AMC 8 · 2024 · #5

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search

divisibility-rulesfactorsmultiples caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactors

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

서연이가 일반적인 6면체 주사위 두 개를 굴렸습니다. 나온 두 눈의 곱이 $6$ 의 배수임을 알았습니다. 다음 중 두 눈의 합이 될 수 없는 정수는 무엇입니까?

$\textbf{(A) } 5\qquad\textbf{(B) } 6\qquad\textbf{(C) } 7\qquad\textbf{(D) } 8\qquad\textbf{(E) } 9$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서연이가 표준 6면체 주사위 두 개를 던져, 두 눈의 곱이 6의 배수가 되었다. 보기 5, 6, 7, 8, 9 중에서 두 눈의 합 $d_1 + d_2$가 될 수 없는 정수를 찾아야 한다.

주어진 것: 두 주사위의 눈 $d_1, d_2$는 각각 $1 \le d_1, d_2 \le 6$ 범위의 정수; 두 눈의 곱 $d_1 \times d_2$는 $6$의 배수; 검토할 합 보기 다섯 개: (A) 5, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9

구하는 것: 곱이 6의 배수가 되는 어떤 $(d_1, d_2)$ 쌍으로도 만들 수 없는 합

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기

확인해야 할 합 보기가 다섯 개뿐이고, 각 합을 만드는 주사위 쌍도 몇 개에 불과하므로 합이 같은 모든 쌍 $(d_1, d_2)$를 빠짐없이 나열할 수 있다(도구 #2). 어떤 쌍 하나라도 곱이 6의 배수이면 그 합은 가능한 것으로 확정되어 보기에서 지운다(도구 #3). 또한 '$d_1 d_2$가 6의 배수인가?'라는 큰 질문을 '2의 배수인가?'와 '3의 배수인가?'라는 두 개의 작은 질문으로 쪼개면 검사가 단번에 끝난다(도구 #7). 대수는 필요 없다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

먼저 '곱이 6의 배수'가 진짜로 무엇을 요구하는지 정리한다.
$6 = 2 \times 3$이므로 $d_1 \times d_2$가 6의 배수가 되려면 2로도 나누어떨어지고 3으로도 나누어떨어져야 한다.
즉 두 눈 중 적어도 하나는 짝수(2, 4, 6)여야 하고, 적어도 하나는 3의 배수(3 또는 6)여야 한다.
이 작은 규칙만 가지고 있으면 각 쌍은 한눈에 판별할 수 있다.

$$6 = 2 \times 3 \Rightarrow d_1 \times d_2 \equiv 0 \pmod{6} \iff (\text{짝수 1개 이상}) \text{ AND } (\text{3의 배수 1개 이상})$$

💡 4학년에서 배우는 '배수' 개념을 사용해 6의 배수 판정을 2의 배수 검사와 3의 배수 검사 두 단계로 쪼갠다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.B.2 단계 2

합이 5인 경우를 검사한다.
$d_1 \le d_2$인 모든 쌍을 빠짐없이 나열해 곱을 계산한다.
$(1,4)$는 곱이 4로 6의 배수가 아니지만, $(2,3)$은 곱이 6으로 6의 배수다.
따라서 합 5는 만들 수 있고, 보기 (A)는 제외된다.

$1+4=5,\ 1\times 4 = 4 \;(\text{불가})$ ; $\ 2+3=5,\ 2\times 3 = 6 \;\checkmark$

💡 한 자리 수끼리의 합을 빠짐없이 나열하는 일은 2학년의 20 이내 덧셈 자동화 수준이다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 3

합이 6인 경우를 검사한다.
쌍은 $(1,5), (2,4), (3,3)$이고 곱은 각각 5, 8, 9이다.
어느 쌍도 6의 배수가 아니다(각 쌍이 2의 배수 인수와 3의 배수 인수 중 하나를 빠뜨리고 있다).
따라서 합 6은 만들 수 없는 후보처럼 보인다.

$1\times 5 = 5\ (\text{불가})$ ; $\ 2\times 4 = 8\ (\text{불가})$ ; $\ 3\times 3 = 9\ (\text{불가})$

💡 한 자리 수의 곱셈과 나누어떨어짐 판정은 3학년의 100 이내 곱셈 자동화로 해결된다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 4

합이 7인 경우를 검사한다.
쌍 $(1,6), (2,5), (3,4)$의 곱은 6, 10, 12다.
6과 12가 모두 6의 배수이므로 합 7은 가능하다.
보기 (C)를 제외한다.

$1\times 6 = 6\ \checkmark$ ; $\ 2\times 5 = 10\ (\text{불가})$ ; $\ 3\times 4 = 12\ \checkmark$

💡 6, 12, 18이 6의 배수임을 알고 있으면 3학년 곱셈 지식만으로 즉시 판정된다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 5

합이 8인 경우를 검사한다.
쌍 $(2,6), (3,5), (4,4)$의 곱은 12, 15, 16이다.
$(2,6)$의 곱 12가 6의 배수이므로 합 8은 가능하다.
보기 (D)를 제외한다.

