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AMC 8 · 2002 · #11

학년 4 geometry-2dcounting
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases
perfect-squarespattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperfect-squares
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
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문제

A sequence of squares is made of identical square tiles. The edge of each square is one tile length longer than the edge of the previous square. The first three squares are shown. How many more tiles does the seventh square require than the sixth?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
11
(B)
12
(C)
13
(D)
14
(E)
15
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 타일로 정사각형들을 차례로 만듭니다. 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 깁니다. $7$ 번째 정사각형은 $6$ 번째 정사각형보다 타일이 몇 개 더 필요한가요?

주어진 것: 정사각형들은 같은 크기의 단위 타일로 빈틈 없이 채워져 있다; 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 길다; 그림에서 처음 세 정사각형의 한 변은 각각 $1$, $2$, $3$ 이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: $(7\text{번째 정사각형의 타일 수}) - (6\text{번째 정사각형의 타일 수})$

이해

문제 재정리: 단위 타일로 정사각형들을 차례로 만듭니다. 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 깁니다. $7$ 번째 정사각형은 $6$ 번째 정사각형보다 타일이 몇 개 더 필요한가요?

주어진 것: 정사각형들은 같은 크기의 단위 타일로 빈틈 없이 채워져 있다; 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 길다; 그림에서 처음 세 정사각형의 한 변은 각각 $1$, $2$, $3$ 이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

그림이 이미 처음 세 경우를 보여 주고 있어요. 이건 도구 #5(패턴 찾기)의 신호입니다 — 작은 정사각형들의 타일 수를 직접 세어 규칙을 찾으면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 패턴을 믿을 수 있게 만드는 안전장치예요. $n = 1, 2, 3$ 처럼 눈으로 셀 수 있는 작은 경우에서 규칙을 확인한 뒤에 큰 경우에 적용합니다. "$n$ 번째 정사각형은 $n^2$ 개의 타일" 규칙이 잡히면, $6$ 번째와 $7$ 번째 차이는 뺄셈 한 번으로 끝나요. 대수가 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.MD.C.7 단계 1
  • 그림에 나온 작은 경우들의 타일 수를 셉니다.
  • 첫 번째 정사각형은 $1 \times 1$, 두 번째는 $2 \times 2$, 세 번째는 $3 \times 3$ 입니다.
$$1\text{번째}: 1 \text{ 개}, \quad 2\text{번째}: 4 \text{ 개}, \quad 3\text{번째}: 9 \text{ 개}$$

💡 한 변이 $n$ 인 정사각형의 단위 타일 수를 세는 것은 3학년 "타일로 넓이 구하기 = 한 변 $\times$ 한 변" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2
  • $1, 4, 9$ 라는 수의 정체를 봅니다.
  • 각각 $1^2, 2^2, 3^2$ 이므로 $n$ 번째 정사각형의 타일 수는 $n^2$ 입니다.
  • 한 번 더 확인해 봅시다 — $4$ 번째 정사각형은 $4 \times 4 = 16$ 개일 텐데, 실제로 위에 한 줄, 오른쪽에 한 줄 더한 모양과 일치합니다.
$$n\text{번째 정사각형의 타일 수} = n^2$$

💡 맞아떨어지는 작은 경우 세 개에 확인용 네 번째까지 더해지면 규칙을 믿어도 됩니다 — 이게 4학년 "패턴을 만들고 분석하기" 활동입니다.

#5 패턴 찾기 3.MD.C.7 단계 3

규칙을 $6$ 번째와 $7$ 번째에 적용합니다.

$$6\text{번째}: 6^2 = 36, \quad 7\text{번째}: 7^2 = 49$$

💡 한 변만 더 큰 같은 그림 — 여전히 "한 변 $\times$ 한 변".

#5 패턴 찾기 3.OA.D.8 단계 4

차이를 구해 필요한 추가 타일 수를 얻습니다.

$$49 - 36 = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "몇 개 더" 는 3학년의 비교 빼기입니다.

[1] #9 3.MD.C.7 그림에 나온 작은 경우들의 타일 수를 셉니다. 첫 번째 정사각형은 $1 \times 1$, 두 번째는 $2 \times 2$, 세 번째는 $3
[2] #5 4.OA.C.5 $1, 4, 9$ 라는 수의 정체를 봅니다. 각각 $1^2, 2^2, 3^2$ 이므로 $n$ 번째 정사각형의 타일 수는 $n^2$ 입니다. 한
[3] #5 3.MD.C.7 규칙을 $6$ 번째와 $7$ 번째에 적용합니다.
[4] #5 3.OA.D.8 차이를 구해 필요한 추가 타일 수를 얻습니다.

검토

합리성 확인: $6$ 번째에서 $7$ 번째 정사각형으로 키우는 그림으로 확인해 봅시다. $6 \times 6$ 정사각형($36$ 개)에서 시작해서 위쪽에 $7$ 개, 오른쪽에 $7$ 개의 타일을 새로 붙입니다. 오른쪽 위 모서리 한 칸은 두 번 세지지 않도록 한 번 빼주면 추가 타일 수는 $7 + 7 - 1 = 13$ 개로 $49 - 36 = 13$ 과 일치합니다. 또한 연속된 정사각형들의 타일 수 차이는 $4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, \ldots$ 로 홀수 수열이므로 $6$ 번째에서 $7$ 번째로 가는 차이는 $6$ 번째 홀수 $= 2 \cdot 6 + 1 = 13$. 같은 답 (C).

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $6 \times 6$ 격자 위에 $7 \times 7$ 로 키우는 ㄱ자 테두리를 그려 보세요. 위쪽 한 줄 $7$ 개와 오른쪽 한 줄 $7$ 개에서 겹치는 모서리 한 칸을 한 번만 세면 $7 + 7 - 1 = 13$ 개. 제곱 계산 없이도 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하고, 직사각형의 넓이를 타일로 또는 한 변 $\times$ 한 변으로 구하기 (각 정사각형의 타일 수를 $n \times n$ 으로 세는 데 사용: 처음 세 정사각형은 $1, 4, 9$, $6$ 번째와 $7$ 번째는 $36, 49$.)
  • 3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (마지막에 "몇 개 더" 비교를 $49 - 36 = 13$ 으로 계산하는 데 사용.)
  • 4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형의 패턴을 만들고 분석하기 ($1, 4, 9$ 를 $1^2, 2^2, 3^2$ 으로 읽고, "$n$ 번째 정사각형 $= n^2$" 규칙을 $n = 6, 7$ 까지 확장하는 데 사용.)

⭐ 작은 경우($1, 4, 9$)를 세어 "정사각수" 규칙을 찾고, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ 으로 빼면 답 (C).

⭐ 작은 경우($1, 4, 9$)를 세어 "정사각수" 규칙을 찾고, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ 으로 빼면 답 (C).

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