AMC 8 · 2005 · #3

쉬운 모드 학년 5

문제

큰 정사각형 $ABCD$ 가 $4\times 4$ 의 작은 정사각형들로 나누어져 있다고 생각해봅시다. 그 중 몇 개의 작은 정사각형은 이미 검은색으로 칠해져 있어요.

이제 $B$ 에서 $D$ 로 가는 대각선이 대칭축이 되도록 만들고 싶습니다. 다시 말해, 대각선 $\overline{BD}$ 를 따라 그림을 접었을 때, 모든 검은 칸이 또 다른 검은 칸 위에 정확히 포개져야 합니다.

이를 위해 작은 정사각형을 몇 개 더 검게 칠해야 할 수도 있어요. 추가로 칠해야 하는 작은 정사각형의 최소 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCD$ 안에 $4 \times 4$ 격자가 있고, 작은 정사각형 다섯 개가 이미 검게 칠해져 있습니다. 대각선 $\overline{BD}$ 가 검은 패턴의 대칭축이 되도록 추가로 칠해야 하는 작은 정사각형의 최소 개수를 구하세요.

주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 는 $4 \times 4$ 격자로 나뉘어 있다; 이미 검게 칠해진 작은 정사각형은 다섯 개 (왼쪽 위 모서리, $B$ 근처 맨 윗줄의 두 칸, 오른쪽 변의 한 칸, $D$ 근처 맨 아랫줄의 한 칸); $\overline{BD}$ 가 검은 패턴의 대칭축이 되어야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 추가로 검게 칠해야 하는 작은 정사각형의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기

대칭축이라는 말은 곧 검은 패턴이 $\overline{BD}$ 에 대한 반사에 대해 변하지 않는다는 뜻입니다 — 도구 #11의 정의 그대로예요. 반사는 각 칸을 거울상 짝과 맞바꾸므로, 우리가 찾는 것은 숫자가 아니라 짝짓기입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 격자 위에 검은 칸을 모두 표시하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 검은 칸 하나하나의 거울상을 차례대로 적어 둡니다. 거울상이 아직 검은색이 아닌 칸이 곧 추가해야 할 칸이므로, 그 개수만 세면 최솟값이 나옵니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

각 칸을 부르기 좋게 격자에 좌표를 매깁니다.
$D$ 를 원점에 두면 열과 행이 $0$ 부터 $3$ 까지가 됩니다.
그러면 대각선 $\overline{BD}$ 는 직선 $y = x$ 가 되고, 열 $c$, 행 $r$ 의 칸을 이 직선에 대해 반사하면 열 $r$, 행 $c$ 의 칸으로 갑니다 — 두 수를 서로 바꾸기만 하면 돼요.

$$\overline{BD} \text{ 에 대한 반사}: \; (c, r) \longleftrightarrow (r, c)$$

💡 격자에 수직인 두 수직선으로 좌표계를 세우는 것은 5학년 "좌표계" 그대로이고, 거울상이 곧 "두 좌표 맞바꾸기" 라는 쉬운 규칙이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.G.A.2 단계 2

그림에서 이미 검은색인 다섯 칸을 $(\text{열}, \text{행})$ 좌표로 읽어 적습니다.

$$\text{검은 칸 집합} = \{(0,3),\; (1,0),\; (2,3),\; (3,1),\; (3,3)\}$$

💡 각 검은 칸에 좌표라는 이름을 붙이는 것은 5학년 "점 찍기" 단계 — 이제 정확하게 가리킬 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.3 단계 3

각 검은 칸의 두 좌표를 맞바꿔 $\overline{BD}$ 에 대한 거울상을 적습니다.
$(3,3)$ 은 대각선 위에 있으므로 자기 자신이 거울상입니다.

$$(0,3) \to (3,0), \;\; (1,0) \to (0,1), \;\; (2,3) \to (3,2), \;\; (3,1) \to (1,3), \;\; (3,3) \to (3,3)$$

💡 직선에 대한 대칭은 4학년 "대칭축" 그대로입니다. 모든 점에는 반대편에 짝이 있고, 대칭축 위의 점만 자기 자신이 짝이에요.

