AMC 8 · 2024 · #24

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-trianglesperfect-squares area-differencecasework ↑ 선수 지식: area-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

지은이는 아래 그림과 같이 두 개의 산 모양으로 된 스테인드 글라스 작품을 만들었습니다. 한 산의 봉우리 높이는 $8$ 피트이고 다른 산의 봉우리 높이는 $12$ 피트입니다. 각 봉우리는 $90^\circ$ 의 각을 이루며, 직선으로 된 양옆 면은 지면과 $45^\circ$ 의 각을 이룹니다. 작품의 넓이는 $183$ 제곱피트입니다. 두 산의 옆면은 작품의 중심 근처에서 한 점에서 만나며, 이 교점은 지면으로부터 $h$ 피트 위에 있습니다. $h$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$4\sqrt{2}$

(D)

(E)

$5\sqrt{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 산 모양이 겹쳐진 스테인드글라스 작품이 있습니다. 각 산의 꼭대기 각은 $90^\circ$ 이고, 산의 두 직선 변은 땅과 $45^\circ$ 각도를 이룹니다. 왼쪽 산의 꼭대기 높이는 $8$ 피트, 오른쪽 산의 꼭대기 높이는 $12$ 피트이고, 작품 전체의 넓이는 $183$ 제곱피트입니다. 두 산은 겹쳐 있고, 안쪽 변들이 교차하는 점은 땅으로부터 $h$ 피트 위에 있습니다. 이때 $h$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 왼쪽 산의 꼭대기 높이: $8$ 피트; 오른쪽 산의 꼭대기 높이: $12$ 피트; 각 꼭대기 각: $90^\circ$; 각 산의 변과 땅 사이 각: $45^\circ$ (즉, 각 산은 45-45-90 직각이등변삼각형); 작품의 총 넓이: $183$ 제곱피트; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $4\sqrt{2}$, (D) $6$, (E) $5\sqrt{2}$

구하는 것: 두 산의 안쪽 변이 교차하는 점의 땅으로부터의 높이 $h$ (피트)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

작품은 두 큰 산 모양 삼각형이 겹쳐진 합집합이므로, 먼저 도구 #1 **그림 그리기** 로 각 산의 안쪽 변을 땅까지 늘려 봅니다. 그러면 두 개의 완전한 45-45-90 큰 삼각형이 작은 거꾸로 된 45-45-90 삼각형에서 겹치는 모습이 보입니다. 도구 #7 **작은 문제로 쪼개기** 로 문제를 큰 삼각형 두 개 + 겹침 한 개의 세 가지 친근한 넓이로 나눕니다. 산의 밑변을 높이에서 구할 때는 도구 #9 **더 쉬운 문제로 줄이기** — 작은 단위 산을 그려 보면 $45^\circ$ 경사는 "오른쪽으로 1, 위로 1" 이므로 밑변이 꼭대기 높이의 두 배라는 것이 보입니다. $h^2 = 25$ 가 나오면 도구 #6 **추측하고 확인하기** 로 $h = 5$ 를 바로 찾고, 객관식이므로 도구 #3 **가능성 지우기** 로 $\sqrt{2}$ 가 들어간 선택지나 다른 후보들을 모두 배제합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

작품을 그린 다음, 각 산의 안쪽 변을 땅까지 점선으로 늘려 봅니다.
그러면 두 개의 완전한 45-45-90 큰 산 삼각형이 작고 거꾸로 된 45-45-90 삼각형에서 겹치는 모습이 보이고, 그 작은 삼각형의 (아래로 향한) 꼭짓점은 땅에서 $h$ 피트 위에 있습니다.
그림에 라벨을 붙이면 문제는 다음 식 한 줄로 바뀝니다: 왼쪽 큰 삼각형의 넓이 $+$ 오른쪽 큰 삼각형의 넓이 $-$ 겹침의 넓이 $= 183$.

