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AMC 8 · 2004 · #15

쉬운 모드 학년 4
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문제

육각형 타일로 만든 도형이 있다고 생각해 봅시다. (아래 그림을 보세요.) 검은 타일이 1313개, 흰 타일이 66개 있어요.

이제 이 도형의 바깥쪽에 테두리를 한 줄 더 둘러요. 테두리는 새로운 흰 타일로 만드는데, 크기와 모양은 원래 타일과 똑같아요. 테두리는 빈틈 없이 도형을 한 바퀴 감쌉니다.

테두리를 두른 다음, 새 도형에서 흰 타일과 검은 타일의 개수를 세어 보세요. 두 개수의 차이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
7
(C)
11
(D)
12
(E)
18
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 검은 육각형 타일 $13$ 개와 흰 육각형 타일 $6$ 개로 만들어진 그림이 있습니다. 같은 크기·모양의 흰 육각형 타일로 한 겹의 테두리를 둘러 새 그림을 만듭니다. 새 그림에서 (흰 타일 전체 수) $-$ (검은 타일 전체 수) 는 얼마일까요?

주어진 것: 원래 그림: 검은 타일 $13$ 개, 흰 타일 $6$ 개; 그림은 가운데 검은 타일 한 개를 흰 타일 한 겹이 둘러싸고, 그 바깥을 다시 검은 타일 한 겹이 둘러싼 모양이다; 현재 바깥 가장자리 둘레로 흰 육각형 한 겹이 더 추가된다; 모든 육각형은 크기와 모양이 같다; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $18$

구하는 것: 새 테두리를 두른 뒤 (흰 타일 전체 수) $-$ (검은 타일 전체 수) 의 값

이해

문제 재정리: 검은 육각형 타일 $13$ 개와 흰 육각형 타일 $6$ 개로 만들어진 그림이 있습니다. 같은 크기·모양의 흰 육각형 타일로 한 겹의 테두리를 둘러 새 그림을 만듭니다. 새 그림에서 (흰 타일 전체 수) $-$ (검은 타일 전체 수) 는 얼마일까요?

주어진 것: 원래 그림: 검은 타일 $13$ 개, 흰 타일 $6$ 개; 그림은 가운데 검은 타일 한 개를 흰 타일 한 겹이 둘러싸고, 그 바깥을 다시 검은 타일 한 겹이 둘러싼 모양이다; 현재 바깥 가장자리 둘레로 흰 육각형 한 겹이 더 추가된다; 모든 육각형은 크기와 모양이 같다; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $18$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

그림은 가운데 타일을 중심으로 동심 육각형 겹들로 이루어져 있어요. 새 테두리는 그 다음 겹일 뿐이에요. 겹별 타일 수가 $6, 12, \ldots$ 처럼 매번 $6$ 씩 늘어나는 것을 알아채면 다음 겹은 $18$ 개로 정해지므로 도구 #5(패턴 찾기)가 주도구입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 겹의 개수와 색을 작은 표에 정리하면 "새로 추가된 흰 타일, 그대로인 검은 타일" 이 한눈에 보여 마지막 뺄셈이 깔끔하게 떨어집니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1
  • 원래 그림의 겹 구조를 파악합니다.
  • 육각형 타일 배열은 가운데 한 개와 그 둘레의 동심 겹들로 나뉘므로, 각 겹의 타일 수와 색을 적어 문제에 주어진 합과 맞춰 봅니다.
$\begin{array}{l|c|c} \text{겹} & \text{타일 수} & \text{색}\\\hline \text{중앙} & 1 & \text{검정}\\ \text{1겹} & 6 & \text{흰색}\\ \text{2겹} & 12 & \text{검정} \end{array}$ \;검정 $= 1+12 = 13$, 흰색 $= 6$ \;(문제와 일치)

💡 4학년 "규칙으로 수·도형 패턴 만들기" 는 구조를 먼저 읽어내는 데서 시작합니다. 겹들을 작은 표로 정리하면 다음 단계가 자동입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2
  • 겹 크기의 패턴을 읽습니다.
  • $1$겹은 $6$ 개, $2$겹은 $12$ 개입니다.
  • 증가량이 $+6, +6, \ldots$ — 육각형 가운데에 새 겹이 하나 더해질 때마다 타일이 $6$ 개씩 늘어납니다.
  • 따라서 $3$겹은 $12 + 6 = 18$ 개입니다.
$6, \;12, \;18, \;\ldots \;\;(\text{$n$ 겹은 } 6n \text{ 개}) \;\Rightarrow\; \text{3겹} = 18$

