AMC 8 · 2024 · #15

학년 4 algebra

place-valuemulti-digit-arithmeticdivisibility-rules digit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

알파벳 $F, L, Y, B, U, G$ 가 각각 서로 다른 한 자리 숫자를 나타낸다고 하자. 다음 방정식

$8\cdot\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}=\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}~\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}.$

을 만족하는 수 $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}$ 중 가장 큰 수를 생각하자. 이때 $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}+\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1089

(B)

1098

(C)

1107

(D)

1116

(E)

1125

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 글자 $F, L, Y, B, U, G$ 가 각각 서로 다른 한 자리 숫자(0-9)를 나타냅니다. 세 자리 묶음 $FLY$ 를 두 번 이어 붙인 여섯 자리 수 $\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y}$ 가 등식 $8 \cdot \underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y} = \underline{B}\underline{U}\underline{G}\underline{B}\underline{U}\underline{G}$ 를 만족하는 **가장 큰** 수일 때, 세 자리 수 $FLY$ 와 $BUG$ 의 합 $FLY + BUG$ 의 값을 구하는 문제입니다.

주어진 것: $F, L, Y, B, U, G$ 는 0-9 사이의 **서로 다른** 여섯 숫자; $\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y}$ 는 세 자리 묶음 $FLY$ 를 두 번 이어 붙인 여섯 자리 수이고, $\underline{B}\underline{U}\underline{G}\underline{B}\underline{U}\underline{G}$ 도 마찬가지; $8 \cdot \underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y} = \underline{B}\underline{U}\underline{G}\underline{B}\underline{U}\underline{G}$; 조건을 만족하는 여섯 자리 수 중 **가장 큰** 경우를 찾는다; 선택지: (A) 1089, (B) 1098, (C) 1107, (D) 1116, (E) 1125

구하는 것: $FLY + BUG$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

여섯 자리 수 $\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y}$ 는 무서워 보이지만, 도구 #9 (**더 쉬운 문제로 줄이기**) 가 핵심을 풀어 줍니다. 작은 세 자리 수, 예를 들어 $123$ 으로 $123{,}123$ 을 만들어 보면 $123{,}123 = 1000 \times 123 + 123 = 1001 \times 123$ 임이 자릿값에서 바로 보입니다. 같은 원리로 모든 세 자리 묶음에 대해 $\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y} = 1001 \times FLY$ 가 성립하고, 복잡해 보이던 식이 $8 \cdot FLY = BUG$ 로 깔끔하게 줄어듭니다. 그 다음 할 일은 "$8 \cdot FLY$ 도 세 자리 수이고 여섯 숫자가 모두 다른" $FLY$ 중 **가장 큰** 것을 찾는 것 — 이것은 도구 #6 (**추측하고 확인하기**) 가 가장 잘 맞는 일입니다. 가장 큰 후보에서 시작해 한 칸씩 내려오면 됩니다. 도구 #2 는 그 내림차순 탐색을 정리해 주고, 도구 #3 은 최종 합이 선택지에 정확히 있는지 확인해 줍니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.A.2 단계 1

작은 예로 구조를 파악합니다.
아무 세 자리 수, 예를 들어 $254$ 를 두 번 이어 붙이면 $254{,}254$ 가 됩니다.
자릿값으로 풀어 보면 $254{,}254 = 254 \times 1000 + 254 = 254 \times 1001$ 입니다.
모든 세 자리 묶음에 대해 같은 관계가 성립하므로 $\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y} = 1001 \times FLY$ 이고 $\underline{B}\underline{U}\underline{G}\underline{B}\underline{U}\underline{G} = 1001 \times BUG$ 입니다.
주어진 식에 대입하면 $8 \cdot (1001 \cdot FLY) = 1001 \cdot BUG$, 양변을 $1001$ 로 나누어 깔끔한 식을 얻습니다.

$$254{,}254 = 254 \times 1001 \;\Rightarrow\; 8 \cdot FLY = BUG$$

💡 세 자리 수를 "천의 자리 + 일의 자리" 로 자릿값에 따라 풀어 $1001$ 이라는 인수를 찾아내는 것은 4학년의 다자리 수 자릿값 읽기 단원에 해당합니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 2

