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AMC 8 · 2020 · #4

쉬운 모드 학년 4
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문제

점으로 그려진 육각형 세 개가 왼쪽에서 오른쪽으로 점점 커지는 모습을 떠올려봅시다. (첫 번째 육각형은 점 하나입니다. 두 번째 육각형은 그 점 둘레에 점들이 한 줄로 둘려 있어요. 세 번째 육각형은 그 바깥에 또 한 줄이 둘려 있고요.)

이 규칙은 계속 이어집니다. 새로 만드는 육각형마다 바깥쪽에 점이 한 줄씩 더 둘러집니다.

그러면 그 다음(네 번째) 육각형에는 점이 모두 몇 개 있을까요?

(A) 35(B) 37(C) 39(D) 43(E) 49\textbf{(A) }35 \qquad \textbf{(B) }37 \qquad \textbf{(C) }39 \qquad \textbf{(D) }43 \qquad \textbf{(E) }49

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35
(B)
37
(C)
39
(D)
43
(E)
49
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 점으로 그려진 정육각형이 크기 순서대로 세 개 주어져 있습니다. 첫 번째 육각형에는 점이 $1$ 개, 두 번째에는 $7$ 개, 세 번째에는 $19$ 개 있고, 갈수록 바깥쪽으로 점이 한 겹씩 더해집니다. 같은 방식으로 점을 한 겹 더 두른 네 번째 육각형의 점은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 첫 번째 육각형: 점 $1$ 개 (가운데 한 점); 두 번째 육각형: 세 줄에 점이 위에서부터 $2, 3, 2$ 개 → 합 $7$ 개; 세 번째 육각형: 다섯 줄에 점이 $3, 4, 5, 4, 3$ 개 → 합 $19$ 개; 다음 육각형은 바깥쪽에 점을 한 겹 더 두른 모양; 선택지: (A) $35$, (B) $37$, (C) $39$, (D) $43$, (E) $49$

구하는 것: 네 번째 육각형에 있는 점의 총 개수

이해

문제 재정리: 점으로 그려진 정육각형이 크기 순서대로 세 개 주어져 있습니다. 첫 번째 육각형에는 점이 $1$ 개, 두 번째에는 $7$ 개, 세 번째에는 $19$ 개 있고, 갈수록 바깥쪽으로 점이 한 겹씩 더해집니다. 같은 방식으로 점을 한 겹 더 두른 네 번째 육각형의 점은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 첫 번째 육각형: 점 $1$ 개 (가운데 한 점); 두 번째 육각형: 세 줄에 점이 위에서부터 $2, 3, 2$ 개 → 합 $7$ 개; 세 번째 육각형: 다섯 줄에 점이 $3, 4, 5, 4, 3$ 개 → 합 $19$ 개; 다음 육각형은 바깥쪽에 점을 한 겹 더 두른 모양; 선택지: (A) $35$, (B) $37$, (C) $39$, (D) $43$, (E) $49$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

$n = 1, 2, 3$ 번째 육각형이 이미 그림으로 주어져 있고, 묻는 것은 $n = 4$ 일 때. "다음 항은 무엇인가?" 형식이라 도구 #5(패턴 찾기) 가 풀이의 중심축입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 사실 절반은 끝나 있는 셈입니다 — 작은 사례들이 이미 눈앞에 있으니 잘 "읽어내기" 만 하면 됩니다. 거기에 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 줄별 점 개수를 위에서 아래까지 한 줄도 빠뜨리지 않고 나열한 뒤 더하면 끝납니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 로 객관식 선택지와 대조해 답을 확정합니다. 총합 $1, 7, 19, \ldots$ 자체로 차분(도구 #14) 을 잡거나 다항식(도구 #13) 으로 가는 길도 있지만, 줄 단위 구조가 그림에서 바로 보이는 만큼 4학년 "규칙 찾기" 수준에서 충분히 해결됩니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1
  • 주어진 세 육각형을 줄 단위로 읽습니다.
  • 첫 번째는 한 줄에 점 $1$ 개, 두 번째는 세 줄에 $2, 3, 2$ 개, 세 번째는 다섯 줄에 $3, 4, 5, 4, 3$ 개.
  • 각 줄의 점 개수가 위아래 대칭이고, 가운데 줄이 가장 깁니다.
$$1;\quad 2,3,2;\quad 3,4,5,4,3$$

💡 이미 주어진 세 그림이 곧 "더 쉬운 사례" 입니다. 줄별로 차근차근 읽는 것 자체가 4학년 "규칙 설명하기" 그대로예요.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2
  • 규칙을 정리해 봅시다.
  • $n$ 번째 육각형의 줄 수는 $2n - 1$ 줄이고, 줄별 점 개수는 위에서부터 $n$ 으로 시작해 한 줄마다 $1$ 씩 늘어 가운데 줄에서 $2n - 1$ 이 됐다가 다시 $1$ 씩 줄어 $n$ 으로 끝납니다.
  • 확인: $n = 2$ 면 $2, 3, 2$, $n = 3$ 이면 $3, 4, 5, 4, 3$ — 주어진 그림과 정확히 같습니다.
$$n=2:\ 2,3,2\ \checkmark\qquad n=3:\ 3,4,5,4,3\ \checkmark$$

