AMC 8 · 1999 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

perimeterpythagorean-theoremisosceles-trianglearea-rectangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In trapezoid $ABCD$ , the sides $AB$ and $CD$ are equal. The perimeter of $ABCD$ is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 $AB = CD$ (등변 사다리꼴) 입니다. 그림에서 평행한 두 변은 윗변 $BC = 8$, 아랫변 $AD = 16$ 이고, 사다리꼴의 높이(두 평행한 변 사이의 수직 거리)는 $3$ 입니다. $ABCD$ 의 둘레를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 $AB = CD$ 인 사다리꼴 — 즉 등변 사다리꼴; 윗변 $BC = 8$; 아랫변 $AD = 16$; 사다리꼴의 높이 $= 3$; 선택지: (A) $27$, (B) $30$, (C) $32$, (D) $34$, (E) $48$

구하는 것: 둘레 $AB + BC + CD + DA$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

빗변 길이는 모르지만 높이 $3$ 과 평행한 두 변 $8$, $16$ 은 주어져 있어요. 도구 #1(그림 그리기) 의 정석 보조선을 추가합니다 — $B$ 와 $C$ 에서 아랫변 $AD$ 로 수선을 내리는 거죠. 이 자르는 선 한 번으로 사다리꼴은 가운데 직사각형과 양옆 두 합동인 직각삼각형으로 나뉘고(등변이므로 합동), 이게 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 입니다 — 사다리꼴 문제가 쉬운 직각삼각형 하나의 피타고라스 문제로 바뀝니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

$B$ 와 $C$ 에서 아랫변 $AD$ 로 수선을 내리고, 만나는 점을 각각 $E$, $F$ 라 합니다.
가운데 조각 $BCFE$ 는 직사각형(두 쌍의 평행한 변 + 네 직각) 이고, 양옆 조각 $\triangle ABE$ 와 $\triangle CFD$ 는 $E$, $F$ 에서 직각을 가진 직각삼각형입니다.

$$BE = CF = 3, \quad EF = BC = 8$$

💡 6학년 "다각형을 더 간단한 도형으로 쪼개기" — 사다리꼴 자체보다 직사각형 + 직각삼각형 둘이 훨씬 다루기 쉬워요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

아랫변 $AD = 16$ 은 세 조각 $AE + EF + FD$ 로 이루어져 있습니다.
$EF = 8$ 이므로 양옆 튀어나온 두 구간 $AE$ 와 $FD$ 의 합은 $16 - 8 = 8$ 입니다.

$$AE + FD = 16 - 8 = 8$$

💡 긴 밑변을 "직사각형 폭 + 양옆 튀어나온 부분" 으로 쪼개는 6학년식 길이 산수입니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 3

등변 사다리꼴이므로 좌·우 직각삼각형은 거울대칭으로 합동이고, 두 튀어나온 구간도 같습니다: $AE = FD$.
나머지 $8$ 을 둘로 나누면 각 구간은 $4$ 입니다.

$$AE = FD = \dfrac{8}{2} = 4$$

💡 4학년에서 사다리꼴을 분류하면서 등변 사다리꼴이 세로 대칭축을 갖는다는 걸 배웁니다 — 이 대칭이 두 구간을 같게 만들어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

이제 $\triangle ABE$ 는 두 직각변이 $AE = 4$, $BE = 3$ 인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리로 빗변 $AB$ — 우리가 찾는 빗변 — 의 길이를 구합니다.

$$AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

💡 8학년 피타고라스 단골인 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형 — 계산기 필요 없어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 5

반대편 삼각형도 합동이므로 $CD = AB = 5$.
네 변을 모두 더합니다.

$$\text{둘레} = AB + BC + CD + DA = 5 + 8 + 5 + 16 = 34 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 네 변을 모두 알고 나면 4학년의 "둘레 = 변 길이의 합" 으로 마무리.

