AMC 10 · 2023 · #10

학년 4 geometry-2d

parity-coloringspatial-visualizationsystematic-enumerationcomplementary-counting parity-coloringcomplementary-countingcasework ↑ 선수 지식: parity-coloringspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

You are playing a game. A $2 \times 1$ rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a $3 \times 3$ grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A "turn" consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자 안 어딘가에 $2 \times 1$ 도미노 한 개가 인접한 두 칸을 숨긴 채 덮고 있습니다. 한 턴마다 칸을 하나 지목하면 그 칸이 덮였는지 알려줍니다. 도미노가 어디에 놓이든 덮인 칸 하나는 반드시 찾도록 보장하려면 최소 몇 턴이 필요한가요?

주어진 것: 격자는 $3 \times 3$ (모두 9 칸); 숨겨진 도미노는 $2 \times 1$, 변을 공유하는 두 칸을 덮음 (가로 또는 세로); 한 턴에 한 칸씩 지목, 그 칸의 덮임 여부만 알려줌; 목표: 도미노가 어떤 위치에 있어도 반드시 한 칸은 맞추기; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $6$

구하는 것: 확실한 명중을 보장하는 최소 턴 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

도구 #1(그림 그리기) 가 길잡이 — $3 \times 3$ 격자를 체커보드처럼 색칠합니다 (왼쪽 위 모서리 흰색). 흰색 $5$ 칸, 검은색 $4$ 칸이 되고, 도미노는 인접한 두 칸을 덮으니 항상 흰색 $1$ + 검은색 $1$. 이 한 가지 관찰이 위 한계를 줍니다 — 검은 $4$ 칸을 모두 지목하면 도미노의 두 칸 중 하나는 반드시 맞춤. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 짝이 되는 아래 한계를 줍니다 — "몇 번 지목하면 맞추나?" 가 아니라 "몇 칸을 지목 안 한 채로 둘 수 있나?" 로 바꿔 묻기. 지목 안 한 칸들에는 인접한 한 쌍이 없어야 하고, $3 \times 3$ 격자에서 이런 "인접 없음" 집합 중 가장 큰 것이 정확히 $5$ 칸의 흰색 집합. 따라서 최대 $5$ 칸을 안 지목할 수 있고, 그러면 최소 $9 - 5 = 4$ 칸을 지목해야 함. 도구 #6(추측·확인) 은 작은 전략들의 검산. 대수는 필요 없고, 그림+여집합 세기가 결정적입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 2.G.A.2 단계 1

$3 \times 3$ 격자를 그리고 왼쪽 위가 흰색이 되도록 체커보드 칠을 합니다.
색깔별 칸 개수를 셉니다.
흰색은 $5$ 칸 (네 모서리 + 가운데), 검은색은 $4$ 칸 (네 변의 중간).

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline W & B & W \\ \hline B & W & B \\ \hline W & B & W \\ \hline \end{array} \quad \text{개수: } 5 \text{ 흰}, \; 4 \text{ 검}$$

💡 직사각형을 같은 크기 칸의 행·열로 나누어 각 색을 세는 것 — 2학년 격자 분할.

#1 그림 그리기 K.G.B.4 단계 2

체커보드에서 변을 공유하는 두 칸은 늘 반대 색입니다.
도미노는 인접한 두 칸을 덮으니, 어디에 놓이든 흰 $1$ + 검 $1$ 의 구성.

$$\text{도미노} = (\text{흰 한 칸}) + (\text{검 한 칸})$$

💡 체커보드의 인접한 두 칸을 비교 — 유치원 도형 비교 수준.

#6 추측하고 확인하기 K.G.B.6 단계 3

전략: 검은색 $4$ 칸을 모두 지목.
도미노가 반드시 검은 칸을 한 개 포함하므로 네 턴 중 한 번은 명중.
따라서 $4$ 턴이면 충분.

$$\text{검은 } 4 \text{ 칸을 모두 지목} \;\Rightarrow\; \text{명중 보장}$$

💡 두 색 중 더 작은 쪽을 골라 지목 집합으로 — 유치원 모음·고르기.

#16 관점 바꾸기 4.OA.C.5 단계 4

$3$ 턴으로는 부족함을 확인.
$3$ 칸만 지목하면 $6$ 칸이 지목 안 됩니다.
보장이 성립하려면 그 $6$ 칸 안에 인접한 쌍이 없어야 (있으면 도미노가 그 쌍 위에 숨을 수 있음).
$3 \times 3$ 격자에서 어떤 두 칸도 인접하지 않는 가장 큰 집합은 $5$ 칸의 흰색 집합.
따라서 지목 안 한 칸은 최대 $5$ 개, 즉 지목한 칸은 최소 $9 - 5 = 4$ 개.

$$\text{지목 안 함} \le 5 \;\Rightarrow\; \text{지목 함} \ge 9 - 5 = 4$$

💡 지목 안 한 칸 (여집합) 을 세는 관점으로 바꾸면 아래 한계가 나옴 — 4학년 도형 패턴 (최대 비인접 집합) 생성.

