← Sensim Lab Sensim Math

Sensim Math Original · sm-8

SM Original 학년 4 number-theorycounting
영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #16
유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility
divisibility-rulesmultiplesarea-rectangles optimization-countingcomplementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorsmultiplesdivisibility-rules
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →

문제

플로리스트 유나는 4949개의 화분 난초에 11부터 4949까지의 번호표를 한 번씩 붙인 뒤, 가로 77칸 · 세로 77칸짜리 온실 진열대에 한 칸에 하나씩 모두 올려 놓습니다. 각 가로줄(행) 77개와 각 세로줄(열) 77개에 대해, 그 줄에 놓인 77개 난초의 번호를 모두 곱한 값을 생각합니다. 어떤 줄의 곱이 77의 배수가 아닐 때 그 줄을 행운의 줄이라고 부르기로 합시다. 유나가 난초를 잘 배치했을 때, 행운의 줄(행 + 열)은 최대 몇 개까지 만들 수 있습니까?

(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10\textbf{(A) } 6\qquad\textbf{(B) } 7\qquad\textbf{(C) } 8\qquad\textbf{(D) } 9\qquad\textbf{(E) } 10

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
7
(C)
8
(D)
9
(E)
10
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유나가 번호표 $1$부터 $49$까지를 한 번씩 사용해 $7 \times 7$ 온실 진열대의 $49$개 화분에 붙입니다. 각 가로줄과 각 세로줄에 놓인 $7$개 화분의 번호를 모두 곱한 값이 $7$의 배수가 **아닐** 때 그 줄을 **행운의 줄**이라고 합니다. 가능한 모든 배치 중에서 행운의 줄(행 + 열)의 개수의 **최댓값**을 구합니다.

주어진 것: 가로 $7$칸 · 세로 $7$칸짜리 진열대(총 $49$칸)에 한 칸당 화분 하나씩; 번호표 $1, 2, 3, \ldots, 49$를 각각 한 번씩 모두 사용; 행 $7$개와 열 $7$개, 따라서 줄은 모두 $14$개; 선택지: (A) 6, (B) 7, (C) 8, (D) 9, (E) 10

구하는 것: $7$의 배수가 아닌 곱을 가지는 행과 열의 개수의 합의 **최댓값**

이해

문제 재정리: 유나가 번호표 $1$부터 $49$까지를 한 번씩 사용해 $7 \times 7$ 온실 진열대의 $49$개 화분에 붙입니다. 각 가로줄과 각 세로줄에 놓인 $7$개 화분의 번호를 모두 곱한 값이 $7$의 배수가 **아닐** 때 그 줄을 **행운의 줄**이라고 합니다. 가능한 모든 배치 중에서 행운의 줄(행 + 열)의 개수의 **최댓값**을 구합니다.

주어진 것: 가로 $7$칸 · 세로 $7$칸짜리 진열대(총 $49$칸)에 한 칸당 화분 하나씩; 번호표 $1, 2, 3, \ldots, 49$를 각각 한 번씩 모두 사용; 행 $7$개와 열 $7$개, 따라서 줄은 모두 $14$개; 선택지: (A) 6, (B) 7, (C) 8, (D) 9, (E) 10

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기

행운의 줄을 직접 세는 것보다, 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합)으로 "행운의 줄 = $7$의 배수를 하나도 포함하지 않는 줄"임에 주목해 문제를 뒤집습니다. 즉 **행운의 줄을 최대로** 만드는 것은 **$7$의 배수가 들어 있는 행과 열을 최소로** 만드는 것과 같습니다. 그렇게 하면 "$7$의 배수 $7$개를 가장 작은 직사각형 안에 몰아 넣자"는 단순한 문제로 바뀝니다. 다음으로 도구 #9로 "$r, c \le 7$, $r \times c \ge 7$ 일 때 $r + c$의 최솟값을 찾아라"로 축소하고, 도구 #2로 후보 $(r, c)$를 빠짐없이 나열하며, 도구 #6으로 작은 합부터 시험합니다. 대수(도구 #13)는 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 / 여집합 4.OA.B.4 단계 1
  • 먼저 핵심 약수 사실부터: 여러 자연수의 곱이 $7$의 배수가 되는 것은 그 수들 중 **적어도 하나가 $7$의 배수**일 때 그리고 그때뿐입니다.
  • 그러니 어떤 줄이 행운의 줄이 되는 것은 그 줄에 놓인 $7$개의 번호표 중 $7$의 배수가 **하나도 없을** 때입니다.
  • 그래서 도구 #16(여집합)으로 "행운의 줄을 최대화" 대신 "$7$의 배수가 들어 있는 줄을 최소화"로 바꿉니다.
  • $7$의 배수가 들어 있는 행이 $r$개, 열이 $c$개라면 행운의 줄은 $(7 - r) + (7 - c) = 14 - (r + c)$개이므로, $r + c$를 가장 작게 만들면 됩니다.
$$\text{행운의 줄 수} = (7 - r) + (7 - c) = 14 - (r + c)$$

