AMC 10 · 2023 · #10

쉬운 모드 학년 4

문제

$3 \times 3$ 정사각형 격자를 떠올려 봅시다. 이 격자 어딘가에 $2 \times 1$ 직사각형이 숨겨져 있어요. 변을 맞대고 있는 두 칸을 덮고 있는데, 좌우로 나란히 놓여 있을 수도 있고 위아래로 놓여 있을 수도 있습니다. 어디에 숨어 있는지는 알 수 없어요.

여러분의 목표는, 이 직사각형이 덮고 있는 두 칸 중 적어도 한 칸을 찾아내는 것입니다.

게임 방식은 이렇습니다. 한 번의 턴마다 칸 하나를 고릅니다. 그러면 그 칸이 덮인 두 칸 중 하나인지 아닌지를 알려줍니다. 덮인 칸을 맞출 때까지 이 과정을 반복해요.

직사각형이 어디에 숨어 있든 반드시 성공하는 방법을 찾고 싶습니다. 덮인 칸을 반드시 맞히려면 최소 몇 번의 턴이 필요할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자 안 어딘가에 $2 \times 1$ 도미노 한 개가 인접한 두 칸을 숨긴 채 덮고 있습니다. 한 턴마다 칸을 하나 지목하면 그 칸이 덮였는지 알려줍니다. 도미노가 어디에 놓이든 덮인 칸 하나는 반드시 찾도록 보장하려면 최소 몇 턴이 필요한가요?

주어진 것: 격자는 $3 \times 3$ (모두 9 칸); 숨겨진 도미노는 $2 \times 1$, 변을 공유하는 두 칸을 덮음 (가로 또는 세로); 한 턴에 한 칸씩 지목, 그 칸의 덮임 여부만 알려줌; 목표: 도미노가 어떤 위치에 있어도 반드시 한 칸은 맞추기; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $6$

구하는 것: 확실한 명중을 보장하는 최소 턴 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

도구 #1(그림 그리기) 가 길잡이 — $3 \times 3$ 격자를 체커보드처럼 색칠합니다 (왼쪽 위 모서리 흰색). 흰색 $5$ 칸, 검은색 $4$ 칸이 되고, 도미노는 인접한 두 칸을 덮으니 항상 흰색 $1$ + 검은색 $1$. 이 한 가지 관찰이 위 한계를 줍니다 — 검은 $4$ 칸을 모두 지목하면 도미노의 두 칸 중 하나는 반드시 맞춤. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 짝이 되는 아래 한계를 줍니다 — "몇 번 지목하면 맞추나?" 가 아니라 "몇 칸을 지목 안 한 채로 둘 수 있나?" 로 바꿔 묻기. 지목 안 한 칸들에는 인접한 한 쌍이 없어야 하고, $3 \times 3$ 격자에서 이런 "인접 없음" 집합 중 가장 큰 것이 정확히 $5$ 칸의 흰색 집합. 따라서 최대 $5$ 칸을 안 지목할 수 있고, 그러면 최소 $9 - 5 = 4$ 칸을 지목해야 함. 도구 #6(추측·확인) 은 작은 전략들의 검산. 대수는 필요 없고, 그림+여집합 세기가 결정적입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 2.G.A.2 단계 1

$3 \times 3$ 격자를 그리고 왼쪽 위가 흰색이 되도록 체커보드 칠을 합니다.
색깔별 칸 개수를 셉니다.
흰색은 $5$ 칸 (네 모서리 + 가운데), 검은색은 $4$ 칸 (네 변의 중간).

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline W & B & W \\ \hline B & W & B \\ \hline W & B & W \\ \hline \end{array} \quad \text{개수: } 5 \text{ 흰}, \; 4 \text{ 검}$$

💡 직사각형을 같은 크기 칸의 행·열로 나누어 각 색을 세는 것 — 2학년 격자 분할.

#1 그림 그리기 K.G.B.4 단계 2

체커보드에서 변을 공유하는 두 칸은 늘 반대 색입니다.
도미노는 인접한 두 칸을 덮으니, 어디에 놓이든 흰 $1$ + 검 $1$ 의 구성.

$$\text{도미노} = (\text{흰 한 칸}) + (\text{검 한 칸})$$

💡 체커보드의 인접한 두 칸을 비교 — 유치원 도형 비교 수준.

#6 추측하고 확인하기 K.G.B.6 단계 3

전략: 검은색 $4$ 칸을 모두 지목.
도미노가 반드시 검은 칸을 한 개 포함하므로 네 턴 중 한 번은 명중.
따라서 $4$ 턴이면 충분.

$$\text{검은 } 4 \text{ 칸을 모두 지목} \;\Rightarrow\; \text{명중 보장}$$

💡 두 색 중 더 작은 쪽을 골라 지목 집합으로 — 유치원 모음·고르기.

