AMC 8 · 2013 · #15

쉬운 모드 학년 6

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문제

세 개의 식이 주어졌어요. 각 식에는 빠진 지수가 하나씩 있어요.

첫 번째 식: $3^p + 3^4 = 90$ . 이 식이 참이 되게 하는 자연수 $p$ 를 찾으세요.
두 번째 식: $2^r + 44 = 76$ . 이 식이 참이 되게 하는 자연수 $r$ 을 찾으세요.
세 번째 식: $5^3 + 6^s = 1421$ . 이 식이 참이 되게 하는 자연수 $s$ 를 찾으세요.

$p$ , $r$ , $s$ 를 찾았다면, 셋을 모두 곱해보세요.

$p \times r \times s$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 개의 식에 각각 지수가 하나씩 숨어 있습니다: $3^p + 3^4 = 90$, $2^r + 44 = 76$, $5^3 + 6^s = 1421$. $p$, $r$, $s$ 를 구한 뒤 곱 $p \cdot r \cdot s$ 를 계산하세요.

주어진 것: $3^p + 3^4 = 90$; $2^r + 44 = 76$; $5^3 + 6^s = 1421$; 선택지: (A) $27$, (B) $40$, (C) $50$, (D) $70$, (E) $90$

구하는 것: 지수 $p$, $r$, $s$; 그 곱 $p \cdot r \cdot s$

이해

주어진 것: $3^p + 3^4 = 90$; $2^r + 44 = 76$; $5^3 + 6^s = 1421$; 선택지: (A) $27$, (B) $40$, (C) $50$, (D) $70$, (E) $90$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

세 식은 공유 변수가 없으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 정답 — 각 식을 독립적으로 풀고 마지막에 곱하면 됩니다. 각 식 안에서는 한쪽 변에 거듭제곱만 남기고 "이 밑(base)의 몇 제곱이 이 수가 되지?" 를 물어보면 됩니다. $b^1, b^2, b^3, \ldots$ 을 순서대로 올려 가며 목표 값과 맞춰 보는 것이 도구 #6(추측하고 확인하기)의 작은 사다리 버전입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1

첫 번째 식에서 $p$ 를 구합니다.
$3^4 = 81$ 을 계산해 양변에서 빼면 왼쪽에 $3$ 의 거듭제곱만 남습니다.

$$3^p + 81 = 90 \;\Rightarrow\; 3^p = 9 = 3^2 \;\Rightarrow\; p = 2$$

💡 $9 = 3^2$ 임을 알아채는 것이 6학년 "자연수 지수" 표준 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.1 단계 2

두 번째 식에서 $r$ 을 구합니다.
양변에서 $44$ 를 빼고, 남은 값을 $2$ 의 거듭제곱과 맞춥니다.

$$2^r + 44 = 76 \;\Rightarrow\; 2^r = 32 = 2^5 \;\Rightarrow\; r = 5$$

💡 $2$ 의 거듭제곱 ($2, 4, 8, 16, 32$) 을 하나씩 올려 가며 $32$ 에 닿는 과정이 도구 #6 의 축소판입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.1 단계 3

세 번째 식에서 $s$ 를 구합니다.
$5^3 = 125$ 를 계산해 양변에서 뺀 뒤, $6$ 의 거듭제곱을 하나씩 시험합니다.

$125 + 6^s = 1421 \;\Rightarrow\; 6^s = 1296$. 확인: $6^2 = 36$, $6^3 = 216$, $6^4 = 1296$. 따라서 $s = 4$.

💡 $1296$ 은 한눈에 알아보기 어렵지만 $6$ 을 네 번만 곱해 보면 바로 잡힙니다 — 전형적인 도구 #6 패턴입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 4

세 지수를 곱해 문제가 묻는 값을 만듭니다.

$$p \cdot r \cdot s = 2 \times 5 \times 4 = 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 작은 문제들이 끝난 뒤 마지막은 그저 3학년 자연수 곱셈입니다.

[1] #7 6.EE.A.1 첫 번째 식에서 $p$ 를 구합니다. $3^4 = 81$ 을 계산해 양변에서 빼면 왼쪽에 $3$ 의 거듭제곱만 남습니다.

[2] #6 6.EE.A.1 두 번째 식에서 $r$ 을 구합니다. 양변에서 $44$ 를 빼고, 남은 값을 $2$ 의 거듭제곱과 맞춥니다.

[3] #6 6.EE.A.1 세 번째 식에서 $s$ 를 구합니다. $5^3 = 125$ 를 계산해 양변에서 뺀 뒤, $6$ 의 거듭제곱을 하나씩 시험합니다.

[4] #7 3.OA.A.1 세 지수를 곱해 문제가 묻는 값을 만듭니다.

검토

합리성 확인: 값을 대입해 검산합니다: $3^2 + 3^4 = 9 + 81 = 90$ ✓, $2^5 + 44 = 32 + 44 = 76$ ✓, $5^3 + 6^4 = 125 + 1296 = 1421$ ✓. 곱 $2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ 은 선택지 (B) 와 일치하고, 세 양의 정수 지수의 곱이 될 수 있는 유일한 보기입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 선택지에 직접 적용해 봅니다. 세 지수는 양의 정수이고 곱이 $27, 40, 50, 70, 90$ 중 하나여야 합니다. 두 번째 식만 봐도 $2^r = 32$ 이므로 $r = 5$ 가 확정 — 곱은 $5$ 의 배수여야 합니다. 이로써 (A) $27$ 이 탈락하고, $p \leq 4$, $s \leq 4$ 라는 점에서 (D) $70$ 도 만들 수 없습니다. 남은 후보에서 $p = 2$, $s = 4$ 가 $2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ 을 주어 (B) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.A.1 자연수의 곱 해석 (세 지수를 모두 구한 뒤 마지막에 $2 \times 5 \times 4 = 40$ 을 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 ($3^4 = 81$, $5^3 = 125$ 를 계산하고 $9 = 3^2$, $32 = 2^5$, $1296 = 6^4$ 로 각 지수를 되찾는 데 사용.)

⭐ 식이 셋이라도 방법은 하나: 상수를 떼어 내고 "이 밑의 몇 제곱이 이 수일까?" 만 물으면 끝 — 모두 6학년 지수 실력입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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