$2\times 6 = 12\ \checkmark$ ; $\ 3\times 5 = 15\ (\text{불가})$ ; $\ 4\times 4 = 16\ (\text{불가})$

💡 쌍을 나열하고 곱을 구하는 단순 작업은 여전히 3학년 수준 — 대수가 필요 없다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 6

합이 9인 경우를 검사한다.
쌍 $(3,6), (4,5)$의 곱은 18, 20이다.
$(3,6)$의 곱 18이 6의 배수이므로 합 9는 가능하다.
보기 (E)를 제외한다.

$3\times 6 = 18\ \checkmark$ ; $\ 4\times 5 = 20\ (\text{불가})$

💡 $3 \times 6 = 18 = 6 \times 3$도 같은 3학년 곱셈 사실이다.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 7

보기 다섯 중 네 개(A, C, D, E)에서는 곱이 6의 배수가 되는 쌍을 명시적으로 찾아 제거했다.
남은 것은 (B) 합 6뿐이며, 어떤 쌍을 골라도 곱이 6의 배수가 되지 않는다.
따라서 두 눈의 합이 될 수 없는 정수는 6이다.

$$\text{제거됨: } 5, 7, 8, 9 \Rightarrow \text{불가능한 합} = 6 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 여러 경우의 결과를 모아 하나의 정답을 골라내는 일은 3학년의 다단계 문제 해결에 해당한다.

[1] #7 4.OA.B.4 먼저 '곱이 6의 배수'가 진짜로 무엇을 요구하는지 정리한다. $6 = 2 \times 3$이므로 $d_1 \times d_2$가 6의 배수가

[2] #2 2.OA.B.2 합이 5인 경우를 검사한다. $d_1 \le d_2$인 모든 쌍을 빠짐없이 나열해 곱을 계산한다. $(1,4)$는 곱이 4로 6의 배수가 아니지

[3] #2 3.OA.C.7 합이 6인 경우를 검사한다. 쌍은 $(1,5), (2,4), (3,3)$이고 곱은 각각 5, 8, 9이다. 어느 쌍도 6의 배수가 아니다(각 쌍

[4] #2 3.OA.C.7 합이 7인 경우를 검사한다. 쌍 $(1,6), (2,5), (3,4)$의 곱은 6, 10, 12다. 6과 12가 모두 6의 배수이므로 합 7은

[5] #2 3.OA.C.7 합이 8인 경우를 검사한다. 쌍 $(2,6), (3,5), (4,4)$의 곱은 12, 15, 16이다. $(2,6)$의 곱 12가 6의 배수이므

[6] #2 3.OA.C.7 합이 9인 경우를 검사한다. 쌍 $(3,6), (4,5)$의 곱은 18, 20이다. $(3,6)$의 곱 18이 6의 배수이므로 합 9는 가능하다

[7] #3 3.OA.D.8 보기 다섯 중 네 개(A, C, D, E)에서는 곱이 6의 배수가 되는 쌍을 명시적으로 찾아 제거했다. 남은 것은 (B) 합 6뿐이며, 어떤 쌍

검토

합리성 확인: 왜 하필 합 6만 불가능할까? 6의 배수이려면 곱 안에 2의 배수와 3의 배수가 모두 들어 있어야 한다. 주사위에서 3의 배수는 3과 6뿐인데, 한쪽 눈이 6이면 다른 눈은 $6 - 6 = 0$이 되어야 해서 불가능하다. 한쪽 눈이 3이면 다른 눈은 $6 - 3 = 3$인데 곱 $3 \times 3 = 9$에는 2의 배수 인수가 없다. 따라서 합이 6인 어떤 쌍도 2와 3을 동시에 공급할 수 없어, 경우 분석과 구조적 이유가 일치한다. 답 (B) 6은 옳다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기, 여사건 세기)을 쓰는 대안이 있다. 합을 하나하나 검사하는 대신, 곱이 6의 배수가 되는 쌍을 먼저 모두 나열한다: $(1,6), (2,3), (2,6), (3,4), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)$. 각 쌍의 합은 $\{7, 5, 8, 7, 9, 10, 11, 12\}$이므로 가능한 합 집합은 $\{5, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$다. 보기 중 빠진 값이 6이므로 (B)가 확정된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.B.2 Fluently add and subtract within 20 using mental strategies (각 후보 합(5-9)을 만드는 주사위 눈 쌍을 빠짐없이 나열할 때 사용.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (각 쌍의 곱(예: $2 \times 3 = 6$, $4 \times 4 = 16$)을 계산해 6으로 나누어떨어지는지 판정할 때 사용.)
3.OA.D.8 Solve two-step word problems using four operations within 100 (각 경우의 결과를 종합해 만들 수 없는 합 하나를 결정하는 다단계 추론에 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ('6의 배수'라는 조건을 '2의 배수이면서 동시에 3의 배수'로 분해하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수·약수 개념만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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