AMC 8 · 2003 · #13

• 블록으로 입체를 쌓거나 그림으로 구조를 확인합니다.
• 바닥층은 텅 빈 직사각형 고리입니다: 앞쪽에 $3$ 개, 뒤쪽에 $3$ 개, 양 옆에 각각 $2$ 개씩 — 총 $10$ 개.
• 그 위 네 모서리 위치마다 정육면체 $1$ 개씩이 더 쌓여 $4$ 개가 추가됩니다.
• 합 $10 + 4 = 14$ — 문제의 개수와 일치합니다.

💡 단위정육면체로 입체를 합쳐 만드는 것은 1학년 공간 감각입니다. "바닥 고리 + 모서리 윗층" 으로 나누면 개수도 깔끔하고 세 가지 정육면체 유형도 곧장 보입니다.

• 규칙을 사용합니다: 정육면체 한 개의 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$.
• 입체의 바닥도 칠해지므로 바닥에 깔린 정육면체도 "바닥과 닿아서 가려진 면" 이 없습니다 — 가려진 면은 오직 이웃 정육면체와 붙은 면뿐입니다.

💡 한 번 닿을 때마다 양쪽 정육면체에서 면 하나씩이 가려집니다. "바닥도 칠한다" 한 줄 덕분에 바닥에 있는 정육면체에 별도 보정이 필요 없어 셈이 깔끔해집니다.

• $14$ 개의 정육면체를 세 종류로 나누고, 각 종류에서 한 개의 이웃 수를 셉니다.
• 유형 A — 바닥 모서리(네 모서리 자리에 있는 $4$ 개): 앞/뒤 변 방향 이웃 $1$ 개, 옆 변 방향 이웃 $1$ 개, 위에 쌓인 정육면체 $1$ 개 — 이웃 $3$ 개.
• 유형 B — 바닥 변의 중간($6$ 개, 고리 각 변의 중간 자리들): 고리를 따라 이웃 $2$ 개, 위에는 아무것도 없음.
• 유형 C — 윗층 모서리(쌓인 $4$ 개): 아래 정육면체 $1$ 개 외에는 이웃 없음, 이웃 $1$ 개.

💡 같은 위치 유형의 정육면체들은 대칭상 똑같이 행동하므로, 한 종류당 한 번만 세도 $14$ 개 전부가 정리됩니다.

• 각 유형에 $6 - \text{이웃 수}$ 를 적용합니다.
• 유형 A: $6 - 3 = 3$ 개.
• 유형 B: $6 - 2 = 4$ 개.
• 유형 C: $6 - 1 = 5$ 개.
• 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 유형 B 뿐이며, 그 종류의 개수는 $6$ 입니다.

💡 "빨간 면 $4$ 개" 는 "이웃 $2$ 개" 와 같은 말이고, 그 조건을 만족하는 자리는 고리 네 변의 중간뿐입니다.