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AMC 8 · 2002 · #11

쉬운 모드 학년 4
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문제

똑같이 생긴 정사각형 타일이 잔뜩 있다고 생각해봅시다. 이 타일들로 점점 더 큰 정사각형을 차례로 만들어 갑니다.

첫 번째 정사각형은 한 변에 타일이 1장 들어갑니다. 두 번째 정사각형은 한 변에 2장, 세 번째 정사각형은 한 변에 3장 — 이런 식으로 늘어납니다. 매번 다음 정사각형은 바로 앞 정사각형보다 한 변이 타일 한 장씩 더 길어요.

(아래 그림이 첫 세 정사각형을 보여줍니다.)

이렇게 만든 정사각형 중에서 6번째 정사각형과 7번째 정사각형을 생각해봅시다. 7번째 정사각형은 6번째 정사각형보다 타일이 몇 장 더 들어갈까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
11
(B)
12
(C)
13
(D)
14
(E)
15
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 타일로 정사각형들을 차례로 만듭니다. 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 깁니다. $7$ 번째 정사각형은 $6$ 번째 정사각형보다 타일이 몇 개 더 필요한가요?

주어진 것: 정사각형들은 같은 크기의 단위 타일로 빈틈 없이 채워져 있다; 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 길다; 그림에서 처음 세 정사각형의 한 변은 각각 $1$, $2$, $3$ 이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: $(7\text{번째 정사각형의 타일 수}) - (6\text{번째 정사각형의 타일 수})$

이해

문제 재정리: 단위 타일로 정사각형들을 차례로 만듭니다. 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 깁니다. $7$ 번째 정사각형은 $6$ 번째 정사각형보다 타일이 몇 개 더 필요한가요?

주어진 것: 정사각형들은 같은 크기의 단위 타일로 빈틈 없이 채워져 있다; 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 길다; 그림에서 처음 세 정사각형의 한 변은 각각 $1$, $2$, $3$ 이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

그림이 이미 처음 세 경우를 보여 주고 있어요. 이건 도구 #5(패턴 찾기)의 신호입니다 — 작은 정사각형들의 타일 수를 직접 세어 규칙을 찾으면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 패턴을 믿을 수 있게 만드는 안전장치예요. $n = 1, 2, 3$ 처럼 눈으로 셀 수 있는 작은 경우에서 규칙을 확인한 뒤에 큰 경우에 적용합니다. "$n$ 번째 정사각형은 $n^2$ 개의 타일" 규칙이 잡히면, $6$ 번째와 $7$ 번째 차이는 뺄셈 한 번으로 끝나요. 대수가 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.MD.C.7 단계 1
  • 그림에 나온 작은 경우들의 타일 수를 셉니다.
  • 첫 번째 정사각형은 $1 \times 1$, 두 번째는 $2 \times 2$, 세 번째는 $3 \times 3$ 입니다.
$$1\text{번째}: 1 \text{ 개}, \quad 2\text{번째}: 4 \text{ 개}, \quad 3\text{번째}: 9 \text{ 개}$$

💡 한 변이 $n$ 인 정사각형의 단위 타일 수를 세는 것은 3학년 "타일로 넓이 구하기 = 한 변 $\times$ 한 변" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2
  • $1, 4, 9$ 라는 수의 정체를 봅니다.
  • 각각 $1^2, 2^2, 3^2$ 이므로 $n$ 번째 정사각형의 타일 수는 $n^2$ 입니다.
  • 한 번 더 확인해 봅시다 — $4$ 번째 정사각형은 $4 \times 4 = 16$ 개일 텐데, 실제로 위에 한 줄, 오른쪽에 한 줄 더한 모양과 일치합니다.
$$n\text{번째 정사각형의 타일 수} = n^2$$

💡 맞아떨어지는 작은 경우 세 개에 확인용 네 번째까지 더해지면 규칙을 믿어도 됩니다 — 이게 4학년 "패턴을 만들고 분석하기" 활동입니다.

#5 패턴 찾기 3.MD.C.7 단계 3

규칙을 $6$ 번째와 $7$ 번째에 적용합니다.

$$6\text{번째}: 6^2 = 36, \quad 7\text{번째}: 7^2 = 49$$

💡 한 변만 더 큰 같은 그림 — 여전히 "한 변 $\times$ 한 변".

#5 패턴 찾기 3.OA.D.8 단계 4

차이를 구해 필요한 추가 타일 수를 얻습니다.

$$49 - 36 = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "몇 개 더" 는 3학년의 비교 빼기입니다.

[1] #9 3.MD.C.7 그림에 나온 작은 경우들의 타일 수를 셉니다. 첫 번째 정사각형은 $1 \times 1$, 두 번째는 $2 \times 2$, 세 번째는 $3
[2] #5 4.OA.C.5 $1, 4, 9$ 라는 수의 정체를 봅니다. 각각 $1^2, 2^2, 3^2$ 이므로 $n$ 번째 정사각형의 타일 수는 $n^2$ 입니다. 한
[3] #5 3.MD.C.7 규칙을 $6$ 번째와 $7$ 번째에 적용합니다.
[4] #5 3.OA.D.8 차이를 구해 필요한 추가 타일 수를 얻습니다.

검토

합리성 확인: $6$ 번째에서 $7$ 번째 정사각형으로 키우는 그림으로 확인해 봅시다. $6 \times 6$ 정사각형($36$ 개)에서 시작해서 위쪽에 $7$ 개, 오른쪽에 $7$ 개의 타일을 새로 붙입니다. 오른쪽 위 모서리 한 칸은 두 번 세지지 않도록 한 번 빼주면 추가 타일 수는 $7 + 7 - 1 = 13$ 개로 $49 - 36 = 13$ 과 일치합니다. 또한 연속된 정사각형들의 타일 수 차이는 $4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, \ldots$ 로 홀수 수열이므로 $6$ 번째에서 $7$ 번째로 가는 차이는 $6$ 번째 홀수 $= 2 \cdot 6 + 1 = 13$. 같은 답 (C).

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $6 \times 6$ 격자 위에 $7 \times 7$ 로 키우는 ㄱ자 테두리를 그려 보세요. 위쪽 한 줄 $7$ 개와 오른쪽 한 줄 $7$ 개에서 겹치는 모서리 한 칸을 한 번만 세면 $7 + 7 - 1 = 13$ 개. 제곱 계산 없이도 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하고, 직사각형의 넓이를 타일로 또는 한 변 $\times$ 한 변으로 구하기 (각 정사각형의 타일 수를 $n \times n$ 으로 세는 데 사용: 처음 세 정사각형은 $1, 4, 9$, $6$ 번째와 $7$ 번째는 $36, 49$.)
  • 3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (마지막에 "몇 개 더" 비교를 $49 - 36 = 13$ 으로 계산하는 데 사용.)
  • 4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형의 패턴을 만들고 분석하기 ($1, 4, 9$ 를 $1^2, 2^2, 3^2$ 으로 읽고, "$n$ 번째 정사각형 $= n^2$" 규칙을 $n = 6, 7$ 까지 확장하는 데 사용.)

⭐ 작은 경우($1, 4, 9$)를 세어 "정사각수" 규칙을 찾고, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ 으로 빼면 답 (C).

⭐ 작은 경우($1, 4, 9$)를 세어 "정사각수" 규칙을 찾고, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ 으로 빼면 답 (C).

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