#11 변하지 않는 것 찾기 4.G.A.3 단계 4

각 거울상을 원래 검은 칸 목록과 대조합니다.
이미 검은색이면 그 짝은 대칭 조건을 만족합니다.
아니라면 그 거울상을 새로 칠해야 합니다.

$$(3,0), (0,1), (3,2), (1,3) \notin \text{검은 칸}; \;\; (3,3) \in \text{검은 칸}$$

💡 변하지 않는 성질은 "모든 검은 칸의 짝도 검은색" 입니다. 지금 그 성질이 깨진 자리를 모두 찾으면, 그게 바로 채워야 할 칸입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 4.G.A.3 단계 5

새로 칠해야 할 칸 수를 셉니다.
거울상 $(3,0), (0,1), (3,2), (1,3)$ 네 칸이 빠져 있으므로 정확히 이 네 칸을 칠해야 합니다.
이 네 칸을 추가하면 충분합니다 — 새로 칠한 칸의 거울상은 모두 원래 검은 칸 목록에 이미 있으니까요.

$$\text{최소 추가 칸 수} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 검은 칸이 검은 짝과 맞물리는 순간, 변하지 않는 성질이 회복되고 대각선이 진짜 대칭축이 됩니다.

[1] #1 5.G.A.1 각 칸을 부르기 좋게 격자에 좌표를 매깁니다. $D$ 를 원점에 두면 열과 행이 $0$ 부터 $3$ 까지가 됩니다. 그러면 대각선 $\overl

[2] #2 5.G.A.2 그림에서 이미 검은색인 다섯 칸을 $(\text{열}, \text{행})$ 좌표로 읽어 적습니다.

[3] #2 4.G.A.3 각 검은 칸의 두 좌표를 맞바꿔 $\overline{BD}$ 에 대한 거울상을 적습니다. $(3,3)$ 은 대각선 위에 있으므로 자기 자신이 거

[4] #11 4.G.A.3 각 거울상을 원래 검은 칸 목록과 대조합니다. 이미 검은색이면 그 짝은 대칭 조건을 만족합니다. 아니라면 그 거울상을 새로 칠해야 합니다.

[5] #11 4.G.A.3 새로 칠해야 할 칸 수를 셉니다. 거울상 $(3,0), (0,1), (3,2), (1,3)$ 네 칸이 빠져 있으므로 정확히 이 네 칸을 칠해야

검토

합리성 확인: 추가 후 검은 칸 $9$ 개를 짝으로 묶어 확인합니다: $\{(0,3),(3,0)\}$, $\{(1,0),(0,1)\}$, $\{(2,3),(3,2)\}$, $\{(3,1),(1,3)\}$, 그리고 자기 거울상인 $(3,3)$. 모두 $y=x$ 에 대해 거울상 짝이므로 $\overline{BD}$ 가 진짜로 대칭축이 됩니다. 더 적게 가능할까요? 불가능합니다 — 원래 대각선 밖의 검은 칸 네 개 각각의 짝이 비어 있었고, 한 번에 한 칸만 채울 수 있으므로 최소 네 칸이 필요합니다. 이로써 (A), (B), (C), (E) 가 모두 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독으로: 종이를 대각선 $\overline{BD}$ 를 따라 머릿속(또는 실제)으로 접어 봅니다. 다섯 검은 칸은 각각 자기 짝이 있어야 할 자리로 포개집니다. 그 자리들 중 흰색인 곳을 표시하면 정확히 네 곳 — 왼쪽 위, 윗줄의 두 칸, 오른쪽 변, 아랫줄 칸의 거울상 위치가 비어 있습니다. 이 네 곳을 칠하면 접은 그림이 자기 자신과 일치하므로 답은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식하기 ($\overline{BD}$ 를 대칭축으로 다루어 모든 검은 칸이 검은 거울상 짝을 가져야 하고, 대칭축 위의 칸은 자기 자신이 짝이 됨을 사용.)
5.G.A.1 두 수직선으로 좌표계 구성하기 ($4 \times 4$ 격자에 열·행 좌표를 세워 대각선을 $y = x$ 로, 반사를 "좌표 맞바꾸기" 규칙으로 바꾸는 데 사용.)
5.G.A.2 점을 좌표평면에 나타내어 실생활·수학 문제 해결하기 (각 검은 칸을 순서쌍 $(c, r)$ 로 기록하고 그 짝 $(r, c)$ 를 같은 격자 위에서 찾는 데 사용.)

⭐ 대칭축이라는 말은 결국 모든 검은 칸에 검은 거울상 짝이 있다는 뜻이에요. 짝을 맞춰 보고 짝이 없는 칸을 칠하면 됩니다 — 네 칸이 비어 있었으니 답은 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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