#6 추측하고 확인하기 1.OA.A.1 단계 5

결합.
3 단계에서 $4$ 턴으로 충분, 4 단계에서 $3$ 턴으로는 부족.
따라서 최소 턴 수는 $4$.

$$\text{최소 턴 수} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "충분" 과 "부족" 을 결합해 최소를 확정 — 1학년 문장제 추론.

[1] #1 2.G.A.2 $3 \times 3$ 격자를 그리고 왼쪽 위가 흰색이 되도록 체커보드 칠을 합니다. 색깔별 칸 개수를 셉니다. 흰색은 $5$ 칸 (네 모서리

[2] #1 K.G.B.4 체커보드에서 변을 공유하는 두 칸은 늘 반대 색입니다. 도미노는 인접한 두 칸을 덮으니, 어디에 놓이든 흰 $1$ + 검 $1$ 의 구성.

[3] #6 K.G.B.6 전략: 검은색 $4$ 칸을 모두 지목. 도미노가 반드시 검은 칸을 한 개 포함하므로 네 턴 중 한 번은 명중. 따라서 $4$ 턴이면 충분.

[4] #16 4.OA.C.5 $3$ 턴으로는 부족함을 확인. $3$ 칸만 지목하면 $6$ 칸이 지목 안 됩니다. 보장이 성립하려면 그 $6$ 칸 안에 인접한 쌍이 없어야 (

[5] #6 1.OA.A.1 결합. 3 단계에서 $4$ 턴으로 충분, 4 단계에서 $3$ 턴으로는 부족. 따라서 최소 턴 수는 $4$.

검토

합리성 확인: 세 가지 확인. (1) 전략 정합: 가능한 도미노 위치 모두 ($6$ 가로 + $6$ 세로 = $12$ 가지) 를 적어보고 각 위치가 검은 칸을 적어도 한 개 포함함을 확인 — 위 한계 전략이 실제로 작동. (2) 아래 한계 확인: 모서리 셋 $(1,1), (1,3), (3,1)$ 을 지목해 보면 지목 안 한 집합 $\{(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)\}$ 안에 인접한 쌍 $(2,2), (2,3)$ 이 있으니 그 자리에 가로 도미노가 숨어 명중 실패. 즉 $3$ 으로는 정말 부족. (3) 오답 식별: (A) $3$ 은 가장 자연스러운 너무 작은 추측 (위에서 반박), (B) $5$ 는 흰 집합 전략 — 작동하지만 낭비, (D) $8$, (E) $6$ 은 체커보드 색 통찰을 무시한 과다 계산.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $3 \times 3$ 격자에서 가능한 도미노 위치 $12$ 개를 모두 적고, 모든 위치를 만나는 최소 칸 집합을 찾는 무차별 탐색. $4$ 칸 (네 변 중간) 으로 가능하고 $3$ 칸으로는 어떤 집합도 모두 만나지 못함을 확인. 같은 답이지만 체커보드 색칠보다 손이 더 많이 갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.G.A.2 직사각형을 같은 크기 정사각형의 행과 열로 나누기 ($3 \times 3$ 격자를 그리고 체커보드 색칠을 적용해 흰·검 칸 수를 셈.)
K.G.B.4 2 차원·3 차원 도형 분석·비교 (변을 공유하는 두 칸의 체커보드 색이 늘 반대임을 관찰 — 기본 같음/다름 비교.)
K.G.B.6 단순한 도형을 합쳐 더 큰 도형 만들기 (도미노가 반드시 만나는 색인 검은 $4$ 칸 집합을 지목 집합으로 선택.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (격자에서 인접하지 않은 칸의 최대 집합 (흰 $5$ 칸) 패턴을 식별해 지목 안 한 집합의 크기를 제한.)
1.OA.A.1 $20$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (두 한계를 결합 — $4$ 턴으로 충분하고 최소 $4$ 턴이 필요하므로 최소는 $4$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 격자 패턴만 알면 풀 수 있어요 — $3 \times 3$ 칸을 체커보드처럼 칠하면 흰 $5$, 검 $4$ 가 되고 어떤 $2 \times 1$ 도미노도 양쪽 색을 한 칸씩 덮으니, 검은 $4$ 칸을 모두 부르면 반드시 맞추고 $3$ 번으로는 절대 부족합니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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