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AMC 8 · 2003 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theoremperimeter area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-rectanglespythagorean-theoremlinear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The area of trapezoid ABCDABCD is 164 cm2164\text{ cm}^2. The altitude is 8 cm, ABAB is 10 cm, and CDCD is 17 cm. What is BCBC, in centimeters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
10
(C)
12
(D)
15
(E)
20
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 의 넓이는 $164\text{ cm}^2$, 높이는 $8\text{ cm}$, 빗변 $AB = 10\text{ cm}$, 빗변 $CD = 17\text{ cm}$ 입니다. 평행한 두 변은 윗변 $BC$ 와 아랫변 $AD$ 이고요. 윗변 $BC$ 의 길이를 구합니다.

주어진 것: 사다리꼴의 넓이: $164\text{ cm}^2$; 높이($BC$ 와 $AD$ 사이 수직 거리): $8\text{ cm}$; 빗변 $AB = 10\text{ cm}$, 빗변 $CD = 17\text{ cm}$; $BC \parallel AD$ — $BC$ 가 윗변, $AD$ 가 아랫변; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $20$

구하는 것: 윗변 $BC$ 의 길이 (cm 단위)

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 의 넓이는 $164\text{ cm}^2$, 높이는 $8\text{ cm}$, 빗변 $AB = 10\text{ cm}$, 빗변 $CD = 17\text{ cm}$ 입니다. 평행한 두 변은 윗변 $BC$ 와 아랫변 $AD$ 이고요. 윗변 $BC$ 의 길이를 구합니다.

주어진 것: 사다리꼴의 넓이: $164\text{ cm}^2$; 높이($BC$ 와 $AD$ 사이 수직 거리): $8\text{ cm}$; 빗변 $AB = 10\text{ cm}$, 빗변 $CD = 17\text{ cm}$; $BC \parallel AD$ — $BC$ 가 윗변, $AD$ 가 아랫변; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $20$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기

이 사다리꼴은 서로 독립된 정보 세 개(넓이, 높이, 두 빗변)를 들고 있어요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 우리가 이미 다룰 줄 아는 조각들로 잘려요: $B$ 와 $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내리면, 사다리꼴은 직사각형 한 개와 직각삼각형 두 개가 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이 분해를 눈에 보이게 해 주고, 수선을 그리는 순간 양옆 삼각형에 피타고라스 정리를 바로 쓸 수 있어요. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 마무리: 넓이 공식에서 $BC + AD = 41$, 삼각형 밑변에서 $AD = BC + 21$. 두 식을 연립해 풀면 됩니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1
  • 작은 문제 1 — 사다리꼴 넓이 공식을 씁니다.
  • 평행한 두 변 $BC, AD$ 와 높이 $8$ 을 공식 $A = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$ 에 넣으면 두 변을 잇는 한 줄짜리 식이 나와요.
  • 주어진 넓이와 높이를 대입해 정리합니다.
$$164 = \tfrac{1}{2}(BC + AD) \cdot 8 \;\Rightarrow\; 164 = 4(BC + AD) \;\Rightarrow\; BC + AD = 41$$

💡 6학년 "사다리꼴 넓이는 직사각형과 두 삼각형으로 쪼개 평균에 높이 곱". 공식은 그 "평균 내고 곱하기" 동작의 대수 버전입니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 2
  • 작은 문제 2 — $B$ 와 $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내리고, 발을 각각 $E, F$ 라고 부릅니다.
  • 그러면 사다리꼴이 세 조각으로 잘려요: 왼쪽 직각삼각형 $\triangle ABE$, 가운데 직사각형 $BCFE$, 오른쪽 직각삼각형 $\triangle CFD$.
  • 두 수직선 $BE, CF$ 는 모두 높이 $8$ 입니다.
$$AD = AE + EF + FD, \quad EF = BC, \quad BE = CF = 8$$

💡 그림을 그리면 구조가 드러납니다: 양 옆 직각삼각형 사이에 직사각형이 숨어 있고, 그 직사각형의 윗변이 정확히 $BC$ 예요. 아랫변 $AD$ 는 직사각형 가로 폭에 두 삼각형 발을 더한 것.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3
  • 각 양옆 직각삼각형에 피타고라스 정리를 써서 가로 발 길이를 구합니다.
  • $\triangle ABE$ 의 빗변은 $AB = 10$, 세로 변은 $BE = 8$.
  • $\triangle CFD$ 의 빗변은 $CD = 17$, 세로 변은 $CF = 8$.
  • 둘 다 익숙한 피타고라스 짝이에요.
$$AE = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6, \quad FD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$$

💡 $6\text{-}8\text{-}10$ 은 $3\text{-}4\text{-}5$ 의 $2$ 배, $8\text{-}15\text{-}17$ 은 AMC 단골 짝 — 둘 다 계산기 없이 바로 나옵니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 4
  • 조각을 합칩니다.
  • 아랫변 $AD$ 는 두 삼각형 발과 가운데 직사각형의 가로 폭 $EF = BC$ 의 합입니다.
  • 이걸로 $BC$ 와 $AD$ 를 잇는 두 번째 식이 만들어져요.
$$AD = AE + EF + FD = 6 + BC + 15 = BC + 21$$