$$\text{왼쪽 넓이} + \text{오른쪽 넓이} - \text{겹침 넓이} = 183$$

💡 삼각형으로 도형을 합치거나 쪼개서 넓이를 구하는 것은 6학년 기하의 핵심 표준입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.MD.C.6 단계 2

각 산의 밑변을 꼭대기 높이로부터 구합니다.
먼저 더 쉬운 문제: 꼭대기 높이가 $1$ 피트인 작은 산.
$45^\circ$ 경사는 "위로 1 가면 옆으로도 1" 이라는 뜻이므로, 꼭대기에서 양쪽으로 각각 $1$ 피트씩 내려와 밑변은 $2$ 피트입니다.
똑같은 그림을 그대로 키우면 꼭대기 높이가 $H$ 일 때 밑변은 $2H$.
따라서 왼쪽 산의 밑변은 $2 \times 8 = 16$ 피트, 오른쪽 산의 밑변은 $2 \times 12 = 24$ 피트.

$$\text{왼쪽 밑변} = 2 \times 8 = 16,\quad \text{오른쪽 밑변} = 2 \times 12 = 24$$

💡 $45^\circ$ 라는 각을 알아보고 그림에서 "옆 거리 = 위 거리" 를 읽어내는 것은 4학년의 각도 단원에서 다루는 기능입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

두 큰 삼각형의 넓이를 밑변 $\times$ 높이 $\div 2$ 로 구합니다.
왼쪽: $\tfrac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64$ 제곱피트.
오른쪽: $\tfrac{1}{2} \times 24 \times 12 = 144$ 제곱피트.
곱셈만 있으면 되고 대수는 필요 없습니다.

$$\text{왼쪽 넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot 16 \cdot 8 = 64,\quad \text{오른쪽 넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot 24 \cdot 12 = 144$$

💡 $\tfrac{1}{2}\cdot b\cdot h$ 공식으로 삼각형의 넓이를 구하는 것은 6학년 기하에서 정확히 다루는 표준입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.G.A.1 단계 4

겹치는 부분 자체도 45-45-90 삼각형입니다 — 꼭짓점이 교차점에서 아래로 향하고, 높이는 $h$, 땅에 닿는 밑변은 $2h$ (산과 똑같은 $45^\circ$ 경사 논리를 거꾸로 적용).
그래서 겹침의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \times 2h \times h = h^2$.

$$\text{겹침 넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot (2h)\cdot h = h^2$$

💡 더 작은 겹침 부분에 같은 삼각형-넓이 논리를 다시 쓰는 것은 도형을 쪼개거나 합치는 6학년 표준에 해당합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

세 넓이를 포함-배제 식에 대입합니다: $64 + 144 - h^2 = 183$.
두 큰 넓이를 먼저 더하면 $64 + 144 = 208$.
양변에서 $183$ 을 빼서 정리: $h^2 = 208 - 183 = 25$.

$$64 + 144 - h^2 = 183 \;\Rightarrow\; h^2 = 208 - 183 = 25$$

💡 $64+144$ 이나 $208-183$ 같은 자연수의 덧셈·뺄셈은 4학년의 여러 자리 수 계산입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 6

$h^2 = 25$ 를 추측하고 확인으로 풉니다.
$h = 4$ 시도: $4 \times 4 = 16$, 너무 작음.
$h = 5$ 시도: $5 \times 5 = 25$.
딱 맞습니다.
$h = 6$ 시도: $6 \times 6 = 36$, 너무 큼.
그러므로 $h = 5$ 피트.
선택지와 맞추면 $5$ 는 (B).
$\sqrt{2}$ 가 들어간 (C), (E) 는 각각 $h^2 = 32, 50$ 이 되어 $25$ 가 아니므로 배제, (A) $4$ 는 $16$, (D) $6$ 은 $36$ 으로 모두 틀림.
결국 (B) 만 살아남습니다.

$$5^2 = 25 \;\Rightarrow\; h = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $5 \times 5 = 25$ 같은 곱셈구구는 3학년 곱셈 기본 사실입니다.