[1] #1 6.G.A.1 $B$ 와 $C$ 에서 아랫변 $AD$ 로 수선을 내리고, 만나는 점을 각각 $E$, $F$ 라 합니다. 가운데 조각 $BCFE$ 는 직사각형(

[2] #7 6.G.A.1 아랫변 $AD = 16$ 은 세 조각 $AE + EF + FD$ 로 이루어져 있습니다. $EF = 8$ 이므로 양옆 튀어나온 두 구간 $AE$

[3] #1 4.G.A.2 등변 사다리꼴이므로 좌·우 직각삼각형은 거울대칭으로 합동이고, 두 튀어나온 구간도 같습니다: $AE = FD$. 나머지 $8$ 을 둘로 나누면

[4] #7 8.G.B.7 이제 $\triangle ABE$ 는 두 직각변이 $AE = 4$, $BE = 3$ 인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리로 빗변 $AB$ — 우

[5] #7 4.MD.A.3 반대편 삼각형도 합동이므로 $CD = AB = 5$. 네 변을 모두 더합니다.

검토

합리성 확인: 빗변 길이를 삼각부등식과 어림으로 점검합시다. 빗변은 가로 $4$ 위로 세로 $3$ 만큼 올라가는 선이므로 $4$ 보다는 길고 $4 + 3 = 7$ 보다는 짧아야 해요 — $5$ 가 딱 그 사이입니다. 둘레 점검: 두 가로변이 이미 $8 + 16 = 24$ 를 차지하므로 둘레는 $24$ 를 넘어야 하고, $24$ 이하인 선택지는 즉시 탈락. 빗변 $5$ 두 개를 더하면 $24 + 10 = 34$ 로 (D) 와 일치. (E) $48$ 이려면 빗변 하나가 $12$ 여야 하는데 높이가 $3$ 인 짧은 사다리꼴에서는 너무 길고, (A) $27$ 이려면 빗변이 $1.5$ — 높이 $3$ 보다도 짧아 불가능합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 가로 두 변이 이미 $8 + 16 = 24$ 이므로 둘레 $= 24 + 2 \cdot (\text{빗변})$ 입니다. 빗변은 높이 $3$ 보다 길어야 하므로(빗변은 직각변보다 길다) 둘레는 $24 + 6 = 30$ 을 넘고, (A), (B) 탈락. 빗변의 가로 폭은 $16 - 8 = 8$ 의 절반인 $4$ 이므로 삼각부등식에 의해 빗변은 $4 + 3 = 7$ 미만, 따라서 둘레는 $24 + 14 = 38$ 미만이라 (E) 탈락. (C) $32$ 와 (D) $34$ 만 남고, 피타고라스 한 번 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 로 (D) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행선·수직선의 유무 또는 특정 크기의 각의 유무로 평면도형 분류하기 ($ABCD$ 를 등변 사다리꼴로 인식하고 그 대칭축을 이용해 두 튀어나온 구간 $AE$, $FD$ 가 같다는 결론을 내리는 데 사용.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식을 실세계·수학 문제에 적용하기 (사다리꼴의 둘레를 네 변 길이의 합 $5 + 8 + 5 + 16 = 34$ 로 계산하는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형 등으로 쪼개어 구하기 ($B$, $C$ 에서 아랫변으로 수선을 내려 사다리꼴을 가운데 직사각형 $BCFE$ 와 두 직각삼각형 $\triangle ABE$, $\triangle CFD$ 로 쪼개는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 실세계·수학 문제 속 직각삼각형의 미지의 변 길이를 구하기 (두 직각변이 $3$ (높이) 와 $4$ (튀어나온 구간) 인 직각삼각형에서 빗변 $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 높이선 두 개를 그어 사다리꼴을 직사각형 + 똑같은 직각삼각형 두 개로 쪼개고, $3$-$4$-$5$ 직각삼각형에 피타고라스 한 번이면 빗변 $= 5$ — 둘레 $5 + 8 + 5 + 16 = 34$, 답은 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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