AMC 8 · 2025 · #12

학년 8 geometry-2d

area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theoremline-symmetry coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에 보이는 영역은 한 변의 길이가 $1$ 센티미터인 정사각형 $24$ 개로 이루어져 있습니다. 이 영역 안에 들어갈 수 있는(경계에 접할 수 있는) 가장 큰 원의 넓이는 몇 제곱센티미터입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\pi$

(B)

$4\pi$

(C)

$5\pi$

(D)

$6\pi$

(E)

$8\pi$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로·세로로 모두 대칭인 "$+$" 모양 도형이 한 변 $1$ cm 의 단위 정사각형 $24$ 개로 이루어져 있습니다. 이 도형 안에 완전히 들어갈 수 있는(경계에 닿아도 됨) 가장 큰 원의 넓이는 몇 제곱 센티미터일까요?

주어진 것: 도형은 한 변이 $1$ cm 인 단위 정사각형 $24$ 개로 이루어져 있다; 도형은 가로축·세로축 양쪽 모두에 대해 대칭이다 ($+$ / 마름모 모양); 좌표 격자에서 읽으면 도형은 $x \in [0,\,6]$, $y \in [1,\,7]$ 범위에 놓인다; 선택지: (A) $3\pi$, (B) $4\pi$, (C) $5\pi$, (D) $6\pi$, (E) $8\pi$ (제곱 cm)

구하는 것: 도형 안에 완전히 들어가는 가장 큰 원의 넓이 (제곱 cm)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도형이 기하학적이고 좌우·상하 대칭이라, 도구 #1(그림 그리기)로 $+$ 모양 위에 좌표 격자를 얹기만 해도 대칭의 중심과 안쪽으로 들어온 꼭짓점들이 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 조각 — (a) 원의 중심은 어디? (b) 반지름은? (c) 넓이는? — 으로 나눠 각각을 쉽게 만듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)을 안전망으로 써서 $r^2 = 5$ 만 만족하는 선택지를 골라 답을 못 박습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

도형을 좌표 평면 위에 올리고 대칭을 이용해 중심을 잡습니다.
$+$ 모양이 좌우·상하 대칭이므로 내접 가능한 가장 큰 원의 중심도 이 대칭 중심과 같아야 합니다.
가로는 $x = 0$ 부터 $x = 6$, 세로는 $y = 1$ 부터 $y = 7$ 까지 뻗어 있으므로 대칭의 중심은 $C = \left(\tfrac{0+6}{2},\, \tfrac{1+7}{2}\right) = (3,\,4)$ 입니다.

$$C = (3,\, 4)$$

💡 격자에 좌표축을 세우고 중점을 읽어내는 것은 5학년 좌표평면 기초 그대로입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 2

중심 $C$ 에 가장 가까운 경계 점들을 찾습니다.
대칭을 이용하면 $C$ 와 가장 가까운 "안쪽으로 꺾인" 꼭짓점은 $(5,5)$, $(4,6)$, $(2,6)$, $(1,5)$ (그리고 아래쪽 대칭점들) 입니다.
이 오목한 꼭짓점들이 바깥쪽 평평한 변보다 원을 더 빠듯하게 조이므로, 반지름은 이 점들 중 하나로 결정됩니다.

$C$ 근처의 안쪽 꼭짓점: $(5,5),\ (4,6),\ (2,6),\ (1,5),\ \ldots$

💡 격자 위 좌표를 그대로 읽는 것은 5학년 좌표 표기 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

반지름은 중심 $C = (3,4)$ 에서 가장 가까운 꼭짓점, 예를 들어 $P = (5,5)$ 까지의 거리입니다.
이 점은 $C$ 에서 가로로 $2$ 칸, 세로로 $1$ 칸 떨어져 있어 두 변의 길이가 $2$ 와 $1$ 인 직각삼각형의 빗변이 곧 $CP$ 입니다.
피타고라스 정리에 의해 $r^2 = 2^2 + 1^2 = 5$ 이므로 $r = \sqrt{5}$ cm 입니다.
또 다른 꼭짓점 $Q = (4,6)$ 으로 확인해도 $r^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ 로 똑같이 나옵니다 — 대칭이 보장해 주는 결과입니다.

$$r = \sqrt{(5-3)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

💡 두 좌표점 사이의 거리를 $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 로 구하는 것은 8학년 피타고라스 거리 공식 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.NS.A.2 단계 4

$r = \sqrt{5}$ 가 정말 최댓값인지 확인합니다.
중심 $C$ 에서 바깥쪽 평평한 변까지의 거리는 예를 들어 $x = 6$ 까지 $6 - 3 = 3$ 인데, $\sqrt{5} \approx 2.24 < 3$ 이므로 바깥 변은 원을 제한하지 않습니다.
안쪽 꼭짓점 $8$ 개(위쪽 $4$ 개, 아래쪽 $4$ 개)는 모두 $C$ 로부터 같은 거리 $\sqrt{5}$ 에 있으므로 가장 큰 원은 이 $8$ 점에 동시에 접합니다.

