AMC 8 · 2016 · #3
쉬운 모드 학년 6문제
네 명의 학생이 시험을 봤습니다. 그중 세 명의 점수는 점, 점, 점이에요.
네 명의 점수를 모두 평균 내면 점이 됩니다.
나머지 한 명의 점수는 몇 점일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 명의 학생이 시험을 봤습니다. 그중 세 명의 점수는 $70$, $80$, $90$ 점이고, 네 명의 평균 점수는 $70$ 점입니다. 나머지 한 명의 점수를 구하세요.
주어진 것: 알려진 세 점수: $70$, $80$, $90$; 학생 수 $= 4$; 네 점수의 평균 $= 70$; 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $55$, (D) $60$, (E) $70$
구하는 것: 네 번째 학생의 점수
이해
문제 재정리: 네 명의 학생이 시험을 봤습니다. 그중 세 명의 점수는 $70$, $80$, $90$ 점이고, 네 명의 평균 점수는 $70$ 점입니다. 나머지 한 명의 점수를 구하세요.
주어진 것: 알려진 세 점수: $70$, $80$, $90$; 학생 수 $= 4$; 네 점수의 평균 $= 70$; 선택지: (A) $40$, (B) $50$, (C) $55$, (D) $60$, (E) $70$
계획
주요 도구: #14 거꾸로 풀기
보조 도구: #2 변수로 나타내기
평균은 이미 주어졌으니, 평균 공식을 거꾸로 적용하면 됩니다 — 합을 $4$ 로 나누는 대신 평균에 $4$ 를 곱해 "전체 합" 을 복원하면 됩니다. 이게 도구 #14(거꾸로 풀기) 입니다. 합이 얼마여야 하는지를 알면, 네 번째 점수는 "전체 합 $-$ 알려진 세 점수의 합" 한 줄로 끝납니다. 도구 #2(변수로 나타내기) 로 모르는 점수를 $x$ 라고 두면 관계식이 깔끔하게 한 줄짜리 방정식이 됩니다.
실행 — 정답: A
6.EE.B.6 단계 1 - 모르는 값에 이름을 붙입니다.
- 네 번째 학생의 점수를 $x$ 라 하면 평균식을 방정식으로 쓸 수 있습니다.
💡 모르는 수를 문자로 두는 것은 6학년 "변수로 수를 표현하기" 그 자체입니다.
6.SP.B.5 단계 2 - 평균에서 합으로 거꾸로 거슬러 갑니다.
- 네 수의 평균은 "합 $\div 4$" 이므로, 합은 "평균 $\times 4$" 와 같습니다.
💡 "$4$ 로 나누기" 를 "$4$ 를 곱하기" 로 되돌리는 게 도구 #14 의 핵심 — 답에서 출발해 연산을 거꾸로 풉니다.
4.NBT.B.4 단계 3 알려진 세 점수를 더해, 전체 합 중 얼마가 이미 채워졌는지 봅니다.
💡 여러 자리 수의 단순 덧셈으로, 4학년 수준에서 충분히 할 수 있습니다.
6.EE.B.7 단계 4 - 네 번째 점수는 전체 합에서 알려진 세 점수를 뺀 나머지입니다.
- 빼서 $x$ 를 구합니다.
💡 $240 + x = 280$ 을 한 줄에 푸는 것은 6학년 일변수 방정식 풀이입니다.
6.EE.B.6 모르는 값에 이름을 붙입니다. 네 번째 학생의 점수를 $x$ 라 하면 평균식을 방정식으로 쓸 수 있습니다. 6.SP.B.5 평균에서 합으로 거꾸로 거슬러 갑니다. 네 수의 평균은 "합 $\div 4$" 이므로, 합은 "평균 $\times 4$" 와 같습니다. 4.NBT.B.4 알려진 세 점수를 더해, 전체 합 중 얼마가 이미 채워졌는지 봅니다. 6.EE.B.7 네 번째 점수는 전체 합에서 알려진 세 점수를 뺀 나머지입니다. 빼서 $x$ 를 구합니다. 검토
합리성 확인: 답을 다시 평균식에 대입해 보면 $\dfrac{70 + 80 + 90 + 40}{4} = \dfrac{280}{4} = 70$ 으로 주어진 평균과 정확히 일치합니다. 직관적으로도 잘 맞습니다 — 알려진 세 점수 ($70$, $80$, $90$) 의 평균은 $80$ 으로 목표 평균 $70$ 보다 $10$ 만큼 위에 있습니다. 세 점수가 합쳐서 $+10 \times 3 = +30$ 만큼 위로 치우쳐 있으니, 네 번째 점수는 평균보다 $30$ 만큼 아래여야 균형이 맞습니다. 즉 $70 - 30 = 40$ 으로, 선택지 (A) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #3(패턴 찾기) — 각 점수가 평균 $70$ 에서 얼마나 떨어졌는지로 균형을 맞춥니다. $70$ 은 $0$, $80$ 은 $+10$, $90$ 은 $+20$, 합쳐서 $+30$ 만큼 위로 치우쳤습니다. 네 번째 점수는 $-30$ 만큼 기여해야 하므로 $70 - 30 = 40$. 합 $280$ 을 직접 계산하지 않고도 같은 답 (A) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 능숙한 덧셈·뺄셈 (알려진 세 점수의 합 $70 + 80 + 90 = 240$ 과 $280 - 240 = 40$ 을 계산하는 데 사용.)6.EE.B.6실생활 문제 해결에서 수를 변수로 표현하고 식을 쓰기 (모르는 네 번째 점수를 $x$ 로 두어 평균 관계를 방정식으로 표현.)6.EE.B.7$x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($240 + x = 280$ 을 풀어 $x = 40$ 을 구함.)6.SP.B.5수치 데이터의 중심 경향(평균)으로 요약하기 (산술 평균의 정의 ($\text{합} \div \text{개수}$) 를 거꾸로 적용해 필요한 합 $70 \times 4 = 280$ 을 복원.)
⭐ 평균이 주어졌다면, 평균에 개수를 곱해 전체 합을 먼저 만드세요 — 그러면 빠진 값은 단 한 번의 뺄셈으로 나옵니다.
⭐ 평균이 주어졌다면, 평균에 개수를 곱해 전체 합을 먼저 만드세요 — 그러면 빠진 값은 단 한 번의 뺄셈으로 나옵니다.