💡 4학년 약수·배수 개념에서, 곱이 어떤 소수의 배수가 되려면 인수 중 하나가 그 소수여야 합니다 — 그 사실을 뒤집어 깨끗한 줄을 세는 것이 여집합 관점입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.C.7 단계 2
  • 다음으로 $1$부터 $49$까지에서 $7$의 배수의 개수를 셉니다.
  • $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$이고 가장 큰 것이 $49 = 7 \times 7$이므로 그 개수는 $49 \div 7 = 7$입니다.
  • 따라서 진열대 $49$칸 중 정확히 $7$칸에 $7$의 배수인 번호표가 놓이게 됩니다.
$$1 \sim 49 \text{ 의 } 7\text{의 배수 개수} = 49 \div 7 = 7$$

💡 $49 \div 7 = 7$ 은 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈에 익숙해지는 3학년 단원 내용입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.MD.C.7 단계 3
  • 이제 더 쉬운 모양으로 줄입니다(도구 #9).
  • $7$의 배수 $7$개가 들어 있는 "행"의 개수를 $r$, "열"의 개수를 $c$라 하면, $7$개 칸은 모두 그 $r$개 행과 $c$개 열이 만드는 **$r \times c$ 직사각형** 안에 들어 있어야 합니다.
  • 그러므로 그 직사각형의 칸 수는 $r \times c \ge 7$이어야 합니다.
  • 또 진열대가 $7 \times 7$이라 $1 \le r, c \le 7$입니다.
  • 결국 "$r, c \le 7$인 자연수에 대해 $r \times c \ge 7$ 이면서 $r + c$의 최솟값"을 구하면 됩니다.
$$r \times c \ge 7,\quad 1 \le r, c \le 7,\quad \text{최소 } r + c = ?$$

💡 $r$개 행과 $c$개 열이 만드는 격자가 $r \times c$ 칸이라는 것은 3학년 "직사각형의 넓이 = 가로 × 세로" 개념입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 4
  • 작은 합부터 도구 #6 (추측하고 확인)으로 시도합니다.
  • 먼저 $r + c = 5$일 때 $r \times c$의 최대값은 두 수가 가까울수록 크니까 $(2, 3)$일 때 $2 \times 3 = 6 < 7$, $(1, 4)$일 때 $4 < 7$입니다.
  • 따라서 $r + c = 5$로는 $7$개의 칸을 담을 수 없으므로 **불가능**합니다.
$$r + c = 5 \;\Rightarrow\; \max(r \times c) = 2 \times 3 = 6 < 7$$

💡 $2 \times 3 = 6$을 $7$과 비교하는 단순 곱셈은 3학년 수준에서 바로 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5
  • 다음으로 $r + c = 6$일 때 가능한 $(r, c)$ 쌍을 **빠짐없이 나열**합니다(도구 #2): $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$.
  • 각각의 곱은 $5, 8, 9, 8, 5$이고, 이 중 곱이 $7$ 이상인 쌍은 $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$입니다.
  • 그러니 $r + c = 6$은 **실제로 가능**합니다 — 예를 들어 진열대의 어느 $3 \times 3$ 부분 격자($9 \ge 7$ 칸)에 $7$의 배수 $7$개를 모두 몰아 놓고, 나머지 $42$칸에 $7$의 배수가 아닌 $42$개의 번호표를 채우면 됩니다.
$$r + c = 6:\ (2, 4) \to 8,\ (3, 3) \to 9,\ (4, 2) \to 8 \;\ge\; 7\ \checkmark$$

💡 합이 $6$이 되는 자연수 쌍을 모두 적어 각각의 곱을 $7$과 비교해 가능한 배치를 가려내는 것은 4학년 다단계 문제 해결입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 6
  • 정리하면 $\min(r + c) = 6$이므로 행운의 줄의 최대 개수는 $14 - 6 = 8$입니다.
  • 이는 선택지 (C)에 해당합니다.
  • 다른 선택지를 보면 (A) $6 = 14 - 8$과 (B) $7 = 14 - 7$은 $r + c \ge 7$이 필요한데 우리는 이미 $6$을 달성했으므로 답이 아니고, (D) $9$와 (E) $10$은 $r + c \le 5$가 필요한데 4단계에서 불가능함을 보였습니다.
  • 따라서 유일한 답은 (C) $8$입니다.
$$\text{최대 행운의 줄 수} = 14 - \min(r + c) = 14 - 6 = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 최소 "오염된 줄 수"를 $14$에서 빼는 4학년 사칙연산 추론으로 답이 결정됩니다.

