AMC 8 · 2024 · #19

학년 4 rate-ratio

ratio-proportionfraction-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

지호는 운동화 $15$ 켤레를 가지고 있습니다. 이 중 $\dfrac{3}{5}$ 은 빨간색이고 나머지는 흰색이며, 또한 전체의 $\dfrac{2}{3}$ 은 하이탑이고 나머지는 로우탑입니다. 빨간색 하이탑 운동화는 전체 운동화에서 어떤 비율을 차지합니다. 이 비율로 가능한 값 중 가장 작은 값은 얼마입니까?

$\textbf{(A) } 0\qquad\textbf{(B) } \dfrac{1}{5} \qquad\textbf{(C) } \dfrac{4}{15} \qquad\textbf{(D) } \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{(E) } \dfrac{2}{5}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$dfrac{1}{5}$

(C)

$dfrac{4}{15}$

(D)

$dfrac{1}{3}$

(E)

$dfrac{2}{5}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지호는 운동화 15켤레를 가지고 있어요. 그중 $\tfrac{3}{5}$는 빨간색이고 나머지는 흰색, $\tfrac{2}{3}$는 하이탑이고 나머지는 로우탑입니다. 빨간색이면서 하이탑인 운동화가 전체 15켤레 중에서 차지하는 **가장 작은 분수**가 얼마인지 묻는 문제입니다.

주어진 것: 총 운동화 수: $15$ 켤레; 빨간색 운동화: 전체의 $\tfrac{3}{5}$, 나머지는 흰색; 하이탑 운동화: 전체의 $\tfrac{2}{3}$, 나머지는 로우탑; 선택지: $(A)\ 0,\ (B)\ \tfrac{1}{5},\ (C)\ \tfrac{4}{15},\ (D)\ \tfrac{1}{3},\ (E)\ \tfrac{2}{5}$

구하는 것: "빨간색이면서 하이탑"인 운동화 수의 **가장 작은** 가능한 값을 15로 나눈 분수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

"색깔과 스타일"이라는 두 가지 분류가 동시에 걸려 있으므로, 도구 #1로 **2 × 2 표(그림)** 를 그려 네 칸(빨강·하이탑, 빨강·로우탑, 흰·하이탑, 흰·로우탑)을 한눈에 보이게 만드는 것이 출발점입니다. "빨강 하이탑을 가장 **작게**" 만들고 싶다는 직접적인 요구는 도구 #16(관점 바꾸기)로 **"빨강 로우탑을 가장 **크게** 만들면 된다"**로 뒤집을 때 훨씬 쉬워집니다. 마지막에는 도구 #6(추측하고 확인하기)로 후보값 $x = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 시도해 칸이 모두 0 이상인 가장 작은 $x$ 를 골라 확인합니다. 도구 #13(대수) 없이도 표·논리·확인만으로 충분히 풀립니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.NF.B.4 단계 1

먼저 "빨강·흰"과 "하이탑·로우탑"의 실제 켤레 수를 구합니다.
전체가 15켤레이므로 $\tfrac{3}{5}$ 가 빨강이라는 말은 "15켤레를 5묶음으로 똑같이 나눈 뒤 그중 3묶음"을 뜻해서 $\tfrac{3}{5} \times 15 = 9$ 켤레가 빨강입니다.
마찬가지로 $\tfrac{2}{3}$ 가 하이탑이라는 말은 "15켤레를 3묶음으로 나눈 뒤 그중 2묶음"이므로 $\tfrac{2}{3} \times 15 = 10$ 켤레가 하이탑입니다.
나머지는 뺄셈으로 흰색 $15 - 9 = 6$ 켤레, 로우탑 $15 - 10 = 5$ 켤레입니다.

$$\tfrac{3}{5} \times 15 = 9,\ \ 15 - 9 = 6,\ \ \tfrac{2}{3} \times 15 = 10,\ \ 15 - 10 = 5$$

💡 전체의 $\tfrac{3}{5}$, $\tfrac{2}{3}$ 처럼 분수를 전체 수에 곱해서 "몇 개"인지 구하는 것은 4학년에서 배우는 분수와 자연수의 곱셈입니다.