💡 "다음 줄의 점 개수는 바로 전 줄보다 하나 많다(가운데를 지나면 하나 적다)" 라는 4학년 "수의 규칙 만들기" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 3
  • 규칙에 $n = 4$ 를 넣어 봅시다.
  • 줄 수는 $2 \times 4 - 1 = 7$ 줄, 줄별 점 개수는 $4, 5, 6, 7, 6, 5, 4$ 입니다.
  • 위에서 아래로 빠짐없이 한 줄씩 나열해 빠뜨리거나 두 번 세지 않도록 합니다.
$$4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4$$

💡 위에서 아래로 순서대로 나열하면 어떤 줄도 빠지거나 겹치지 않습니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 4
  • 줄별 점 개수를 모두 더해 총합을 구합니다.
  • 위·아래 대칭인 바깥쪽 줄끼리 짝을 지어 더하면 계산이 한결 깔끔합니다 — $4 + 4 = 8$, $5 + 5 = 10$, $6 + 6 = 12$ 에 가운데 줄 $7$ 을 더합니다.
$$4+5+6+7+6+5+4 = (4+4)+(5+5)+(6+6)+7 = 8+10+12+7 = 37$$

💡 $1000$ 이내 작은 자연수 일곱 개를 더하는 일은 3학년 "세 자리 수 이내 덧셈을 능숙하게" 표준이면 충분합니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 5
  • 총합 $37$ 을 선택지에서 확인합니다.
  • (B) 와 일치합니다.
$$37 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 객관식 문제에서는 마지막으로 구한 값이 선택지 안에 정말 있는지 확인하는 습관이 중요합니다.

[1] #9 4.OA.C.5 주어진 세 육각형을 줄 단위로 읽습니다. 첫 번째는 한 줄에 점 $1$ 개, 두 번째는 세 줄에 $2, 3, 2$ 개, 세 번째는 다섯 줄에 $
[2] #5 4.OA.C.5 규칙을 정리해 봅시다. $n$ 번째 육각형의 줄 수는 $2n - 1$ 줄이고, 줄별 점 개수는 위에서부터 $n$ 으로 시작해 한 줄마다 $1$
[3] #2 4.OA.C.5 규칙에 $n = 4$ 를 넣어 봅시다. 줄 수는 $2 \times 4 - 1 = 7$ 줄, 줄별 점 개수는 $4, 5, 6, 7, 6, 5, 4
[4] #5 3.NBT.A.2 줄별 점 개수를 모두 더해 총합을 구합니다. 위·아래 대칭인 바깥쪽 줄끼리 짝을 지어 더하면 계산이 한결 깔끔합니다 — $4 + 4 = 8$,
[5] #3 4.OA.C.5 총합 $37$ 을 선택지에서 확인합니다. (B) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 총합을 순서대로 적으면 $1, 7, 19, 37$ 이고 이웃한 항의 차이는 $6, 12, 18$ — $6$ 씩 늘어나는 깔끔한 등차 패턴입니다. 이유도 자연스럽습니다: $n$ 번째에서 $(n+1)$ 번째 육각형으로 갈 때 바깥쪽에 새로운 "육각 띠" 한 겹이 둘러지는데, 한 변에 $n$ 개씩 여섯 변이라 정확히 $6n$ 개의 점이 더해집니다. 그래서 네 번째 육각형은 $19 + 6 \times 3 = 19 + 18 = 37$ — 답 (B) 와 일치합니다. 다섯 번째라면 $37 + 6 \times 4 = 61$ 이 되어, 중심 육각수 공식 $3n^2 - 3n + 1$ 에 $n = 5$ 를 넣은 값과 같다는 확인까지 됩니다.

대안 접근: 도구 #14(차이의 규칙) 로도 풀 수 있습니다. 총합 $1, 7, 19, ?$ 의 일차 차분은 $6, 12$, 이차 차분은 $6$ 으로 일정합니다. 이차 차분이 일정하면 다음 일차 차분은 $12 + 6 = 18$, 따라서 다음 총합은 $19 + 18 = 37$ — 같은 답 (B) 가 다른 길로 나옵니다. 다만 이 풀이는 그림 속 줄 구조를 그냥 지나치게 되어, 어린 학습자에게는 줄 단위 풀이가 더 직관적입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ($n = 1, 2, 3$ 번째 육각형의 줄별 점 개수를 읽어 "줄 수는 $2n - 1$, 줄별 점 개수는 $n$ 부터 $1$ 씩 늘어 가운데 $2n - 1$ 까지 갔다가 다시 $1$ 씩 줄어 $n$ 으로 끝난다" 는 규칙을 세우고, $n = 4$ 에 적용해 $4, 5, 6, 7, 6, 5, 4$ 를 도출하는 데 사용.)
  • 3.NBT.A.2 $1000$ 이내의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 하기 (네 번째 육각형의 줄별 점 개수 $4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 = 37$ 을 계산해 총 점의 개수를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙 찾기" 와 약간의 3학년 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙 찾기" 와 약간의 3학년 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

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