AMC 8 · 2023 · #9
학년 5 rate-ratio문제
말라이카가 산에서 스키를 타고 있습니다. 아래 그래프는 그녀가 코스를 따라 내려가는 동안 산 아래쪽 기준점으로부터의 높이(미터 단위)를 시간에 따라 나타낸 것입니다. 그녀가 높이 미터에서 미터 사이에 있는 시간은 모두 몇 초입니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 말라이카가 스키를 타는 동안의 **고도(m)**를 **시간(초)**에 따라 그린 그래프가 주어져 있습니다. 그녀의 고도 $E$ 가 $4 \le E \le 7$ (m) 인 구간에 머문 시간이 **모두 합쳐서 몇 초**인지 구하세요.
주어진 것: 가로축은 시간(초), 세로축은 고도(m); 그래프의 곡선이 시간에 따른 고도를 매끄럽게 나타낸다; 곡선이 $y=7$ 과 만나는 시각: $t = 2, 6, 10, 14$ 초; 곡선이 $y=4$ 와 만나는 시각: $t = 4, 12$ 초; $t=6$ 과 $t=10$ 사이에서는 곡선이 $7$m 위쪽에 있다; 선택지: (A) 6, (B) 8, (C) 10, (D) 12, (E) 14
구하는 것: $4 \le E \le 7$ 이 만족되는 **총 시간(초)**
이해
문제 재정리: 말라이카가 스키를 타는 동안의 **고도(m)**를 **시간(초)**에 따라 그린 그래프가 주어져 있습니다. 그녀의 고도 $E$ 가 $4 \le E \le 7$ (m) 인 구간에 머문 시간이 **모두 합쳐서 몇 초**인지 구하세요.
주어진 것: 가로축은 시간(초), 세로축은 고도(m); 그래프의 곡선이 시간에 따른 고도를 매끄럽게 나타낸다; 곡선이 $y=7$ 과 만나는 시각: $t = 2, 6, 10, 14$ 초; 곡선이 $y=4$ 와 만나는 시각: $t = 4, 12$ 초; $t=6$ 과 $t=10$ 사이에서는 곡선이 $7$m 위쪽에 있다; 선택지: (A) 6, (B) 8, (C) 10, (D) 12, (E) 14
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
문제가 이미 그래프를 주고 있으므로, 핵심은 그래프를 **정확하게 읽는 것** — 도구 #1(그림 그리기/이용하기)이 그대로 들어맞습니다. 주어진 곡선 위에 $y=4$ 와 $y=7$ 두 보조선을 그어두면, 곡선이 이 "띠(밴드)" 안에 있는 시간 구간이 곧 답입니다. 두 선과의 교점들로 시간축이 여러 조각으로 나뉘면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 조각의 길이를 따로 구해서 더하면 됩니다. 마지막은 객관식이므로 도구 #3로 선택지와 맞추어 검산합니다.
실행 — 정답: B
5.G.A.2 단계 1 - 그래프에 **목표 띠**를 표시합니다.
- 고도 $y=4$ 와 $y=7$ 에 각각 수평 보조선을 그어 두 선 사이의 영역을 만듭니다.
- 곡선이 이 띠 안에 들어오는 시간이 우리가 세어야 할 시간입니다.
💡 좌표평면에 수평선 $y = c$ 를 긋는 것은 5학년의 **좌표평면 위에 점/선 나타내기** 그 자체입니다.
5.G.A.2 단계 2 - 곡선이 보조선과 만나는 **교점들의 시각**을 읽어냅니다.
- 곡선은 $y=7$ 과 $t = 2, 6, 10, 14$ 초에서 네 번(내려가며, 다시 올라가며, 다시 내려가며, 다시 올라가며) 만나고, $y=4$ 와는 $t = 4, 12$ 초에서 두 번 만납니다.
- 이 여섯 개의 시각을 시간축 위에 점으로 표시합니다.
💡 각 교점은 좌표평면에서 읽어낸 순서쌍 $(t, y)$ — 5학년 좌표 읽기 그대로입니다.
5.G.A.2 단계 3 - 여섯 교점을 기준으로 시간축을 **작은 조각들로 쪼갭니다**(도구 #7).
- 곡선이 띠 안에 있는 조각은 $[2,4]$(7 → 4 로 하강), $[4,6]$(4 → 7 로 상승), $[10,12]$(7 → 4 로 하강), $[12,14]$(4 → 7 로 상승) 네 개입니다.