#16 관점 바꾸기 4.OA.C.5 단계 4

$3$ 턴으로는 부족함을 확인.
$3$ 칸만 지목하면 $6$ 칸이 지목 안 됩니다.
보장이 성립하려면 그 $6$ 칸 안에 인접한 쌍이 없어야 (있으면 도미노가 그 쌍 위에 숨을 수 있음).
$3 \times 3$ 격자에서 어떤 두 칸도 인접하지 않는 가장 큰 집합은 $5$ 칸의 흰색 집합.
따라서 지목 안 한 칸은 최대 $5$ 개, 즉 지목한 칸은 최소 $9 - 5 = 4$ 개.

$$\text{지목 안 함} \le 5 \;\Rightarrow\; \text{지목 함} \ge 9 - 5 = 4$$

💡 지목 안 한 칸 (여집합) 을 세는 관점으로 바꾸면 아래 한계가 나옴 — 4학년 도형 패턴 (최대 비인접 집합) 생성.

#6 추측하고 확인하기 1.OA.A.1 단계 5

결합.
3 단계에서 $4$ 턴으로 충분, 4 단계에서 $3$ 턴으로는 부족.
따라서 최소 턴 수는 $4$.

$$\text{최소 턴 수} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "충분" 과 "부족" 을 결합해 최소를 확정 — 1학년 문장제 추론.

[1] #1 2.G.A.2 $3 \times 3$ 격자를 그리고 왼쪽 위가 흰색이 되도록 체커보드 칠을 합니다. 색깔별 칸 개수를 셉니다. 흰색은 $5$ 칸 (네 모서리

[2] #1 K.G.B.4 체커보드에서 변을 공유하는 두 칸은 늘 반대 색입니다. 도미노는 인접한 두 칸을 덮으니, 어디에 놓이든 흰 $1$ + 검 $1$ 의 구성.

[3] #6 K.G.B.6 전략: 검은색 $4$ 칸을 모두 지목. 도미노가 반드시 검은 칸을 한 개 포함하므로 네 턴 중 한 번은 명중. 따라서 $4$ 턴이면 충분.

[4] #16 4.OA.C.5 $3$ 턴으로는 부족함을 확인. $3$ 칸만 지목하면 $6$ 칸이 지목 안 됩니다. 보장이 성립하려면 그 $6$ 칸 안에 인접한 쌍이 없어야 (

[5] #6 1.OA.A.1 결합. 3 단계에서 $4$ 턴으로 충분, 4 단계에서 $3$ 턴으로는 부족. 따라서 최소 턴 수는 $4$.

검토

합리성 확인: 세 가지 확인. (1) 전략 정합: 가능한 도미노 위치 모두 ($6$ 가로 + $6$ 세로 = $12$ 가지) 를 적어보고 각 위치가 검은 칸을 적어도 한 개 포함함을 확인 — 위 한계 전략이 실제로 작동. (2) 아래 한계 확인: 모서리 셋 $(1,1), (1,3), (3,1)$ 을 지목해 보면 지목 안 한 집합 $\{(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)\}$ 안에 인접한 쌍 $(2,2), (2,3)$ 이 있으니 그 자리에 가로 도미노가 숨어 명중 실패. 즉 $3$ 으로는 정말 부족. (3) 오답 식별: (A) $3$ 은 가장 자연스러운 너무 작은 추측 (위에서 반박), (B) $5$ 는 흰 집합 전략 — 작동하지만 낭비, (D) $8$, (E) $6$ 은 체커보드 색 통찰을 무시한 과다 계산.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $3 \times 3$ 격자에서 가능한 도미노 위치 $12$ 개를 모두 적고, 모든 위치를 만나는 최소 칸 집합을 찾는 무차별 탐색. $4$ 칸 (네 변 중간) 으로 가능하고 $3$ 칸으로는 어떤 집합도 모두 만나지 못함을 확인. 같은 답이지만 체커보드 색칠보다 손이 더 많이 갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.G.A.2 직사각형을 같은 크기 정사각형의 행과 열로 나누기 ($3 \times 3$ 격자를 그리고 체커보드 색칠을 적용해 흰·검 칸 수를 셈.)
K.G.B.4 2 차원·3 차원 도형 분석·비교 (변을 공유하는 두 칸의 체커보드 색이 늘 반대임을 관찰 — 기본 같음/다름 비교.)
K.G.B.6 단순한 도형을 합쳐 더 큰 도형 만들기 (도미노가 반드시 만나는 색인 검은 $4$ 칸 집합을 지목 집합으로 선택.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (격자에서 인접하지 않은 칸의 최대 집합 (흰 $5$ 칸) 패턴을 식별해 지목 안 한 집합의 크기를 제한.)
1.OA.A.1 $20$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (두 한계를 결합 — $4$ 턴으로 충분하고 최소 $4$ 턴이 필요하므로 최소는 $4$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 격자 패턴만 알면 풀 수 있어요 — $3 \times 3$ 칸을 체커보드처럼 칠하면 흰 $5$, 검 $4$ 가 되고 어떤 $2 \times 1$ 도미노도 양쪽 색을 한 칸씩 덮으니, 검은 $4$ 칸을 모두 부르면 반드시 맞추고 $3$ 번으로는 절대 부족합니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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