💡 4학년 "패턴의 분명한 특징 찾기" 그대로입니다. 규칙이 "한 겹마다 $+6$" 이므로 그림을 다시 그리지 않아도 다음 겹이 $18$ 개임을 알 수 있어요.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 3
  • 색별 합계를 갱신합니다.
  • 새 테두리는 $3$겹이고 문제에서 그 타일들이 모두 흰색이라고 했습니다.
  • 검은 타일은 손대지 않습니다.
$\text{검정} = 13 \;\;(\text{변화 없음})$, $\;\text{흰색} = 6 + 18 = 24$

💡 3학년 "두 단계 문장제" 답게 색깔별로 따로 셈하고, 문제에 필요한 것만 묶어 비교합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 4

질문대로 (흰색 전체) $-$ (검정 전체) 를 계산합니다.

$$24 - 13 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 3학년 뺄셈 한 줄로 문제가 마무리됩니다 — 패턴이 어려운 일을 다 해 줬어요.

[1] #2 4.OA.C.5 원래 그림의 겹 구조를 파악합니다. 육각형 타일 배열은 가운데 한 개와 그 둘레의 동심 겹들로 나뉘므로, 각 겹의 타일 수와 색을 적어 문제에
[2] #5 4.OA.C.5 겹 크기의 패턴을 읽습니다. $1$겹은 $6$ 개, $2$겹은 $12$ 개입니다. 증가량이 $+6, +6, \ldots$ — 육각형 가운데에 새
[3] #2 3.OA.D.8 색별 합계를 갱신합니다. 새 테두리는 $3$겹이고 문제에서 그 타일들이 모두 흰색이라고 했습니다. 검은 타일은 손대지 않습니다.
[4] #2 3.OA.D.8 질문대로 (흰색 전체) $-$ (검정 전체) 를 계산합니다.

검토

합리성 확인: 다른 방식으로 확인해 봅니다. 테두리까지 더한 전체 타일 수는 $1 + 6 + 12 + 18 = 37$. 그 중 $13$ 개가 검정이므로 흰색은 $37 - 13 = 24$ 개, 차는 $24 - 13 = 11$ — 답 (C) 와 같습니다. 오답 점검: 새 흰 타일이 $18$ 개 추가되고 검은 타일은 늘지 않았으니 차이는 원래 $6 - 13 = -7$ 에서 $+18$ 만큼 움직여 $+11$ 이 되어야 합니다. 그래서 (A) $5$, (B) $7$ 은 너무 작고, (E) $18$ 은 새 겹의 크기일 뿐 차이가 아닙니다. (D) $12$ 가 되려면 흰 타일이 $6$ 개만 더 필요한데 새 겹은 $18$ 개이므로 맞지 않습니다. 결과적으로 (C) 만 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 흰 테두리를 더해도 검은 타일 수는 변하지 않아요. 그래서 (흰 $-$ 검정) 의 차이는 새로 들어온 흰 타일 수만큼 변합니다. 원래 차이는 $6 - 13 = -7$, 흰 타일 $18$ 개가 더해지면 $-7 + 18 = 11$. 같은 답 (C), 단 한 줄의 계산으로 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (새 흰 타일을 원래 흰 타일에 더하고 검은 타일을 빼서 (흰색) $-$ (검정) 의 답을 구하는 데 사용.)
  • 4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 그 특징을 찾기 (겹별 타일 수 $6, 12, 18, \ldots$ 의 "한 겹마다 $+6$" 규칙을 읽어 새 테두리가 $18$ 개임을 예측하는 데 사용.)

⭐ 육각형 새 겹은 매번 정확히 $6$ 개씩 늘어요 — 규칙만 알면 새 테두리 크기는 저절로 정해지고, 남은 건 뺄셈 한 줄뿐이에요.

⭐ 육각형 새 겹은 매번 정확히 $6$ 개씩 늘어요 — 규칙만 알면 새 테두리 크기는 저절로 정해지고, 남은 건 뺄셈 한 줄뿐이에요.

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