[1] #16 4.OA.B.4 먼저 핵심 약수 사실부터: 여러 자연수의 곱이 $7$의 배수가 되는 것은 그 수들 중 **적어도 하나가 $7$의 배수**일 때 그리고 그때뿐입니
[2] #9 3.OA.C.7 다음으로 $1$부터 $49$까지에서 $7$의 배수의 개수를 셉니다. $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$이고 가장 큰 것이 $49
[3] #9 3.MD.C.7 이제 더 쉬운 모양으로 줄입니다(도구 #9). $7$의 배수 $7$개가 들어 있는 "행"의 개수를 $r$, "열"의 개수를 $c$라 하면, $7
[4] #6 3.OA.C.7 작은 합부터 도구 #6 (추측하고 확인)으로 시도합니다. 먼저 $r + c = 5$일 때 $r \times c$의 최대값은 두 수가 가까울수록
[5] #2 4.OA.A.3 다음으로 $r + c = 6$일 때 가능한 $(r, c)$ 쌍을 **빠짐없이 나열**합니다(도구 #2): $(1, 5), (2, 4), (3,
[6] #6 4.OA.A.3 정리하면 $\min(r + c) = 6$이므로 행운의 줄의 최대 개수는 $14 - 6 = 8$입니다. 이는 선택지 (C)에 해당합니다. 다른 선

검토

합리성 확인: 구한 답 $8$의 합리성을 확인합시다. 진열대에는 $7 + 7 = 14$개의 줄이 있으므로 답은 $0$과 $14$ 사이여야 하고, $8$은 그 안에 잘 들어갑니다. 위로는, $7$의 배수 $7$개는 적어도 $\lceil 7 / 7 \rceil = 1$개의 행과 $1$개의 열을 차지해야 하므로 오염된 줄이 적어도 $1 + 1 = 2$, 즉 행운의 줄은 많아야 $14 - 2 = 12$입니다. 아래로는 $7$의 배수 $7$개를 $3 \times 3$ 모서리 부분 격자에 몰아 놓으면 오염된 줄이 정확히 $6$개라서 행운의 줄은 $4 + 4 = 8$개로 떨어지므로 $8$이 실제로 도달 가능한 값입니다. 즉 $8$은 위 한계 $12$ 아래에 있고 실제로 달성도 되므로 **진짜 최댓값**입니다. 구체적인 예시: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$를 행 $1$~$3$ · 열 $1$~$3$이 만드는 $3 \times 3$ 블록의 어느 $7$칸에 넣고, 나머지 $42$칸에는 $7$의 배수가 아닌 $42$개의 번호표를 임의로 채우면 됩니다.

대안 접근: 여집합으로 뒤집지 않고 도구 #2(빠짐없이 나열하기)만으로도 풀 수 있습니다. $r + c$를 $14$부터 $0$까지 차례로 시험해 각 경우에 $r \times c$가 $7$ 이상인 $(r, c)$ 쌍이 있는지 표로 정리하면 결국 같은 부등식 $r \times c \ge 7$과 같은 최소 $r + c = 6$에 도달해 답 $14 - 6 = 8$을 얻습니다. 다만 도구 #16으로 시작하면 처음부터 "무엇을 최소화해야 하는지"가 분명해져 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 ($49 \div 7 = 7$로 $1$~$49$ 안의 $7$의 배수 개수를 세고, $2 \times 3 = 6$, $3 \times 3 = 9$ 같은 곱셈을 빠르게 확인하는 데 사용.)
  • 3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결한다 ($r$개의 행과 $c$개의 열이 만드는 직사각형 부분 격자의 칸 수가 $r \times c$ 라는 것을 인식하는 데 사용.)
  • 4.OA.B.4 약수의 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하며 소수·합성수를 판별한다 ("곱이 $7$의 배수가 되려면 인수 중 하나가 $7$의 배수여야 한다"는 약수·배수 사실과 $1$~$49$ 안의 $7$의 배수 $7$개를 식별하는 데 사용.)
  • 4.OA.A.3 사칙 연산을 사용해 여러 단계의 문장제를 푼다 (작은 합부터 $(r, c)$ 쌍을 나열·비교하고, 여집합으로 $14 - \min(r + c)$를 계산해 답을 결정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수·배수와 여러 단계 문제 해결만 알면 풀려요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수·배수와 여러 단계 문제 해결만 알면 풀려요!

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.