$\sqrt{5} \approx 2.236 < 3$ (바깥 변까지의 거리)

💡 무리수 $\sqrt{5}$ 를 정수 $3$ 과 비교하는 것은 8학년 무리수의 유리수 근사 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 7.G.B.4 단계 5

원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 을 적용합니다.
$(\sqrt{5})^2 = 5$ 이므로 넓이는 정확히 $5\pi$ 제곱센티미터, 즉 선택지 (C) 입니다.
도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 일치하는 것이 (C) 뿐임을 확인할 수 있습니다.

$$A = \pi r^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 반지름을 $A = \pi r^2$ 에 대입해 원의 넓이를 구하는 것은 7학년 원의 넓이 공식 그대로입니다.

[1] #1 5.G.A.1 도형을 좌표 평면 위에 올리고 대칭을 이용해 중심을 잡습니다. $+$ 모양이 좌우·상하 대칭이므로 내접 가능한 가장 큰 원의 중심도 이 대칭 중

[2] #1 5.G.A.1 중심 $C$ 에 가장 가까운 경계 점들을 찾습니다. 대칭을 이용하면 $C$ 와 가장 가까운 "안쪽으로 꺾인" 꼭짓점은 $(5,5)$, $(4,6

[3] #7 8.G.B.8 반지름은 중심 $C = (3,4)$ 에서 가장 가까운 꼭짓점, 예를 들어 $P = (5,5)$ 까지의 거리입니다. 이 점은 $C$ 에서 가로로

[4] #7 8.NS.A.2 $r = \sqrt{5}$ 가 정말 최댓값인지 확인합니다. 중심 $C$ 에서 바깥쪽 평평한 변까지의 거리는 예를 들어 $x = 6$ 까지 $6

[5] #3 7.G.B.4 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 을 적용합니다. $(\sqrt{5})^2 = 5$ 이므로 넓이는 정확히 $5\pi$ 제곱센티미터, 즉

검토

합리성 확인: 도형 전체 넓이는 단위 정사각형 $24$ 개분, 즉 $24$ 제곱센티미터입니다. 우리가 구한 원의 넓이 $5\pi \approx 15.7$ 은 $24$ 보다 충분히 작으면서도, 가운데 $2\times 2$ 블록에만 내접하는 원의 넓이 $\pi \approx 3.14$ 보다는 훨씬 크니 크기 감각이 맞습니다. 반지름 $\sqrt{5} \approx 2.24$ 도 합리적입니다 — 중심 주변으로 가로·세로 $3$ 칸씩 뚫려 있으니 반지름 $2.24$ 짜리 원이 안쪽 오목 꼭짓점에 살짝 닿으며 들어가는 그림이 정확히 그려집니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 정공법으로 사용해도 됩니다. 각 선택지가 곧 후보 $r^2$ 입니다: $r^2 = 3, 4, 5, 6, 8$, 즉 $r \approx 1.73,\ 2.00,\ 2.24,\ 2.45,\ 2.83$. 반지름 $2$ 짜리 원은 안쪽 꼭짓점과 사이가 떠서 더 키울 수 있고, 반지름 $\geq 2.45$ 짜리 원은 그 꼭짓점들로 삐져나갑니다(꼭짓점까지 거리가 $\sqrt{5} \approx 2.24$ 이기 때문). 그래서 안쪽 꼭짓점에 정확히 닿는 후보는 $r^2 = 5$, 곧 $5\pi$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.1 서로 수직인 두 수직선으로 좌표 체계 구성하기 ($+$ 모양 도형을 좌표 평면 위에 올려 $x \in [0,6]$, $y \in [1,7]$ 범위를 읽고, 대칭 중심 $C = (3,4)$ 와 $(5,5),\ (4,6)$ 같은 안쪽 꼭짓점 좌표들을 식별하는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하기 위한 피타고라스 정리 적용 (중심 $(3,4)$ 에서 가장 가까운 경계 꼭짓점 $(5,5)$ 까지의 거리 $r = \sqrt{(5-3)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{5}$ 를 구하는 데 사용.)
8.NS.A.2 무리수를 유리수로 근사하여 크기 비교하기 ($\sqrt{5} \approx 2.24 < 3$ 임을 확인해, 바깥 변이 아니라 안쪽 꼭짓점이 원의 반지름을 제한함을 보이는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 둘레와 넓이 공식 알기 ($A = \pi r^2$ 에 $r = \sqrt{5}$ 를 대입하여 원의 넓이 $5\pi$ 제곱센티미터를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "피타고라스 정리로 두 점 사이 거리 구하기" 와 7학년 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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