이제 **$FLY$ 가 얼마까지 클 수 있는지** 따져 봅니다.
$BUG = 8 \cdot FLY$ 도 세 자리 수여야 하므로 $BUG \le 999$, 즉 $8 \cdot FLY \le 999$ 이고 $FLY \le 999 \div 8 = 124.875$ 입니다.
따라서 정수 값으로는 $FLY \le 124$.
(문제가 가장 큰 여섯 자리 수를 묻고 있고, 그 값 $1001 \cdot FLY$ 는 $FLY$ 가 클수록 커지므로, 조건을 만족하는 **가장 큰 $FLY$** 를 찾으면 됩니다.)

$$FLY \le \dfrac{999}{8} = 124.875 \;\Rightarrow\; FLY \le 124$$

💡 $999 \div 8$ 을 계산해 "8배 했을 때도 여전히 세 자리"인 가장 큰 수를 찾는 일은 4학년의 다자리 수 나눗셈 단원에 해당합니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.5 단계 3

이제 **위에서부터 추측하며 확인**합니다.
$FLY = 124, 123, 122, \ldots$ 순으로 내려가며 여섯 숫자가 모두 다른 첫 값을 찾으면 됩니다.
먼저 $FLY = 124$: $F=1, L=2, Y=4$ (서로 다름).
$BUG = 8 \times 124 = 992$ 이므로 $B=9, U=9, G=2$.
그런데 $B = U = 9$ 이고 $L = G = 2$ 라서 여섯 숫자 $\{1, 2, 4, 9, 9, 2\}$ 가 모두 다르지 **않습니다**.
$124$ 는 탈락.

$$FLY = 124 \;\Rightarrow\; BUG = 8 \times 124 = 992,\ \text{숫자}=\{1,2,4,9,9,2\}\ \text{(중복)}$$

💡 $8 \times 124 = 992$ 같은 (한 자리)$\times$(세 자리) 곱셈은 4학년의 한 자리 수 곱하기 다자리 수 단원에 해당합니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.5 단계 4

한 칸 내려가 다음 후보를 봅니다.
$FLY = 123$: $F=1, L=2, Y=3$ (서로 다름).
$BUG = 8 \times 123 = 984$ 이므로 $B=9, U=8, G=4$.
여섯 숫자는 $\{1, 2, 3, 9, 8, 4\}$ — **여섯 개가 모두 다릅니다**.
내림차순으로 내려오는 중 첫 성공이므로, $FLY = 123$ 이 조건을 만족하는 가장 큰 값입니다.

$$FLY = 123 \;\Rightarrow\; BUG = 8 \times 123 = 984,\ \text{숫자}=\{1,2,3,9,8,4\}\ \text{(모두 다름)} \;\checkmark$$

💡 또 한 번의 (한 자리)$\times$(세 자리) 곱셈과, 나열된 여섯 숫자가 모두 다른지 눈으로 확인하는 단순 비교입니다 — 4학년 곱셈 기능이면 충분합니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 5

두 세 자리 수를 더해 최종 답을 구합니다.
$FLY + BUG = 123 + 984$ 를 자릿수에 맞춰 더하면 $3 + 4 = 7$ (일의 자리), $2 + 8 = 10$ (0 적고 1 올림), $1 + 9 + 1 = 11$ (1 적고 1 올림) 으로 $1{,}107$ 입니다.
선택지 (A) 1089, (B) 1098, **(C) 1107**, (D) 1116, (E) 1125 중에서 $1107$ 은 정확히 (C).
다른 네 값은 $123 + 984$ 와 다르므로 모두 제외됩니다.

$$123 + 984 = 1107 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 받아올림이 있는 세 자리 수 두 개의 덧셈과 그 결과를 선택지와 비교하는 일은 4학년의 다자리 수 덧셈·비교 단원에 해당합니다.