[1] #1 6.G.A.1 작품을 그린 다음, 각 산의 안쪽 변을 땅까지 점선으로 늘려 봅니다. 그러면 두 개의 완전한 45-45-90 큰 산 삼각형이 작고 거꾸로 된 4

[2] #9 4.MD.C.6 각 산의 밑변을 꼭대기 높이로부터 구합니다. 먼저 더 쉬운 문제: 꼭대기 높이가 $1$ 피트인 작은 산. $45^\circ$ 경사는 "위로 1

[3] #7 6.G.A.1 두 큰 삼각형의 넓이를 밑변 $\times$ 높이 $\div 2$ 로 구합니다. 왼쪽: $\tfrac{1}{2} \times 16 \times

[4] #9 6.G.A.1 겹치는 부분 자체도 45-45-90 삼각형입니다 — 꼭짓점이 교차점에서 아래로 향하고, 높이는 $h$, 땅에 닿는 밑변은 $2h$ (산과 똑같은

[5] #7 4.NBT.B.4 세 넓이를 포함-배제 식에 대입합니다: $64 + 144 - h^2 = 183$. 두 큰 넓이를 먼저 더하면 $64 + 144 = 208$. 양

[6] #6 3.OA.C.7 $h^2 = 25$ 를 추측하고 확인으로 풉니다. $h = 4$ 시도: $4 \times 4 = 16$, 너무 작음. $h = 5$ 시도: $5

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 검산해 봅니다. 두 큰 삼각형을 합하면 $64 + 144 = 208$ 제곱피트인데 작품은 $183$ 이니, 겹치는 부분은 $25$ 제곱피트만큼 가져갑니다 — 중앙의 좁은 쐐기 모양에 딱 어울리는 작은 양입니다. 겹침의 꼭짓점 높이 $h = 5$ 피트는 두 산의 꼭대기 ($8, 12$) 보다 낮고 땅 ($0$) 보다 높아서 기하적으로 가능합니다. 다시 대입해 보면 $64 + 144 - 5^2 = 208 - 25 = 183$ 으로 정확히 맞고, 단위는 모두 제곱피트로 일관됩니다. $\sqrt{2}$ 가 들어간 선택지들은 비스듬한 변의 길이를 노린 함정이지, 문제에서 묻는 "수직 높이" 가 아닙니다.

대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #3(가능성 지우기)을 쓸 수 있습니다. 식 $64 + 144 - h^2 = 183$ 에 각 선택지를 직접 대입해 보면 — (A) $4 \Rightarrow 208 - 16 = 192 \ne 183$, (B) $5 \Rightarrow 208 - 25 = 183$ ✓, (C) $4\sqrt{2} \Rightarrow 208 - 32 = 176 \ne 183$, (D) $6 \Rightarrow 208 - 36 = 172 \ne 183$, (E) $5\sqrt{2} \Rightarrow 208 - 50 = 158 \ne 183$ — 오직 (B) 만 살아남습니다. 대수도, 제곱근도 없이 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 합성·분해로 구한다 (각 산의 넓이를 $\tfrac{1}{2}\cdot b\cdot h$ 로 구하고, 작품 전체를 "두 큰 삼각형 - 겹치는 삼각형" 으로 쪼개어 겹침의 넓이를 $h^2$ 로 표현하는 데 사용 (넓이의 포함-배제).)
4.MD.C.6 각도를 자연수 단위로 측정한다 (각도기 사용) ($45^\circ$ 라는 각을 알아보고 "옆 거리 = 위 거리" 로부터 산의 밑변이 꼭대기 높이의 2배임을 끌어내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($64 + 144 = 208$ 과 $208 - 183 = 25$ 를 계산해 $h^2$ 를 분리하는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 ($h^2 = 25$ 를 추측하고 확인으로 풀 때 $5 \times 5 = 25$ 같은 곱셈구구와 $16 \times 8 = 128$, $24 \times 12 = 288$ 의 곱셈에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 생각만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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