AMC 8 · 2004 · #15

학년 4 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases

pattern-recognitionsystematic-enumerationspatial-visualization pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticspatial-visualization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

Thirteen black and six white hexagonal tiles were used to create the figure below. If a new figure is created by attaching a border of white tiles with the same size and shape as the others, what will be the difference between the total number of white tiles and the total number of black tiles in the new figure?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 검은 육각형 타일 $13$ 개와 흰 육각형 타일 $6$ 개로 만들어진 그림이 있습니다. 같은 크기·모양의 흰 육각형 타일로 한 겹의 테두리를 둘러 새 그림을 만듭니다. 새 그림에서 (흰 타일 전체 수) $-$ (검은 타일 전체 수) 는 얼마일까요?

주어진 것: 원래 그림: 검은 타일 $13$ 개, 흰 타일 $6$ 개; 그림은 가운데 검은 타일 한 개를 흰 타일 한 겹이 둘러싸고, 그 바깥을 다시 검은 타일 한 겹이 둘러싼 모양이다; 현재 바깥 가장자리 둘레로 흰 육각형 한 겹이 더 추가된다; 모든 육각형은 크기와 모양이 같다; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $18$

구하는 것: 새 테두리를 두른 뒤 (흰 타일 전체 수) $-$ (검은 타일 전체 수) 의 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

그림은 가운데 타일을 중심으로 동심 육각형 겹들로 이루어져 있어요. 새 테두리는 그 다음 겹일 뿐이에요. 겹별 타일 수가 $6, 12, \ldots$ 처럼 매번 $6$ 씩 늘어나는 것을 알아채면 다음 겹은 $18$ 개로 정해지므로 도구 #5(패턴 찾기)가 주도구입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 겹의 개수와 색을 작은 표에 정리하면 "새로 추가된 흰 타일, 그대로인 검은 타일" 이 한눈에 보여 마지막 뺄셈이 깔끔하게 떨어집니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

원래 그림의 겹 구조를 파악합니다.
육각형 타일 배열은 가운데 한 개와 그 둘레의 동심 겹들로 나뉘므로, 각 겹의 타일 수와 색을 적어 문제에 주어진 합과 맞춰 봅니다.

$\begin{array}{l|c|c} \text{겹} & \text{타일 수} & \text{색}\\\hline \text{중앙} & 1 & \text{검정}\\ \text{1겹} & 6 & \text{흰색}\\ \text{2겹} & 12 & \text{검정} \end{array}$ \;검정 $= 1+12 = 13$, 흰색 $= 6$ \;(문제와 일치)

💡 4학년 "규칙으로 수·도형 패턴 만들기" 는 구조를 먼저 읽어내는 데서 시작합니다. 겹들을 작은 표로 정리하면 다음 단계가 자동입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

겹 크기의 패턴을 읽습니다.
$1$겹은 $6$ 개, $2$겹은 $12$ 개입니다.
증가량이 $+6, +6, \ldots$ — 육각형 가운데에 새 겹이 하나 더해질 때마다 타일이 $6$ 개씩 늘어납니다.
따라서 $3$겹은 $12 + 6 = 18$ 개입니다.

$6, \;12, \;18, \;\ldots \;\;(\text{$n$ 겹은 } 6n \text{ 개}) \;\Rightarrow\; \text{3겹} = 18$

💡 4학년 "패턴의 분명한 특징 찾기" 그대로입니다. 규칙이 "한 겹마다 $+6$" 이므로 그림을 다시 그리지 않아도 다음 겹이 $18$ 개임을 알 수 있어요.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 3

색별 합계를 갱신합니다.
새 테두리는 $3$겹이고 문제에서 그 타일들이 모두 흰색이라고 했습니다.
검은 타일은 손대지 않습니다.

$\text{검정} = 13 \;\;(\text{변화 없음})$, $\;\text{흰색} = 6 + 18 = 24$

💡 3학년 "두 단계 문장제" 답게 색깔별로 따로 셈하고, 문제에 필요한 것만 묶어 비교합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 4

질문대로 (흰색 전체) $-$ (검정 전체) 를 계산합니다.

$$24 - 13 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 3학년 뺄셈 한 줄로 문제가 마무리됩니다 — 패턴이 어려운 일을 다 해 줬어요.

[1] #2 4.OA.C.5 원래 그림의 겹 구조를 파악합니다. 육각형 타일 배열은 가운데 한 개와 그 둘레의 동심 겹들로 나뉘므로, 각 겹의 타일 수와 색을 적어 문제에

[2] #5 4.OA.C.5 겹 크기의 패턴을 읽습니다. $1$겹은 $6$ 개, $2$겹은 $12$ 개입니다. 증가량이 $+6, +6, \ldots$ — 육각형 가운데에 새

[3] #2 3.OA.D.8 색별 합계를 갱신합니다. 새 테두리는 $3$겹이고 문제에서 그 타일들이 모두 흰색이라고 했습니다. 검은 타일은 손대지 않습니다.

[4] #2 3.OA.D.8 질문대로 (흰색 전체) $-$ (검정 전체) 를 계산합니다.

검토

합리성 확인: 다른 방식으로 확인해 봅니다. 테두리까지 더한 전체 타일 수는 $1 + 6 + 12 + 18 = 37$. 그 중 $13$ 개가 검정이므로 흰색은 $37 - 13 = 24$ 개, 차는 $24 - 13 = 11$ — 답 (C) 와 같습니다. 오답 점검: 새 흰 타일이 $18$ 개 추가되고 검은 타일은 늘지 않았으니 차이는 원래 $6 - 13 = -7$ 에서 $+18$ 만큼 움직여 $+11$ 이 되어야 합니다. 그래서 (A) $5$, (B) $7$ 은 너무 작고, (E) $18$ 은 새 겹의 크기일 뿐 차이가 아닙니다. (D) $12$ 가 되려면 흰 타일이 $6$ 개만 더 필요한데 새 겹은 $18$ 개이므로 맞지 않습니다. 결과적으로 (C) 만 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 흰 테두리를 더해도 검은 타일 수는 변하지 않아요. 그래서 (흰 $-$ 검정) 의 차이는 새로 들어온 흰 타일 수만큼 변합니다. 원래 차이는 $6 - 13 = -7$, 흰 타일 $18$ 개가 더해지면 $-7 + 18 = 11$. 같은 답 (C), 단 한 줄의 계산으로 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (새 흰 타일을 원래 흰 타일에 더하고 검은 타일을 빼서 (흰색) $-$ (검정) 의 답을 구하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 그 특징을 찾기 (겹별 타일 수 $6, 12, 18, \ldots$ 의 "한 겹마다 $+6$" 규칙을 읽어 새 테두리가 $18$ 개임을 예측하는 데 사용.)

⭐ 육각형 새 겹은 매번 정확히 $6$ 개씩 늘어요 — 규칙만 알면 새 테두리 크기는 저절로 정해지고, 남은 건 뺄셈 한 줄뿐이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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