💡 직사각형의 윗변 = 아랫변이므로 $EF = BC$. 결국 아랫변은 윗변에 "양쪽 튀어나온 부분" $6 + 15 = 21$ 을 더한 길이입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 5
  • 두 식 $\,BC + AD = 41\,$ 와 $\,AD = BC + 21\,$ 을 연립합니다.
  • 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 $BC$ 하나에 대한 식으로 줄어들어요.
$$BC + (BC + 21) = 41 \;\Rightarrow\; 2BC = 20 \;\Rightarrow\; BC = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 미지수 두 개의 연립일차방정식: 대입법으로 두 식이 한 식으로 합쳐집니다. 8학년 "연립방정식" 동작 한 번이 기하 문제의 끝을 매듭짓는 거예요.

[1] #7 6.G.A.1 작은 문제 1 — 사다리꼴 넓이 공식을 씁니다. 평행한 두 변 $BC, AD$ 와 높이 $8$ 을 공식 $A = \tfrac{1}{2}(b_1
[2] #1 7.G.B.6 작은 문제 2 — $B$ 와 $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내리고, 발을 각각 $E, F$ 라고 부릅니다. 그러면 사다리꼴이 세 조각으로 잘려
[3] #7 8.G.B.7 각 양옆 직각삼각형에 피타고라스 정리를 써서 가로 발 길이를 구합니다. $\triangle ABE$ 의 빗변은 $AB = 10$, 세로 변은 $
[4] #13 6.EE.A.2 조각을 합칩니다. 아랫변 $AD$ 는 두 삼각형 발과 가운데 직사각형의 가로 폭 $EF = BC$ 의 합입니다. 이걸로 $BC$ 와 $AD$ 를
[5] #13 8.EE.C.8 두 식 $\,BC + AD = 41\,$ 와 $\,AD = BC + 21\,$ 을 연립합니다. 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 $BC$ 하

검토

합리성 확인: $BC = 10$ 을 도로 그림에 넣어 확인합니다. $AD = 10 + 21 = 31$ 이고, 사다리꼴 넓이는 $\tfrac{1}{2}(10 + 31) \cdot 8 = \tfrac{1}{2} \cdot 41 \cdot 8 = 164\text{ cm}^2$ — 주어진 넓이와 정확히 일치합니다. 가로 발 $6, 15$ 와 높이 $8$ 로 만든 빗변은 $\sqrt{6^2+8^2}=10, \sqrt{15^2+8^2}=17$ 로 $AB, CD$ 와 맞고요. 모든 입력이 재현되니 답이 일관됩니다. 선택지 중 (E) $20$ 같은 큰 값을 넣어 보면 $AD = 41 - 20 = 21$ 이 되는데, 둘째 식에서는 $AD = 20 + 21 = 41$ 이라야 해서 모순 — 오답은 즉시 걸러집니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 각 선택지를 $BC$ 에 대입해 $AD = 41 - BC$ 와 $AD = BC + 21$ 이 동시에 맞는지 확인합니다. (A) $BC=9$: $AD=32$ vs $AD=30$ — 불일치. (B) $BC=10$: $AD=31$ vs $AD=31$ — 일치. (C) $BC=12$: $32$ vs $33$. (D) $BC=15$: $26$ vs $36$. (E) $BC=20$: $21$ vs $41$. 오직 (B) 만 두 조건을 동시에 만족합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

  • 6.G.A.1 직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (사다리꼴 넓이 공식 $A = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$ 에 넓이 $164$ 와 높이 $8$ 을 대입해 $BC + AD = 41$ 을 얻는 데 사용.)
  • 7.G.B.6 2차원·3차원 도형의 넓이·부피·겉넓이가 들어간 실생활 문제 풀기 ($B, C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내려 사다리꼴을 가운데 직사각형 + 양옆 두 직각삼각형으로 분해하는 데 사용.)
  • 8.G.B.7 직각삼각형의 모르는 변의 길이를 구할 때 피타고라스 정리 적용하기 ($6\text{-}8\text{-}10$ 짝에서 $AE = 6$, $8\text{-}15\text{-}17$ 짝에서 $FD = 15$ 를 구하는 데 사용.)
  • 6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 평가하기 (두 삼각형 발 $6, 15$ 와 직사각형 가로 폭 $BC$ 를 더해 아랫변을 $AD = BC + 21$ 로 표현하는 데 사용.)
  • 8.EE.C.8 두 개의 연립일차방정식을 분석하고 풀기 ($BC + AD = 41$ 과 $AD = BC + 21$ 의 연립을 대입법으로 풀어 $BC = 10$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 빗변이 있는 사다리꼴은 사실 직사각형 하나가 두 직각삼각형 사이에 숨어 있는 도형이에요. 높이를 내려 양옆 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰고, 마지막에 넓이 공식으로 마무리하면 답이 나옵니다.

⭐ 빗변이 있는 사다리꼴은 사실 직사각형 하나가 두 직각삼각형 사이에 숨어 있는 도형이에요. 높이를 내려 양옆 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰고, 마지막에 넓이 공식으로 마무리하면 답이 나옵니다.

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