측·확인의 기본 절차입니다.

• $Y = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 을 차례로 시험합니다.
• 각 줄은 $(Y, G) \to (Y-2, G+2)$ 와 그 비를 보여 줍니다.
• $Y=3: (3,9)\to(1,11)$, $11/1 = 11$ — 너무 큼.
• $Y=4: (4,12)\to(2,14)$, $14/2 = 7$ — 너무 큼.
• $Y=5: (5,15)\to(3,17)$, $17/3$ 은 정수 아님.
• $Y=6: (6,18)\to(4,20)$, $20/4 = 5$ — 아직 큼.
• $Y=7: (7,21)\to(5,23)$, $23/5$ 정수 아님.
• $Y=8: (8,24)\to(6,26)$, $26/6$ 정수 아님.
• $Y=9: (9,27)\to(7,29)$, $29/7$ 정수 아님.
• $Y=10: (10,30)\to(8,32)$, $32/8 = 4$ — **정확히 $4:1$ 통과!** 비율 값이 $11, 7, 5, 4, \dots$ 로 줄어들고 있었으므로 $Y=10$ 에서 처음으로 $4$ 가 되는 것이 정답입니다.

💡 $3 \times 10 = 30$, $4 \times 8 = 32$ 같은 곱셈과 $32 \div 8 = 4$ 같은 나눗셈은 모두 3학년의 100 이내 곱셈·나눗셈 유창성 표준입니다.

• 마지막으로 문제가 묻는 "지금 녹색과 노란색의 차이" 를 구합니다.
• 이동 후 녹색은 $32$, 노란색은 $8$ 이므로 차이는 $32 - 8 = 24$.
• 선택지 $10, 12, 16, 20, 24$ 와 비교하면 정확히 (E) $24$ 와 일치합니다.
• 다른 선택지는 모두 $24$ 보다 작아 우리가 찾은 정답과 어긋나므로 모두 제거됩니다.

💡 두 자리 수 $32$ 에서 $8$ 을 빼는 일은 2학년의 100 이내 뺄셈 표준 그대로입니다.