AMC 8 · 2025 · #19

학년 6 rate-ratio

ratefraction-arithmeticlinear-equations-one-varinterval-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: ratefraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

두 마을 $A$ 와 $B$ 는 길이가 $15$ 마일인 직선 도로로 연결되어 있습니다. 마을 $A$ 에서 마을 $B$ 로 향할 때, 제한 속도는 매 $5$ 마일마다 바뀌어 $25$ , $40$ , $20$ 마일/시 (mph) 순으로 변합니다. 마을 $A$ 에 있는 자동차와 마을 $B$ 에 있는 자동차가 동시에 서로를 향해 출발합니다. 두 차는 각 구간에서 정확히 제한 속도로 달립니다. 두 차가 만나는 지점은 마을 $A$ 로부터 몇 마일 떨어져 있습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

7.75

(B)

(C)

8.25

(D)

8.5

(E)

8.75

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $A$ 마을과 $B$ 마을을 잇는 $15$ 마일 직선 도로가 $5$ 마일짜리 세 구간으로 나뉘어 있고, $A$ 에서 $B$ 방향으로 제한 속도가 차례로 $25$ mph, $40$ mph, $20$ mph 입니다. 두 자동차가 동시에 출발해 한 대는 $A$ 에서 $B$ 쪽으로, 다른 한 대는 $B$ 에서 $A$ 쪽으로 달리며, 각자 자기가 지나는 구간의 제한 속도와 정확히 같은 속도로 갑니다. 두 차가 만나는 지점은 $A$ 마을에서 몇 마일 떨어진 곳일까요?

주어진 것: 도로 총 길이 $= 15$ 마일, $5$ 마일씩 세 구간으로 분할; $A \to B$ 방향 제한 속도: $25$ mph, $40$ mph, $20$ mph; 두 차는 동시에 출발해서 서로를 향해 달림; 각 차는 자기가 지나는 구간의 제한 속도와 같은 속도로 달림; 선택지(마을 $A$ 로부터의 거리, 마일): (A) $7.75$, (B) $8$, (C) $8.25$, (D) $8.5$, (E) $8.75$

구하는 것: 두 차가 만나는 지점이 $A$ 마을로부터 몇 마일 떨어져 있는지

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

거리·속력·시간이 얽힌 전형적인 비율 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)을 중심에 두고, 모든 수에 "마일", "시간", "mph" 단위표를 붙여 가며 $\text{시간} = \text{거리} \div \text{속력}$ 으로 단위를 정리합니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 도로를 $5$ 마일짜리 세 구간으로 그리고 구간별 속력과 두 차의 출발 화살표를 적어 두면, 구간이 바뀔 때마다 속력이 달라지는 점을 눈으로 추적할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 으로 여정을 두 단계 — (1) 더 빠른 차가 첫 구간을 통과하고 두 차 모두 가운데 구간에 들어가기 전까지, (2) 두 차가 모두 $40$ mph 인 가운데 구간에서 마주 보고 달리는 마지막 추격전 — 로 나누면 큰 대수 방정식 없이도 깔끔하게 풀립니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.MD.A.2 단계 1

먼저 도로를 그리고 $A$ 차 기준으로 구간별 속력을 적습니다.
$0$~$5$ 마일은 $25$ mph, $5$~$10$ 마일은 $40$ mph, $10$~$15$ 마일은 $20$ mph 입니다.
$A$ 차는 $0$ 마일 지점에서 오른쪽으로, $B$ 차는 $15$ 마일 지점에서 왼쪽으로 출발합니다.
제한 속도는 도로(구간)가 정하는 것이므로 $B$ 차가 처음 통과하는 $15 \to 10$ 구간은 $20$ mph, 다음 $10 \to 5$ 구간은 $40$ mph, 마지막 $5 \to 0$ 구간은 $25$ mph 입니다.

$$A: 0 \xrightarrow{25} 5 \xrightarrow{40} 10 \xrightarrow{20} 15 \quad ;\quad B: 15 \xrightarrow{20} 10 \xrightarrow{40} 5 \xrightarrow{25} 0$$

💡 구간별 속력이 적힌 도로 그림은 거리·시간 문장제를 손가락으로 짚으며 풀 수 있게 해 주는 4학년 단계의 표현입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 2

