AMC 8 · 2023 · #4

• $7 \times 7$ 격자를 가볍게 그려 보고 나선의 기준점을 표시한다.
• 가운데 $1$에서 시작한 나선은 바깥쪽으로 감겨 나가면서 각 층의 끝에서 완전제곱수에 도달한다: 가운데의 $1 = 1^2$, 그 다음 $9 = 3^2$, 그 다음 $25 = 5^2$, 마지막으로 $49 = 7^2$.
• 이 **홀수** 완전제곱수들은 모두 격자의 왼쪽 위 → 오른쪽 아래 대각선, 즉 $7$이 있는 그 대각선 위에 놓인다.
• 따라서 네 개의 음영 칸은 모두 이 대각선 위에서 $9$, $25$, $49$ 같은 기준점 근처에 있다.

💡 "층 $n$이 $n^2$에서 끝난다"는 규칙을 발견하는 일은 4학년 수 규칙 만들기 수준이다.

• 그림에서 나선의 방향을 읽는다.
• 홀수 완전제곱수(각 층의 오른쪽 아래 모서리)를 적은 다음, 나선은 한 칸 **위로** 올라가 다음 층을 시작하고 그 후 **왼쪽**으로 꺾인다.
• 그래서 $25 = 5^2$ 바로 위 칸은 $26$이고, 그 왼쪽은 $27$, 그렇게 이어진다.
• 오른쪽 아래 쪽 음영 칸(즉 $7$-대각선에서 $25$ 옆에 있는 칸)은 사실 $5 \times 5$ 층의 아래 가장자리에서 $25$로 들어오기 직전 두 칸 떨어진 자리이다.
• $25$에서 거꾸로 세면 $25, 24, \mathbf{23}$.
• 따라서 오른쪽 아래 음영 칸은 $\mathbf{23}$.

💡 나선 경로를 한 칸씩 따라가는 일은 4학년 격자 패턴 추적 수준이다.

• 나머지 세 음영 칸도 같은 방식으로 가까운 홀수 완전제곱수 모서리에서 출발해 나선을 따라간다.
• • 오른쪽 위 음영 칸: 기준은 $16 = 4^2$(이는 $5 \times 5$ 층의 왼쪽 위 모서리이며, 나선은 $16 \to 17$에서 아래로 한 칸 내려간 뒤 오른쪽으로 꺾는다).
• $17$에서 위쪽 가장자리를 따라 두 칸 가면 $17, 18, \mathbf{19}$.
• • 왼쪽 위 음영 칸: 기준은 $36 = 6^2$($7 \times 7$ 층의 왼쪽 위 모서리).
• $36$에서 위쪽 가장자리를 따라 세 칸 가면 $36, 37, 38, \mathbf{39}$.
• • 왼쪽 아래 음영 칸: 기준은 $49 = 7^2$(전체 격자의 오른쪽 아래 모서리).
• 아래쪽 가장자리를 따라 두 칸 거꾸로 가면 $49, 48, \mathbf{47}$.

💡 각 기준점에서 한두 칸씩 세어 네 수를 빠짐없이 적는 일은 4학년 패턴 규칙 적용이다.

• 이제 네 수의 소수 여부를 확인한다.
• 소수란 $1$보다 큰 정수 중 약수가 $1$과 자기 자신뿐인 수이다.
• • $19$: $2, 3$(자릿수 합 $1+9=10$이 3의 배수가 아님), $5$로 나누어지지 않고, $4^2 = 16 < 19 < 25 = 5^2$이므로 $4$ 이하의 소수까지만 확인하면 된다.
• **소수.** • $23$: $2, 3, 5$로 나누어지지 않고, $\sqrt{23} < 5$.
• **소수.** • $39 = 3 \times 13$.
• **합성수.** • $47$: $2, 3, 5$로 나누어지지 않고, $7 \times 7 = 49 > 47$이므로 $6$ 이하의 소수까지만 확인하면 된다.
• **소수.** 네 수 중 세 개가 소수다.

💡 약수 쌍을 찾아 소수/합성수를 판정하는 것은 정확히 4학년 표준 4.OA.B.4에 해당한다.

네 음영 수 중 소수는 $19, 23, 47$의 세 개이므로 정답은 $3$, 즉 보기 **(D)**.

💡 조건("소수")을 만족하는 항목의 개수를 세는 일은 4학년 소수/합성수 학습 안에서 자연스럽다.