#1 그림 그리기 1.MD.C.4 단계 2

구한 네 합계(빨강 9, 흰색 6, 하이탑 10, 로우탑 5)를 2 × 2 표의 가장자리에 적습니다.
빨강 하이탑 칸을 $x$ 로 두면, 같은 행·열의 합이 맞아야 하므로 각 칸은 자동으로 정해집니다: 빨강 로우탑 $= 9 - x$, 흰색 하이탑 $= 10 - x$, 흰색 로우탑 $= x - 4$ (행 합 $6$ 과 열 합 $5$ 가 동시에 맞아야 함).
표 한 장이 "네 칸이 모두 음이 아닌 정수"라는 조건을 시각적으로 드러내 줍니다.

$$\begin{array}{c|cc|c} & \text{하이탑} & \text{로우탑} & \text{합} \\\hline \text{빨강} & x & 9-x & 9 \\ \text{흰색} & 10-x & x-4 & 6 \\\hline \text{합} & 10 & 5 & 15 \end{array}$$

💡 두 가지 분류(색깔·스타일)에 따라 항목을 표의 칸으로 나누어 정리하는 것은 1학년의 "여러 분류로 자료를 정리하기" 활동과 같습니다.

#16 관점 바꾸기 2.NBT.B.5 단계 3

"빨강 하이탑 $x$ 를 가장 **작게**"라는 직접적인 목표를 **관점을 바꿔** "빨강 로우탑 $9 - x$ 를 가장 **크게**"라는 쉬운 목표로 뒤집습니다.
빨강 로우탑은 두 가지 한계가 있습니다: ① 로우탑 전체가 5켤레뿐이므로 빨강 로우탑은 최대 5, ② 빨강 전체가 9켤레뿐이므로 빨강 로우탑은 최대 9.
둘 중 더 작은 한계인 $5$ 가 진짜 상한이므로 빨강 로우탑은 최대 $5$.
즉 $9 - x = 5$, 곧 $x = 4$ 가 후보 최솟값입니다.

$$\text{빨강 로우탑} = 9 - x \le \min(5,\ 9) = 5\ \Longrightarrow\ x \ge 9 - 5 = 4$$

💡 "가장 작게 만들고 싶은 칸"의 반대편 칸을 "가장 크게 만들면 된다"고 바꿔 생각한 뒤, $9 - 5 = 4$ 같은 100 이내 뺄셈으로 답을 얻는 단계입니다.

#6 추측하고 확인하기 2.NBT.B.5 단계 4

후보 $x = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 표에 넣어 네 칸이 모두 0 이상의 정수가 되는지 **확인**합니다.
$x = 0$ 이면 빨강 로우탑 $= 9$ 인데 로우탑 전체가 5뿐이라 안 되고, $x = 1, 2, 3$ 도 같은 이유로 빨강 로우탑이 $8, 7, 6$ 이 되어 5를 넘으므로 모두 불가능합니다.
$x = 4$ 일 때만 빨강 로우탑 $= 5$, 흰 하이탑 $= 6$, 흰 로우탑 $= 0$ 으로 네 칸이 모두 0 이상이 되어 유일하게 성립합니다.

$$x = 4:\ \begin{array}{c|cc|c} & \text{하이탑} & \text{로우탑} & \text{합}\\\hline \text{빨강} & 4 & 5 & 9\\ \text{흰색} & 6 & 0 & 6\\\hline \text{합} & 10 & 5 & 15 \end{array}$$

💡 후보값을 하나씩 넣어 보고 네 칸의 뺄셈 결과가 음수가 되는지 확인하는 일은 2학년 100 이내 뺄셈에서 다루는 활동입니다.

#1 그림 그리기 3.NF.A.1 단계 5

이제 빨강 하이탑의 최솟값 $4$ 켤레를 전체 $15$ 켤레로 나누어 분수를 만듭니다: $\tfrac{4}{15}$.
분모 15는 3, 5와는 다른 인수 구조를 가지므로 더 줄어들지 않고 그대로 $\tfrac{4}{15}$ 입니다.
선택지에서 $\tfrac{4}{15}$ 는 정확히 (C)에 해당합니다.
(A) 0은 빨강 하이탑이 0이라는 뜻인데 위에서 불가능함을 보였고, (B) $\tfrac{1}{5} = \tfrac{3}{15}$ 은 빨강 하이탑이 3이어야 하는데 역시 불가능, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{2}{5}$ 는 최솟값보다 큰 분수이므로 정답이 아닙니다.

$$\dfrac{4}{15}\ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 전체 15켤레 중 4켤레가 차지하는 비율을 $\tfrac{4}{15}$ 라는 분수로 적는 일은 3학년의 "전체를 똑같이 나눈 부분으로서의 분수" 개념을 그대로 쓰는 단계입니다.