두 차가 각자의 첫 $5$ 마일 구간을 통과하는 데 걸리는 시간을 $\text{시간} = \text{거리} \div \text{속력}$ 으로 구합니다.
단위를 함께 적어 두면 마일 $\div$ mph 가 깔끔하게 "시간" 으로 떨어집니다.

$$T_{A,1} = \dfrac{5 \text{ 마일}}{25 \text{ mph}} = \dfrac{1}{5} \text{ 시간} \qquad T_{B,1} = \dfrac{5 \text{ 마일}}{20 \text{ mph}} = \dfrac{1}{4} \text{ 시간}$$

💡 "마일" 을 "마일/시간" 으로 나누면 "마일" 이 약분되고 "시간" 만 남는 — 단위가 답을 안내해 주는 장면입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

$\tfrac{1}{5} < \tfrac{1}{4}$ 이므로 $A$ 차가 먼저 가운데 구간(두 번째 구간)에 들어갑니다.
따라서 $B$ 차가 첫 구간을 막 끝낸 시각 $t = \tfrac{1}{4}$ 시간에는, $A$ 차가 이미 $5$ 마일 지점을 지나 가운데 구간 어딘가에 와 있습니다.
만남은 $t = \tfrac{1}{4}$ 시간 이후, 가운데 구간 안에서 일어납니다.

$$\tfrac{1}{5} = 0.20 \text{ 시간} \;<\; \tfrac{1}{4} = 0.25 \text{ 시간}$$

💡 분모가 다른 $\tfrac{1}{5}$ 와 $\tfrac{1}{4}$ 의 대소 비교는 5학년 분수 비교의 기본 동작입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NF.A.1 단계 4

$t = \tfrac{1}{4}$ 시간 시점의 $A$ 차 위치를 구합니다.
$A$ 차는 첫 $5$ 마일을 $\tfrac{1}{5}$ 시간 동안 달렸으니, 가운데 구간($40$ mph)에서 보낸 시간은 $\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{20} - \tfrac{4}{20} = \tfrac{1}{20}$ 시간입니다.
이 동안 $40 \times \tfrac{1}{20} = 2$ 마일을 더 갔으므로, $A$ 차는 $5 + 2 = 7$ 마일 지점에 있습니다.

$$t = \tfrac{1}{4} \text{ 시간일 때 } A \text{ 차 위치}: \; 5 + 40 \times \tfrac{1}{20} = 5 + 2 = 7 \text{ 마일}$$

💡 $\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{5}$ 은 분모가 다른 분수 뺄셈(5학년), 거기에 $40$ mph $\times$ 시간으로 곧장 "마일" 이 나오는 것은 단위 추론입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

이제 두 차 모두 가운데 구간에서 $40$ mph 로 달리고, $A$ 차는 $7$ 마일, $B$ 차는 $10$ 마일 지점에 있으니 간격은 $3$ 마일입니다.
마주 보고 달리는 두 차는 각자의 속력의 "합" 만큼 간격을 줄이므로, 접근 속도는 $40 + 40 = 80$ mph 입니다.
남은 시간은 $\tfrac{3 \text{ 마일}}{80 \text{ mph}} = \tfrac{3}{80}$ 시간입니다.

$$t_{\text{만남}} = \dfrac{3 \text{ 마일}}{(40 + 40) \text{ mph}} = \dfrac{3}{80} \text{ 시간}$$

💡 두 차의 속도를 더해 "한 시간에 줄어드는 간격(mph)" 으로 보는 것은 6학년 비율·단위율 추론의 핵심입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 6

그 $\tfrac{3}{80}$ 시간 동안 $A$ 차는 $40 \times \tfrac{3}{80} = \tfrac{120}{80} = 1.5$ 마일을 더 갑니다.
따라서 만나는 지점은 $7 + 1.5 = 8.5$ 마일이고, $5 < 8.5 < 10$ 이므로 정말 가운데 구간 안이라는 가정과도 맞습니다.
답은 (D).

$$\text{만나는 지점} = 7 + 40 \times \tfrac{3}{80} = 7 + 1.5 = 8.5 \text{ 마일} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $7 + 1.5 = 8.5$ 와 같은 소수의 덧셈은 5학년 "소수점 둘째 자리까지의 사칙연산" 그대로입니다.

