AMC 8 · 2023 · #7

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrylinear-equations-two-varslope-intercept coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

각 변이 $x$ 축, $y$ 축에 평행한 직사각형이 있고, 마주 보는 두 꼭짓점은 $(15, 3)$ 과 $(16, 5)$ 입니다. 점 $A(0, 0)$ 과 $B(3, 1)$ 을 지나는 직선을 하나 긋고, 점 $C(0, 10)$ 과 $D(2, 9)$ 를 지나는 또 다른 직선을 긋습니다. 이 직사각형 위에 있으면서 두 직선 중 적어도 하나에 놓이는 점은 모두 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 변이 $x$축, $y$축과 평행한 작은 직사각형이 한 꼭짓점은 $(15, 3)$, 마주보는 꼭짓점은 $(16, 5)$에 있습니다. 또 $A(0,0)$과 $B(3,1)$을 지나는 직선 하나, $C(0,10)$과 $D(2,9)$를 지나는 직선이 그어져 있습니다. 이 두 직선 중 적어도 하나 위에 있는, 직사각형(네 변과 꼭짓점)의 점은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 직사각형의 마주보는 두 꼭짓점은 $(15, 3)$과 $(16, 5)$이고 변은 축에 평행하다; 즉 직사각형은 $15 \le x \le 16,\ 3 \le y \le 5$ 영역에 놓인다; 직선 $\ell_1$ 은 $A(0,0)$과 $B(3,1)$을 지난다; 직선 $\ell_2$ 는 $C(0,10)$과 $D(2,9)$를 지난다; 선택지: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4

구하는 것: 직사각형 위의 점 중 $\ell_1$ 또는 $\ell_2$ 위에도 있는 점의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

문제 자체가 모눈종이 위에 그려져 있으니, 가장 자연스러운 방법은 두 직선을 직사각형 쪽까지 **직접 연장해서 눈으로 확인**하는 것입니다(도구 #1). 두 직선은 서로 무관하므로 "$\ell_1$ 이 직사각형을 지나는가?", "$\ell_2$ 가 직사각형을 지나는가?" 두 개의 **작은 문제**로 쪼개서 답을 더하면 됩니다(도구 #7). 각 직선의 $x=15$, $x=16$ 에서의 $y$ 값만 알면 직사각형의 $y$ 범위 $[3,5]$ 와 비교하는 매우 작은 사례 검토로 끝나며, 선택지 다섯 개 중 네 개가 곧바로 제외됩니다(도구 #3).

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

직사각형을 하나의 **창**처럼 봅시다.
변이 축에 평행하고 마주보는 꼭짓점이 $(15,3)$과 $(16,5)$이므로, 직사각형은 $15 \le x \le 16$ 이면서 $3 \le y \le 5$ 인 점들의 집합입니다.
가로로는 딱 $1$ 칸, 세로로는 $2$ 칸 짜리 작은 띠가 수직선 $x=15$ 와 $x=16$ 사이에 끼어 있는 모양입니다.

$$\text{직사각형} = \{(x,y) : 15 \le x \le 16,\ 3 \le y \le 5\}$$

💡 마주보는 두 꼭짓점만으로 좌표평면에 직사각형을 그리는 것은 6학년 "좌표평면 위의 다각형" 학습 내용 그대로입니다.

#1 그림 그리기 8.F.A.3 단계 2

직선 $\ell_1$ 의 규칙을 찾습니다.
$A(0,0)$ 에서 $B(3,1)$ 로 가면 오른쪽으로 $3$ 갈 때 위로 $1$ 오르므로 기울기는 $\tfrac{1}{3}$.
원점을 지나니 $y$ 절편은 $0$, 즉 규칙은 $y=\tfrac{1}{3}x$.
(패턴 확인: $x=6$이면 $y=2$, $x=9$ 면 $y=3$ — 오른쪽 $3$ 갈 때마다 위로 $1$.)

$$\ell_1:\ y = \tfrac{1}{3}x$$

💡 기울기(오른쪽 $3$ · 위로 $1$)와 $y$ 절편 $0$ 을 합쳐 $y=mx+b$ 형태로 쓰는 것은 8학년 일차함수의 표준 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.F.A.3 단계 3

$\ell_1$ 을 직사각형과 비교하는 **작은 문제**를 풀어봅니다(도구 #7).
왼쪽 변 $x=15$ 에서 $\ell_1$ 의 높이는 $y=\tfrac{15}{3}=5$, 오른쪽 변 $x=16$ 에서는 $y=\tfrac{16}{3}\approx 5.33$.
즉 직사각형의 $x$ 띠를 지나는 동안 $\ell_1$ 의 높이는 $5$ 부터 약 $5.33$ 까지 — 직사각형의 $y$ 범위 $[3,5]$ 의 위쪽에 있고, 딱 한 높이 $y=5$ 만 공유합니다.
그 점은 정확히 꼭짓점 $(15,5)$.

$$\ell_1(15)=5,\quad \ell_1(16)=\tfrac{16}{3}\approx 5.33\ \Rightarrow\ (15,5)\ \text{에서만 접촉}$$

💡 $y=mx+b$ 에 두 개의 $x$ 값을 대입해 값을 비교하는 것 또한 8학년 일차함수 "대입 후 비교" 사용법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.F.A.3 단계 4