[1] #1 4.NF.B.4 먼저 "빨강·흰"과 "하이탑·로우탑"의 실제 켤레 수를 구합니다. 전체가 15켤레이므로 $\tfrac{3}{5}$ 가 빨강이라는 말은 "15켤레

[2] #1 1.MD.C.4 구한 네 합계(빨강 9, 흰색 6, 하이탑 10, 로우탑 5)를 2 × 2 표의 가장자리에 적습니다. 빨강 하이탑 칸을 $x$ 로 두면, 같은

[3] #16 2.NBT.B.5 "빨강 하이탑 $x$ 를 가장 **작게**"라는 직접적인 목표를 **관점을 바꿔** "빨강 로우탑 $9 - x$ 를 가장 **크게**"라는 쉬운

[4] #6 2.NBT.B.5 후보 $x = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 표에 넣어 네 칸이 모두 0 이상의 정수가 되는지 **확인**합니다. $x = 0$ 이면 빨

[5] #1 3.NF.A.1 이제 빨강 하이탑의 최솟값 $4$ 켤레를 전체 $15$ 켤레로 나누어 분수를 만듭니다: $\tfrac{4}{15}$. 분모 15는 3, 5와는

검토

합리성 확인: $x = 4$ 표를 다시 세로·가로로 더해 보면 행 합 $4 + 5 = 9$ (빨강), $6 + 0 = 6$ (흰색), 열 합 $4 + 6 = 10$ (하이탑), $5 + 0 = 5$ (로우탑)으로 네 가장자리 수가 모두 정확히 맞습니다. 또 답이 $0$ 이 아닌 것은 "빨강 9켤레가 로우탑 5켤레보다 많으니, 적어도 $9 - 5 = 4$ 켤레는 어쩔 수 없이 하이탑일 수밖에 없다"는 비둘기집 같은 직관과도 맞습니다. 분수 $\tfrac{4}{15} \approx 0.267$ 은 $\tfrac{1}{5} = 0.2$ 와 $\tfrac{1}{3} \approx 0.333$ 사이에 끼인 합리적인 크기입니다.

대안 접근: 도구 #12(벤 다이어그램)로 "빨강" 원과 "하이탑" 원을 그리고 전체 우주를 15켤레로 두는 방법도 가능합니다. 교집합 $x$ 를 두면 빨강 전용 = $9 - x$, 하이탑 전용 = $10 - x$, 어디에도 안 속함(흰 로우탑) = $15 - (9 + 10 - x) = x - 4 \ge 0$ 에서 $x \ge 4$ 가 곧바로 나옵니다. 같은 답 $\tfrac{4}{15}$ 를 다른 그림으로 확인할 수 있어 좋은 검산입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.MD.C.4 최대 세 가지 분류로 자료를 정리·표현·해석한다 (운동화를 "색깔 × 스타일"의 두 가지 분류로 묶어 2 × 2 표의 네 칸으로 정리하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($15 - 9 = 6,\ 15 - 10 = 5,\ 9 - 5 = 4$ 같은 표 칸 채우기와 후보 $x$ 별 가능성 확인에 사용.)
3.NF.A.1 전체를 똑같이 나눈 부분으로서의 분수의 의미를 이해한다 (전체 15켤레 중 4켤레가 차지하는 비율을 $\tfrac{4}{15}$ 라는 분수로 적고 선택지에 맞추는 데 사용.)
4.NF.B.4 분수에 자연수를 곱해 "전체의 몇 분의 몇"이 몇 개인지 구한다 ($\tfrac{3}{5} \times 15 = 9$ 와 $\tfrac{2}{3} \times 15 = 10$ 처럼 분수만큼의 양을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "전체의 몇 분의 몇 구하기"와 표 정리만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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