AMC 10 · 2019 · #13

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangecaseworklinear-equations-one-var caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,6,8,17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$\textbf{(A) } -5 \qquad\textbf{(B) } 0 \qquad\textbf{(C) } 5 \qquad\textbf{(D) } \frac{15}{4} \qquad\textbf{(E) } \frac{35}{4}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

(C)

(D)

$\frac{15}{4}$

(E)

$\frac{35}{4}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 수 $4, 6, 8, 17, x$ 의 중앙값과 평균이 같아지도록 하는 모든 실수 $x$ 의 합을 구하시오.

주어진 것: 고정된 네 수: $4, 6, 8, 17$; 다섯 번째 수 $x$ (실수, 미지수); 다섯 수의 평균 $= \dfrac{4+6+8+17+x}{5} = \dfrac{35+x}{5}$; 다섯 수의 중앙값은 $x$ 가 정렬에서 어느 자리에 들어가는지에 따라 달라짐; 선택지: $-5,\, 0,\, 5,\, \tfrac{15}{4},\, \tfrac{35}{4}$

구하는 것: 조건을 만족하는 모든 $x$ 의 합

이해

문제 재정리: 다섯 수 $4, 6, 8, 17, x$ 의 중앙값과 평균이 같아지도록 하는 모든 실수 $x$ 의 합을 구하시오.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #2(체계적 나열): $x \le 6$, $6 \le x \le 8$, $x \ge 8$ 의 세 경우에 따라 중앙값이 각각 $6, x, 8$ — 빠짐없이 세 경우만 점검. 도구 #7(쪼개기): 각 경우에서 평균 = 중앙값 식을 따로 풀고, 나온 $x$ 가 그 경우의 조건을 만족하는지 검사. 도구 #3 으로 두 경우는 자기 조건과 모순이라 탈락, 살아남는 한 값만 합. 대수도 한 경우당 한 줄이라 무거운 도구 불필요.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

평균을 일반식으로 적는다.
$4,6,8,17,x$ 의 평균은 모든 $x$ 에 대해 $\dfrac{35+x}{5}$.

$$\text{평균} = \dfrac{4+6+8+17+x}{5} = \dfrac{35+x}{5}$$

💡 6학년 자료: 평균 = 합 ÷ 개수.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.A.3 단계 2

$x$ 가 $\{4,6,8,17\}$ 정렬 안에서 어디에 들어가는지에 따라 중앙값의 경우를 빠짐없이 나열.
경우 A: $x \le 6$, 정렬은 $\dots,4,6,8,17$ 모양이라 중앙값 $= 6$.
경우 B: $6 \le x \le 8$, 정렬은 $4,6,x,8,17$ 이라 중앙값 $= x$.
경우 C: $x \ge 8$, 정렬은 $4,6,8,\dots$ 모양이라 중앙값 $= 8$.

$$\text{중앙값} \in \{6, \, x, \, 8\} \text{ (각각 } x \le 6,\; 6 \le x \le 8,\; x \ge 8\text{)}$$

💡 6학년 통계: 다섯 수의 중앙값은 정렬 후 $3$ 번째 값.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

경우 A — 중앙값 $= 6$.
평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = 6 \Rightarrow 35 + x = 30 \Rightarrow x = -5$.
경우 조건 $x \le 6$ 검사: $-5 \le 6$ ✓.
정렬 $-5, 4, 6, 8, 17$ 의 중앙값 $6$ — 유효해.

$$\dfrac{35+x}{5} = 6 \;\Rightarrow\; x = -5 \;\;(\le 6\;\checkmark)$$

💡 6학년 일차방정식: 양변에 $5$ 를 곱하면 $x$ 가 바로 나옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 4

경우 B — 중앙값 $= x$.
평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = x \Rightarrow 35 + x = 5x \Rightarrow x = \dfrac{35}{4} = 8.75$.
경우 조건 $6 \le x \le 8$ 검사: $8.75 > 8$ — 위배.
무효.

$$\dfrac{35+x}{5} = x \;\Rightarrow\; x = \tfrac{35}{4} = 8.75 \;\;(\not\le 8\;\boldsymbol{\times})$$

💡 6학년: 풀이는 나오지만 경우의 범위 $x \le 8$ 을 벗어남 — 탈락.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 5

