AMC 8 · 2025 · #6

학년 4 number-theory

multiplesmodular-arithmeticdivisibility-rules systematic-enumerationmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

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문제

세쿠는 $15, 16, 17, 18, 19$ 의 다섯 수를 적었습니다. 그가 이 중 한 수를 지우자 남은 네 수의 합이 $4$ 의 배수가 되었습니다. 그가 지운 수는 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세쿠가 다섯 개의 연속된 수 $15, 16, 17, 18, 19$ 를 적었습니다. 이 중 하나를 지우자, 남은 네 수의 합이 $4$ 의 배수가 되었습니다. 세쿠가 지운 수는 무엇일까요?

주어진 것: 처음 적은 다섯 수: $15, 16, 17, 18, 19$; 지운 수는 정확히 하나; 남은 네 수의 합은 $4$ 의 배수; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $19$

구하는 것: 다섯 수 중 지워진 수

이해

주어진 것: 처음 적은 다섯 수: $15, 16, 17, 18, 19$; 지운 수는 정확히 하나; 남은 네 수의 합은 $4$ 의 배수; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $19$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

후보가 선택지 다섯 개뿐인 전형적인 객관식 문제입니다. 이런 상황은 도구 #3(가능성 지우기) 가 가장 잘 맞습니다 — 각 선택지를 "남은 네 수의 합이 $4$ 의 배수가 되는가?" 라는 규칙에 대입해 보고, 살아남는 하나를 답으로 고르면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 계산을 깔끔하게 해 줍니다. 전체 합을 한 번만 구한 뒤 "$85 - $ 각 후보" 를 순서대로 적어두면 빠뜨리거나 중복 셈할 일이 없습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 모듈러 연산은 일부러 피했습니다 — 풀리긴 하지만, 이 문제는 4학년 수준의 덧셈과 배수 판별만으로 충분하다는 게 우리 풀이의 핵심입니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 1

다섯 수의 합을 먼저 한 번에 구합니다.
양 끝부터 짝지어 더하면 계산이 쉽습니다: $(15+19) + (16+18) + 17 = 34 + 34 + 17 = 85$.

$$15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85$$

💡 두 자리 수 다섯 개를 더하는 일은 4학년 "여러 자리 수를 능숙하게 덧셈·뺄셈" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 2

지운 수를 $x$ 라 하면 남은 수의 합은 $85 - x$ 입니다.
각 선택지에 대해 $85 - x$ 값을 빠짐없이 순서대로 나열해 둡니다.

$$\begin{aligned} \text{(A) } 85-15 &= 70 \\ \text{(B) } 85-16 &= 69 \\ \text{(C) } 85-17 &= 68 \\ \text{(D) } 85-18 &= 67 \\ \text{(E) } 85-19 &= 66 \end{aligned}$$

💡 순서대로 다섯 번 뺄셈해 두면 빠뜨리는 후보가 없습니다 — 역시 4학년 덧셈·뺄셈 수준.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

이제 각 후보의 "남은 합" 이 $4$ 의 배수인지 확인하며 하나씩 지워 나갑니다.
$70 = 4 \times 17 + 2$ (아님), $69$ 는 홀수 (아님), $68 = 4 \times 17$ (맞음), $67$ 은 홀수 (아님), $66 = 4 \times 16 + 2$ (아님).
살아남는 선택지는 (C) 뿐입니다.

$$68 = 4 \times 17 \;\checkmark \qquad 70, 69, 67, 66 \text{ 은 } 4 \text{ 의 배수가 아님}$$

💡 어떤 수가 $4$ 의 배수인지 살피는 것은 4학년 "배수와 약수" 단원 그대로입니다 — $4$ 씩 뛰어 세거나, 나누어 나머지가 $0$ 인지 확인하면 됩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

남은 합이 $4$ 의 배수가 되는 후보는 $17$ 하나뿐입니다.
따라서 세쿠가 지운 수는 $17$, 답은 (C) 입니다.

$$\text{지운 수} = 17 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 모든 검사에서 단 하나만 살아남으면, 그것이 답이라는 게 도구 #3 의 핵심입니다.

[1] #2 4.NBT.B.4 다섯 수의 합을 먼저 한 번에 구합니다. 양 끝부터 짝지어 더하면 계산이 쉽습니다: $(15+19) + (16+18) + 17 = 34 + 34

[2] #2 4.NBT.B.4 지운 수를 $x$ 라 하면 남은 수의 합은 $85 - x$ 입니다. 각 선택지에 대해 $85 - x$ 값을 빠짐없이 순서대로 나열해 둡니다.

[3] #3 4.OA.B.4 이제 각 후보의 "남은 합" 이 $4$ 의 배수인지 확인하며 하나씩 지워 나갑니다. $70 = 4 \times 17 + 2$ (아님), $69$

[4] #3 4.OA.B.4 남은 합이 $4$ 의 배수가 되는 후보는 $17$ 하나뿐입니다. 따라서 세쿠가 지운 수는 $17$, 답은 (C) 입니다.

검토

합리성 확인: 검산해 보면 $68 \div 4 = 17$ 로 나누어떨어지므로 $68$ 은 확실히 $4$ 의 배수이고, $17$ 을 지운 풀이가 맞습니다. 한 가지 더 — $85$ 를 $4$ 로 나눈 나머지는 $1$ 이고, $15, 16, 17, 18, 19$ 중에서도 $4$ 로 나눈 나머지가 $1$ 인 수는 $17$ 하나뿐입니다. 이 "유일함" 덕분에 문제의 답이 하나로 정해지는 것이지요.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 더 빠르게 머릿속에서 풀 수도 있습니다. 다섯 수를 각각 $4$ 로 나눈 나머지만 적어 봅니다: $15\to3,\; 16\to0,\; 17\to1,\; 18\to2,\; 19\to3$. 나머지의 합은 $3+0+1+2+3 = 9$ 이고, $9$ 를 $4$ 로 나눈 나머지는 $1$. 그러므로 지워야 할 수의 나머지도 $1$ 이어야 하고, 그런 수는 $17$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($15+16+17+18+19 = 85$ 를 구하고, 각 후보를 $85$ 에서 빼서 다섯 가지 "남은 합" 을 만드는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍과 배수를 찾고, 소수·합성수를 판별 (다섯 개의 남은 합 $70, 69, 68, 67, 66$ 중 어떤 것이 $4$ 의 배수인지 판별 — 이 한 가지 규칙이 답을 결정.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 덧셈과 "$4$ 의 배수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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