[1] #9 4.NBT.A.2 작은 예로 구조를 파악합니다. 아무 세 자리 수, 예를 들어 $254$ 를 두 번 이어 붙이면 $254{,}254$ 가 됩니다. 자릿값으로 풀어

[2] #9 4.NBT.B.6 이제 **$FLY$ 가 얼마까지 클 수 있는지** 따져 봅니다. $BUG = 8 \cdot FLY$ 도 세 자리 수여야 하므로 $BUG \le

[3] #6 4.NBT.B.5 이제 **위에서부터 추측하며 확인**합니다. $FLY = 124, 123, 122, \ldots$ 순으로 내려가며 여섯 숫자가 모두 다른 첫 값

[4] #6 4.NBT.B.5 한 칸 내려가 다음 후보를 봅니다. $FLY = 123$: $F=1, L=2, Y=3$ (서로 다름). $BUG = 8 \times 123 =

[5] #3 4.NBT.B.4 두 세 자리 수를 더해 최종 답을 구합니다. $FLY + BUG = 123 + 984$ 를 자릿수에 맞춰 더하면 $3 + 4 = 7$ (일의 자

검토

합리성 확인: 검산으로 $FLY = 123$ 을 **원래의 여섯 자리 등식**에 다시 넣어 봅니다. 좌변 $8 \cdot 123{,}123 = 984{,}984$, 우변 $\underline{B}\underline{U}\underline{G}\underline{B}\underline{U}\underline{G} = 984{,}984$ — 정확히 일치합니다. 여섯 숫자 $\{F, L, Y, B, U, G\} = \{1, 2, 3, 9, 8, 4\}$ 도 모두 다릅니다. 그리고 $FLY = 123$ 이 산술적 상한 $124$ 보다 딱 한 칸 작다는 점도 자연스럽습니다 — 단지 $124$ 한 경우가 "서로 다른 숫자" 조건에서 걸려 한 단계 내려왔을 뿐입니다. 답 $1107$ 이 선택지 한가운데 위치한다는 점도, "한 번 실패 후 다음 성공" 식의 추측-확인이 흔히 도달하는 자리와 잘 맞습니다.

대안 접근: 다른 방법으로 도구 #3 (**가능성 지우기**) 을 선택지에 직접 적용할 수 있습니다. $FLY + BUG = FLY + 8 \cdot FLY = 9 \cdot FLY$ 이므로 답은 반드시 $9$ 의 배수입니다. 확인해 보면 $1089 = 9 \times 121$, $1098 = 9 \times 122$, $1107 = 9 \times 123$, $1116 = 9 \times 124$, $1125 = 9 \times 125$ 로 다섯 개 모두 $9$ 의 배수라 이것만으로는 답이 정해지지 않습니다. 하지만 각 선택지는 곧 하나의 $FLY$ 후보를 알려 주므로 **가장 큰 $FLY$ 부터** 차례로 확인하면 됩니다: $125 \Rightarrow 8 \times 125 = 1000$ (네 자리, 탈락); $124 \Rightarrow 992$ (숫자 중복, 탈락); $123 \Rightarrow 984$ (여섯 숫자 모두 다름, 성공) — 답 (C). $9$ 의 배수 관찰만 떠올리면 추측 없이 같은 답에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 다자리 수를 자릿값으로 읽고 쓰며 기호로 비교한다 ($\underline{F}\underline{L}\underline{Y}\underline{F}\underline{L}\underline{Y}$ 를 자릿값으로 풀어 $FLY \times 1000 + FLY = 1001 \times FLY$ 로 보고 여섯 자리 등식을 단순화하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 다자리 수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 한다 ($123 + 984 = 1107$ 의 받아올림 덧셈으로 최종 합을 구하고 다섯 개 선택지와 비교하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 한 자리 수로 최대 네 자리 수를 곱한다 (추측-확인 단계에서 $8 \times 124 = 992$, $8 \times 123 = 984$ 를 계산하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 수를 나누어 몫과 나머지를 구한다 ($999 \div 8 = 124.875$ 로 $BUG$ 가 세 자리에 머물도록 $FLY$ 의 상한을 정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 다자리 수 자릿값, 곱셈, 나눗셈, 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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