AMC 8 · 2025 · #1
학년 6 geometry-2d문제
아래 그림에 보이는 8각별은 퀼팅(quilting)에서 많이 쓰이는 모양입니다. 이 별이 차지하는 부분은 전체 격자의 몇 퍼센트입니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자 안에 그려진 8각 별 모양(전통 퀼트 무늬)이 회색으로 칠해져 있어요. 이 별이 전체 격자 넓이의 몇 퍼센트를 덮고 있을까요?
주어진 것: 전체 그림은 $4 \times 4$ 격자 위에 있으므로 단위 정사각형이 총 $16$ 개; 별은 가운데 $2 \times 2$ 정사각형(완전히 칠해짐)과 가장자리로 뻗어 나가는 뾰족한 "꼭짓점" 삼각형 $8$ 개로 이루어져 있음; 각 꼭짓점 삼각형은 한 변 길이가 $1$, 다른 한 변 길이가 $1$ 인 직각삼각형이므로 단위 정사각형의 정확히 절반($\tfrac{1}{2}$); 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $60$, (D) $75$, (E) $80$ (퍼센트)
구하는 것: 별이 칠한 넓이가 $4 \times 4$ 격자 전체 넓이의 몇 퍼센트(%)인가
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자 안에 그려진 8각 별 모양(전통 퀼트 무늬)이 회색으로 칠해져 있어요. 이 별이 전체 격자 넓이의 몇 퍼센트를 덮고 있을까요?
주어진 것: 전체 그림은 $4 \times 4$ 격자 위에 있으므로 단위 정사각형이 총 $16$ 개; 별은 가운데 $2 \times 2$ 정사각형(완전히 칠해짐)과 가장자리로 뻗어 나가는 뾰족한 "꼭짓점" 삼각형 $8$ 개로 이루어져 있음; 각 꼭짓점 삼각형은 한 변 길이가 $1$, 다른 한 변 길이가 $1$ 인 직각삼각형이므로 단위 정사각형의 정확히 절반($\tfrac{1}{2}$); 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $60$, (D) $75$, (E) $80$ (퍼센트)
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
별 자체는 한눈에 넓이를 구하기 까다롭지만, 격자선과 잘 맞아떨어지는 단순한 조각들 — 가운데 $2 \times 2$ 정사각형 한 개와 단위 정사각형 절반짜리 삼각형 $8$ 개 — 로 깔끔하게 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 별의 넓이를 "중앙 정사각형 넓이" $+$ "꼭짓점 삼각형 $8$ 개의 넓이" 두 가지 쉬운 계산으로 분리합니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 어느 칸이 완전히 칠해졌는지, 어느 칸이 반만 칠해졌는지, 어느 칸이 비었는지 표시해 중복으로 세는 실수를 막습니다. 마지막에는 (별 넓이) $/$ (전체 넓이) 비율을 퍼센트로 바꾼 뒤 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지에서 답을 확정합니다.
실행 — 정답: B
3.MD.C.7 단계 1 - 전체 격자의 넓이를 구합니다.
- $4 \times 4$ 격자는 단위 정사각형 $16$ 개로 이루어져 있고, 한 칸의 넓이가 $1$ 이므로 전체 넓이는 $16$ 입니다.
💡 직사각형의 넓이는 "가로 칸 수 $\times$ 세로 칸 수" 라는 3학년 넓이의 정의 그대로입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 완전히 칠해진 중앙 정사각형을 표시합니다.
- 격자 한가운데의 $2 \times 2$ 블록은 통째로 별 안에 들어가 있으므로 한 변이 $2$ 인 정사각형 한 개에 해당합니다.
💡 중앙의 단위 정사각형 $4$ 칸을 직접 세는 "타일링으로 넓이 구하기" 도 3학년 그대로입니다.
4.NF.B.4 단계 3 - 별의 뾰족한 꼭짓점 $8$ 개는 각각 두 변의 길이가 $1$, $1$ 인 직각삼각형으로, 단위 정사각형을 대각선으로 자른 절반에 해당합니다.
- 따라서 한 개의 넓이는 $\tfrac{1}{2}$ 이고, $8$ 개를 모두 더하면 $8 \times \tfrac{1}{2} = 4$ 가 됩니다.
💡 단위분수 $\tfrac{1}{2}$ 에 자연수 $8$ 을 곱하는 것은 4학년 "분수 $\times$ 자연수" 계산입니다.
3.MD.C.7 단계 4 - 작은 문제들의 답을 모아 별의 전체 넓이를 구합니다.