$\ell_2$ 에 대해 같은 작은 문제를 풉니다.
$C(0,10)$ 에서 $D(2,9)$ 로 가면 오른쪽 $2$ 갈 때 아래로 $1$ 내려가므로 기울기 $-\tfrac{1}{2}$, $y$ 절편 $10$, 즉 $y=-\tfrac{1}{2}x+10$.
$x=15$: $y=-7.5+10=2.5$.
$x=16$: $y=-8+10=2$.
직사각형의 $x$ 띠 안에서 $\ell_2$ 의 높이는 $2$ ~ $2.5$ 사이로 — 직사각형의 $y$ 범위 $[3,5]$ 보다 완전히 아래입니다.
교점 없음.

$$\ell_2:\ y=-\tfrac{1}{2}x+10;\ \ell_2(15)=2.5,\ \ell_2(16)=2$$

💡 다시 한 번 "$y=mx+b$ 에 $x$ 대입하고 범위 비교" — 8학년 일차함수 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 5.G.A.2 단계 5

두 작은 문제의 결과를 합치고 선택지로 좁힙니다(도구 #3).
$\ell_1$ 은 꼭짓점 $(15,5)$ 하나, $\ell_2$ 는 $0$ 개.
$\ell_2$ 가 직사각형을 전혀 지나지 않으므로 두 직선의 교점이 중복으로 세질 위험도 없습니다.
그래서 총 개수는 $1+0=1$.
(A)~(E) 중 (B) 와 일치.

$$1 + 0 = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 찾은 점들을 좌표평면 위에서 세어 합치는 것은 5학년 "좌표평면 위의 점으로 문제 해석" 능력입니다.

[1] #1 6.G.A.3 직사각형을 하나의 **창**처럼 봅시다. 변이 축에 평행하고 마주보는 꼭짓점이 $(15,3)$과 $(16,5)$이므로, 직사각형은 $15 \le

[2] #1 8.F.A.3 직선 $\ell_1$ 의 규칙을 찾습니다. $A(0,0)$ 에서 $B(3,1)$ 로 가면 오른쪽으로 $3$ 갈 때 위로 $1$ 오르므로 기울기는

[3] #7 8.F.A.3 $\ell_1$ 을 직사각형과 비교하는 **작은 문제**를 풀어봅니다(도구 #7). 왼쪽 변 $x=15$ 에서 $\ell_1$ 의 높이는 $y=

[4] #7 8.F.A.3 $\ell_2$ 에 대해 같은 작은 문제를 풉니다. $C(0,10)$ 에서 $D(2,9)$ 로 가면 오른쪽 $2$ 갈 때 아래로 $1$ 내려가므

[5] #3 5.G.A.2 두 작은 문제의 결과를 합치고 선택지로 좁힙니다(도구 #3). $\ell_1$ 은 꼭짓점 $(15,5)$ 하나, $\ell_2$ 는 $0$ 개.

검토

합리성 확인: $1$ 이 그럴듯한 값일까요? $\ell_1$ 은 원점에서 기울기 $\tfrac{1}{3}$ 로 올라가니 $x=15$ 에서 정확히 $y=5$ 가 되어, 직사각형의 꼭짓점 $(15,5)$ 에 살짝 닿는 "가장자리 접촉" 만 일어나야 합니다 — 예상과 일치. $\ell_2$ 는 $(0,10)$ 에서 시작해 한 칸당 $\tfrac{1}{2}$ 씩 내려오니 $x=15$ 무렵에는 $y$ 가 이미 $3$ 보다 낮아져, 직사각형 아래로 빠져나갑니다. 총 $1$ 점이라는 답은 일관됩니다.

대안 접근: 처음부터 도구 #3(가능성 지우기)을 더 강하게 써도 됩니다. (D) $3$, (E) $4$ 가 되려면 어떤 직선이 직사각형의 한 변 전체를 따라가거나 두 변을 동시에 지나야 하는데, 기울기가 $\tfrac{1}{3}$ 또는 $-\tfrac{1}{2}$ 인 직선은 가로·세로 변 어느 쪽과도 평행하지 않고, 볼록한 직사각형의 경계와는 직선 하나당 최대 $2$ 점에서만 만나므로 (D), (E) 는 즉시 탈락. 게다가 $\ell_2$ 는 직사각형의 $y$ 범위에 아예 들어오지 못해 (A)/(B)/(C) 중 하나, 그리고 꼭짓점 접촉 확인으로 (B) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 주어진 다각형을 그린다 (마주보는 두 꼭짓점 $(15,3)$, $(16,5)$ 로부터 직사각형을 영역 $15 \le x \le 16,\ 3 \le y \le 5$ 로 읽어내는 데 사용.)
5.G.A.2 좌표평면 위에 점을 찍어 실생활·수학 문제를 표현한다 (직선과 직사각형의 공유점 $(15,5)$ 를 좌표평면 위의 한 점으로 인식하고 세는 데 사용.)
8.F.A.3 $y=mx+b$ 형태의 식을 일차함수로 해석한다 (두 점으로부터 $\ell_1:\ y=\tfrac{1}{3}x$, $\ell_2:\ y=-\tfrac{1}{2}x+10$ 을 세우고 $x=15, 16$ 에서 값을 계산해 직사각형의 $y$ 범위와 비교하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 일차함수 ($y=mx+b$ 규칙) 만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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