경우 C — 중앙값 $= 8$.
평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = 8 \Rightarrow 35 + x = 40 \Rightarrow x = 5$.
경우 조건 $x \ge 8$ 검사: $5 < 8$ — 위배.
무효.

$$\dfrac{35+x}{5} = 8 \;\Rightarrow\; x = 5 \;\;(\not\ge 8\;\boldsymbol{\times})$$

💡 6학년: 후보 $x$ 가 자기 경우 범위를 벗어남 — 다시 탈락.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.5 단계 6

경우 A 만 살아남고 $x = -5$.
따라서 모든 유효 $x$ 의 합은 $-5$.

$$\text{합} = -5$$

💡 6학년 음수: 유효 값이 하나뿐이면 그 값이 곧 합.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.6 단계 7

$-5$ 를 선택지와 매칭.

$$-5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 6학년 수직선: $-5$ 가 선택지의 유일한 음수.

[1] #7 6.SP.B.5 평균을 일반식으로 적는다. $4,6,8,17,x$ 의 평균은 모든 $x$ 에 대해 $\dfrac{35+x}{5}$.

[2] #2 6.SP.A.3 $x$ 가 $\{4,6,8,17\}$ 정렬 안에서 어디에 들어가는지에 따라 중앙값의 경우를 빠짐없이 나열. 경우 A: $x \le 6$, 정렬은

[3] #7 6.EE.B.7 경우 A — 중앙값 $= 6$. 평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = 6 \Rightarrow 35 + x = 30 \Righta

[4] #7 6.EE.B.7 경우 B — 중앙값 $= x$. 평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = x \Rightarrow 35 + x = 5x \Righta

[5] #7 6.EE.B.7 경우 C — 중앙값 $= 8$. 평균 = 중앙값: $\dfrac{35+x}{5} = 8 \Rightarrow 35 + x = 40 \Righta

[6] #3 6.NS.C.5 경우 A 만 살아남고 $x = -5$. 따라서 모든 유효 $x$ 의 합은 $-5$.

[7] #3 6.NS.C.6 $-5$ 를 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: $x = -5$ 검산: 정렬 $-5, 4, 6, 8, 17$ 의 중앙값은 $6$. 평균은 $(-5+4+6+8+17)/5 = 30/5 = 6$. 중앙값 = 평균 ✓. 탈락한 경우도 합리: 경우 B 후보 $x = 8.75$ 는 $8 < x$ 라 $\{6,8\}$ 사이가 아니고, 경우 C 후보 $x = 5$ 는 $5 < 8$ 이라 "$8$ 이상"이 아님. 분류 자체가 정확.

대안 접근: 도구 #1(그림): 수직선에 $4, 6, 8, 17$ 을 표시하고 $x$ 가 $-\infty \to +\infty$ 로 움직일 때 중앙값을 그려본다. 중앙값은 $x \le 6$ 에서 일정한 $6$, $[6,8]$ 에서 기울기 $1$ 인 $y=x$, $x \ge 8$ 에서 일정한 $8$ — 꺾인 모양. 평균 $\tfrac{35+x}{5}$ 는 직선 하나. 세 구간과의 교점은 가장 왼쪽 구간 $y=6$ 에서 $x=-5$ 하나뿐. 답 $(A)$ 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 중심을 나타내는 한 값으로 자료를 요약함을 이해 (다섯 수의 중앙값을 정렬한 뒤 $3$ 번째 값으로 확인.)
6.SP.B.5 관측 수와 중심·산포 측도로 수치자료 요약 (다섯 수의 평균을 $(35+x)/5$ 로 계산.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 (세 경우 각각에서 평균 = 중앙값 방정식을 풀어 $x$ 도출.)
6.NS.C.5 양수와 음수가 양을 나타냄을 이해 (음수 $x = -5$ 를 정당한 실수 해로 수용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해 ($x = -5$ 가 고정된 네 값 모두의 왼쪽에 놓임을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값 사고만 알면 풀 수 있어요! $x$ 의 위치에 따라 중앙값은 $6, x, 8$ 중 하나. 각 경우에서 평균 = 중앙값을 풀면 $x = -5$ (유효), $x = 35/4$ (범위 밖), $x = 5$ (범위 밖). 합법인 값은 $\mathbf{-5}$ 하나뿐, 답 $(A)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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