[1] #1 4.MD.A.2 먼저 도로를 그리고 $A$ 차 기준으로 구간별 속력을 적습니다. $0$~$5$ 마일은 $25$ mph, $5$~$10$ 마일은 $40$ mph,

[2] #8 4.MD.A.2 두 차가 각자의 첫 $5$ 마일 구간을 통과하는 데 걸리는 시간을 $\text{시간} = \text{거리} \div \text{속력}$ 으로 구

[3] #7 5.NF.A.1 $\tfrac{1}{5} < \tfrac{1}{4}$ 이므로 $A$ 차가 먼저 가운데 구간(두 번째 구간)에 들어갑니다. 따라서 $B$ 차가 첫

[4] #8 5.NF.A.1 $t = \tfrac{1}{4}$ 시간 시점의 $A$ 차 위치를 구합니다. $A$ 차는 첫 $5$ 마일을 $\tfrac{1}{5}$ 시간 동안

[5] #8 6.RP.A.3 이제 두 차 모두 가운데 구간에서 $40$ mph 로 달리고, $A$ 차는 $7$ 마일, $B$ 차는 $10$ 마일 지점에 있으니 간격은 $3$

[6] #8 5.NBT.B.7 그 $\tfrac{3}{80}$ 시간 동안 $A$ 차는 $40 \times \tfrac{3}{80} = \tfrac{120}{80} = 1.5$

검토

합리성 확인: 직관 검증: 만약 두 차의 구간별 속도가 같은 순서로 같았다면 정확히 도로의 한가운데 $7.5$ 마일에서 만났을 것입니다. 그런데 $A$ 차의 첫 구간 속도($25$ mph)가 $B$ 차의 첫 구간 속도($20$ mph)보다 빠르므로, $A$ 차가 절반 이상을 가야 만납니다 — 즉 답은 $7.5$ 보다 큽니다. $8.5$ 는 $7.5$ 보다 크고, 여전히 가운데 구간($5$~$10$) 안에 있으므로 그림과도 일치합니다. 시간으로도 교차 검증해 보면, $A$ 차가 $8.5$ 마일까지 가는 데 걸리는 시간은 $\tfrac{5}{25} + \tfrac{3.5}{40} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{7}{80} = \tfrac{16}{80} + \tfrac{7}{80} = \tfrac{23}{80}$ 시간, $B$ 차가 마을 $B$ 에서 같은 $8.5$ 마일 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 $\tfrac{5}{20} + \tfrac{1.5}{40} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{80} = \tfrac{20}{80} + \tfrac{3}{80} = \tfrac{23}{80}$ 시간 — 정확히 같으므로 확인 완료.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 만남 지점이 마을 $A$ 로부터 $d$ 마일이라 하고, 만남이 가운데 구간에 있으므로 두 차의 이동 시간을 같다고 놓습니다. $\tfrac{5}{25} + \tfrac{d-5}{40} = \tfrac{5}{20} + \tfrac{10-d}{40}$. 양변에 $40$ 을 곱하면 $8 + (d-5) = 10 + (10-d)$, 즉 $d + 3 = 20 - d$ 가 되어 $2d = 17$, $d = 8.5$. 같은 답이지만, 위의 비율 추론 풀이는 마지막 순간까지 분수 한 줄도 거의 쓰지 않고 풀린다는 점이 다릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (도로 그림을 그리고 각 차의 첫 $5$ 마일 구간에 $\text{시간} = \text{거리} \div \text{속력}$ 을 적용해 $T_{A,1} = \tfrac{1}{5}$ 시간, $T_{B,1} = \tfrac{1}{4}$ 시간을 구하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{5}$ 와 $\tfrac{1}{4}$ 의 대소 비교, 그리고 $\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{20}$ 시간($A$ 차가 $B$ 차보다 일찍 가운데 구간에 들어가 있는 시간) 계산에 사용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (마지막 만남 지점 $7 + 1.5 = 8.5$ 마일을 선택지 형식의 소수로 표현하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (두 차의 속도를 더해 접근 속도 $80$ mph 를 만들고, $3$ 마일 간격을 $80$ mph 로 나누어 남은 시간 $\tfrac{3}{80}$ 시간을 구하는 — 이 문제의 핵심 비율 추론에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "마주 보고 달리는 두 차는 속도의 합만큼 거리가 줄어든다" 는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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