- $t=6$ 과 $t=10$ 사이는 곡선이 $7$ m 보다 **위쪽**이므로 띠 밖 — 합산에 포함하지 않습니다.
💡 각 시간 조각에서 "곡선이 $y=4$ 와 $y=7$ 사이에 있는가?" 를 판단하는 것도 5학년 좌표평면 읽기입니다.
2.OA.A.1 단계 4 - 각 조각의 길이를 구하고 더합니다.
- 네 조각 모두 (오른쪽 끝) $-$ (왼쪽 끝) $= 2$ 초로 길이가 같습니다.
- 네 조각의 길이를 더해 띠 안에 머문 총 시간을 구합니다.
💡 작은 자연수의 뺄셈을 네 번 한 뒤 결과를 더하는 것은 2학년 두 단계 문장제 수준의 셈입니다.
2.OA.A.1 단계 5 - 선택지로 검산합니다.
- 답은 $8$ 초로 (B) 와 일치합니다.
- 다른 선택지는 모두 어긋납니다 — $6$ 은 띠 안 조각이 세 개뿐이라는 뜻이고, $10, 12, 14$ 는 $t=6$ ~ $t=10$ 구간을 포함해야 하지만 거기서는 곡선이 $7$ m 위쪽이므로 띠 밖이라 제외됩니다.
💡 구한 합을 다섯 개의 선택지와 비교하는 단순한 2학년 산수 확인입니다.
5.G.A.2 그래프에 **목표 띠**를 표시합니다. 고도 $y=4$ 와 $y=7$ 에 각각 수평 보조선을 그어 두 선 사이의 영역을 만듭니다. 곡선이 이 띠 5.G.A.2 곡선이 보조선과 만나는 **교점들의 시각**을 읽어냅니다. 곡선은 $y=7$ 과 $t = 2, 6, 10, 14$ 초에서 네 번(내려가며, 다시 5.G.A.2 여섯 교점을 기준으로 시간축을 **작은 조각들로 쪼갭니다**(도구 #7). 곡선이 띠 안에 있는 조각은 $[2,4]$(7 → 4 로 하강), $ 2.OA.A.1 각 조각의 길이를 구하고 더합니다. 네 조각 모두 (오른쪽 끝) $-$ (왼쪽 끝) $= 2$ 초로 길이가 같습니다. 네 조각의 길이를 더해 띠 2.OA.A.1 선택지로 검산합니다. 답은 $8$ 초로 (B) 와 일치합니다. 다른 선택지는 모두 어긋납니다 — $6$ 은 띠 안 조각이 세 개뿐이라는 뜻이고, 검토
합리성 확인: $8$ 초가 말이 되는 답일까요? 곡선이 띠 $[4,7]$ 에 들어왔다 나가는 횟수가 네 번이고, 매번 띠를 가로지르는 시간이 $2$ 초로 같으므로 총합은 $4 \times 2 = 8$ 초. 가운데 솟은 부분($t=6$ ~ $t=10$, 고도 $>7$ m)과 가장 깊이 내려간 부분(고도 $<4$ m)이 정확히 **제외**되어 있어 합리적입니다. 따라서 (B) $8$ 이 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 주된 길로 삼을 수도 있습니다. 띠 안 조각의 길이가 모두 같으므로 총 시간은 반드시 $2$ 의 배수이고, 그래프를 눈으로 훑어보면 조각이 $1$ 개보다는 많고 $5$ 개보다는 적어 합은 $4$ 또는 $8$ 초로 좁혀집니다. 선택지 중 이 조건을 만족하는 값은 $8$ 뿐이므로 (B) 가 답입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.G.A.2실생활 및 수학 문제를 좌표평면 위에 점으로 나타내어 해결한다 (고도-시간 그래프 읽기: $y=4$ 와 $y=7$ 보조선을 긋고, 곡선과의 교점을 찾고, 어떤 시간 구간이 $[4,7]$ 띠 안에 있는지 판정하는 데 사용.)2.OA.A.1100 이내의 덧셈과 뺄셈을 이용해 한 단계 또는 두 단계 문장제를 해결한다 (각 구간의 길이를 뺄셈으로 구하고($4-2$, $6-4$, $12-10$, $14-12$), 네 개의 $2$ 초를 더해 $8$ 초를 얻는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 좌표평면에서 점 읽기만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 좌표평면에서 점 읽기만 알면 풀 수 있어요!
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