- 중앙 정사각형($4$) $+$ 꼭짓점 삼각형 $8$ 개($4$) $= 8$ 이므로 별의 넓이는 $8$ 입니다.
💡 겹치지 않는 조각의 넓이를 더해 전체 도형의 넓이를 얻는 3학년 "넓이의 덧셈" 아이디어 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 별이 격자 전체에서 차지하는 비율을 분수로 표현하고 퍼센트로 바꿉니다.
- 별은 $16$ 칸 중 $8$ 칸을 덮으므로 $\tfrac{8}{16} = \tfrac{1}{2}$, 즉 $50\%$ 입니다.
- 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 확인하면 정답은 (B).
💡 부분 $/$ 전체 비율을 퍼센트로 표현하는 것은 6학년 비율·백분율 추론입니다.
3.MD.C.7 전체 격자의 넓이를 구합니다. $4 \times 4$ 격자는 단위 정사각형 $16$ 개로 이루어져 있고, 한 칸의 넓이가 $1$ 이므로 전체 넓 3.MD.C.7 완전히 칠해진 중앙 정사각형을 표시합니다. 격자 한가운데의 $2 \times 2$ 블록은 통째로 별 안에 들어가 있으므로 한 변이 $2$ 인 정 4.NF.B.4 별의 뾰족한 꼭짓점 $8$ 개는 각각 두 변의 길이가 $1$, $1$ 인 직각삼각형으로, 단위 정사각형을 대각선으로 자른 절반에 해당합니다. 따 3.MD.C.7 작은 문제들의 답을 모아 별의 전체 넓이를 구합니다. 중앙 정사각형($4$) $+$ 꼭짓점 삼각형 $8$ 개($4$) $= 8$ 이므로 별의 넓 6.RP.A.3 별이 격자 전체에서 차지하는 비율을 분수로 표현하고 퍼센트로 바꿉니다. 별은 $16$ 칸 중 $8$ 칸을 덮으므로 $\tfrac{8}{16} = 검토
합리성 확인: 보색(여집합) 으로도 확인해 봅시다. 칠해지지 않은 부분은 네 모서리의 직각삼각형 $4$ 개(밑변 $2$, 높이 $1$ 이므로 각각 넓이 $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$, 합 $4$) 와 그 안쪽 네 개의 빈 단위 정사각형(합 $4$) 으로 이루어져 총 $4 + 4 = 8$. 따라서 별의 넓이는 $16 - 8 = 8$ 로 똑같이 $50\%$ 가 나옵니다. 또한 별이 대칭적으로 격자의 "대략 절반" 을 덮어 보이므로 $40\%$ 는 너무 적고 $60\%, 75\%, 80\%$ 는 모서리까지 잠식할 정도라 시각적으로도 (B) 만 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합 세기): 별의 조각을 더하는 대신, 칠해지지 않은 부분을 직접 셉니다 — 모서리 삼각형 $4$ 개(각 넓이 $1$) 와 빈 단위 정사각형 $4$ 개(각 넓이 $1$) 의 합 $8$. 그러면 별 넓이 $= 16 - 8 = 8$ 로 똑같이 $50\%$ 가 나옵니다. 별보다 "배경 조각" 이 더 단순할 때 자주 빠른 길입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.7곱셈과 덧셈을 이용한 넓이 구하기 (전체 격자 넓이 $4 \times 4 = 16$, 중앙 정사각형 넓이 $2 \times 2 = 4$ 계산과, 중앙 정사각형과 꼭짓점 삼각형 넓이를 더해 별의 넓이 $4 + 4 = 8$ 을 구하는 데 사용.)4.NF.B.4분수 $\times$ 자연수 계산으로의 곱셈 확장 (한 꼭짓점 삼각형의 넓이 $\tfrac{1}{2}$ 에 꼭짓점 개수 $8$ 을 곱해 $8 \times \tfrac{1}{2} = 4$ 를 구하는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (부분 $/$ 전체 비율 $\tfrac{8}{16} = \tfrac{1}{2}$ 을 선택지가 요구하는 퍼센트 $50\%$ 로 변환하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "부분 $\div$ 전체 $=$ 비율(%)" 만 알면 풀 수 있어요 — 별을 "가운데 정사각형" 과 "반쪽짜리 삼각형 $8$ 개" 로 쪼개기만 하면!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "부분 $\div$ 전체 $=$ 비율(%)" 만 알면 풀 수 있어요 — 별을 "가운데 정사각형" 과 "반쪽짜리 삼각형 $8$ 개" 로 쪼개기만 하면!
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