AMC 8 · 2004 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theoremformula-substitution area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In the figure, $ABCD$ is a rectangle and $EFGH$ is a parallelogram. Using the measurements given in the figure, what is the length $d$ of the segment that is perpendicular to $\overline{HE}$ and $\overline{FG}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

6.8

(B)

7.1

(C)

7.6

(D)

7.8

(E)

8.1

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 안에 평행사변형 $EFGH$ 가 내접해 있습니다. 직사각형의 각 변에서 평행사변형의 꼭짓점이 변을 두 조각으로 나누고, 각 조각의 길이가 그림에 표시되어 있습니다 — 윗변: $AE=4, EB=6$, 오른쪽 변: $BF=5, FC=3$, 아랫변: $CG=4, GD=6$, 왼쪽 변: $DH=5, HA=3$. 평행사변형의 두 평행한 변 $\overline{HE}$ 와 $\overline{FG}$ 사이의 수직 거리 $d$ 를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 가로 $AE+EB = 4+6 = 10$, 세로 $BF+FC = 5+3 = 8$ 인 직사각형이다; $EFGH$ 는 직사각형의 각 변 위에 꼭짓점이 하나씩 놓인 내접 평행사변형이다; 변 조각: $AE=4$, $EB=6$, $BF=5$, $FC=3$, $CG=4$, $GD=6$, $DH=5$, $HA=3$; $d$ 는 평행한 두 변 $\overline{HE}$ 와 $\overline{FG}$ 사이의 수직 거리이다; 선택지: (A) $6.8$, (B) $7.1$, (C) $7.6$, (D) $7.8$, (E) $8.1$

구하는 것: $\overline{HE}$ 와 $\overline{FG}$ 에 모두 수직인 선분의 길이 $d$

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

평행사변형은 기울어져 있어 직접 재기 까다롭습니다. 도구 #16(여집합 세기)은 질문을 뒤집습니다 — $EFGH$ 를 재는 대신, 직사각형이 $EFGH$ 를 만들기 위해 내어준 네 모서리 직각삼각형을 잰 뒤 직사각형 넓이에서 빼는 것이죠. 기울어진 길이를 측정하지 않고도 평행사변형의 넓이가 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계 — 넓이 구하기와 밑변 $FG$ 구하기 — 로 나누고, 도구 #1(그림 그리기)로 각 모서리 삼각형의 두 다리 길이를 변 조각에서 그대로 읽어 옵니다. 넓이와 밑변을 손에 쥐면, 넓이 $=$ 밑변 $\times$ 높이 한 줄로 $d$ 가 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그림에서 네 모서리 직각삼각형을 읽어 옵니다.
잘려 나간 각 모서리는 직사각형의 두 변을 다리로 갖는 직각삼각형이므로, 두 다리의 길이는 그림에 표시된 변 조각 그대로입니다.
$A$ 모서리: 다리 $AE=4$, $AH=3$.
$B$ 모서리: 다리 $BE=6$, $BF=5$.
$C$ 모서리: 다리 $CF=3$, $CG=4$.
$D$ 모서리: 다리 $DG=6$, $DH=5$.

$$\triangle AEH:\;4,3 \quad \triangle BEF:\;6,5 \quad \triangle CFG:\;3,4 \quad \triangle DGH:\;6,5$$

💡 각 모서리는 직사각형의 $90^\circ$ 각이므로, 두 인접 변 위의 조각이 곧 두 다리 — 4학년 "도형에서 직각 찾기" 단원 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

네 모서리 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times \text{다리} \times \text{다리}$ 로 구합니다.
네 삼각형은 두 쌍의 합동으로 짝지어집니다 — $\triangle AEH \cong \triangle CFG$ ($3$-$4$ 직각삼각형) 와 $\triangle BEF \cong \triangle DGH$ ($5$-$6$ 직각삼각형).

$$2 \cdot \tfrac{1}{2}(4)(3) + 2 \cdot \tfrac{1}{2}(6)(5) = 12 + 30 = 42$$

💡 합동인 직각삼각형 두 쌍이라 각 쌍에서 하나만 계산해 두 배 — 6학년 직각삼각형 넓이 지름길입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 6.G.A.1 단계 3

여집합을 적용합니다.
평행사변형은 직사각형에서 네 모서리 삼각형을 뺀 나머지입니다.

$$[EFGH] = [ABCD] - 42 = (10)(8) - 42 = 80 - 42 = 38$$

💡 "전체에서 쉬운 부분 빼기" — 기울어진 변을 하나도 재지 않고 평행사변형 넓이가 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

작은 문제 2 — 피타고라스 정리로 밑변 $FG$ 를 구합니다.
$\triangle CFG$ 는 다리가 $CF=3$, $CG=4$ 인 직각삼각형이므로 빗변 $FG$ 는 전형적인 $3$-$4$-$5$ 의 $5$ 입니다.

$$FG = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

💡 8학년 피타고라스 정리를 $3$-$4$-$5$ 삼각형에 적용 — 정수 길이가 떨어져 가장 깔끔한 밑변이 됩니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 6.G.A.1 단계 5

$FG$ 를 밑변, $d$ 를 높이로 두고 평행사변형 넓이 공식에 넣습니다.
두 방식으로 구한 넓이를 같다고 놓고 $d$ 에 대해 풉니다.

$$[EFGH] = FG \cdot d \;\Rightarrow\; 38 = 5d \;\Rightarrow\; d = \tfrac{38}{5} = 7.6 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 같은 넓이를 두 가지 식으로 쓰고 등식으로 놓으면, 모르는 높이 $d$ 는 나눗셈 한 줄에 떨어집니다.

[1] #1 4.G.A.1 그림에서 네 모서리 직각삼각형을 읽어 옵니다. 잘려 나간 각 모서리는 직사각형의 두 변을 다리로 갖는 직각삼각형이므로, 두 다리의 길이는 그림에

[2] #7 6.G.A.1 네 모서리 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times \text{다리} \times \text{다리}$ 로 구합니다. 네 삼각형은

[3] #16 6.G.A.1 여집합을 적용합니다. 평행사변형은 직사각형에서 네 모서리 삼각형을 뺀 나머지입니다.

[4] #7 8.G.B.7 작은 문제 2 — 피타고라스 정리로 밑변 $FG$ 를 구합니다. $\triangle CFG$ 는 다리가 $CF=3$, $CG=4$ 인 직각삼각형

[5] #16 6.G.A.1 $FG$ 를 밑변, $d$ 를 높이로 두고 평행사변형 넓이 공식에 넣습니다. 두 방식으로 구한 넓이를 같다고 놓고 $d$ 에 대해 풉니다.

검토

합리성 확인: $d$ 의 크기를 점검해 봅시다. 직사각형은 가로 $10$, 세로 $8$ 이므로 안에 그릴 수 있는 선분의 길이는 최대 $\sqrt{10^2 + 8^2} \approx 12.8$. $d$ 는 윗변 근처에서 아랫변 근처까지 가로지르므로, 세로 $8$ 보다 약간 짧을 만한 값 — $7$ 과 $8$ 사이가 자연스럽습니다. 선택지 중 $7.6$ 이 깔끔하게 들어맞고, $6.8$ 은 가로지르기에 너무 짧으며 $7.8$ 이나 $8.1$ 이면 수선의 발이 $\overline{FG}$ 바깥으로 벗어납니다. 또한 평행사변형 넓이 $38$ 과 밑변 $FG=5$ 로부터 $d = 38/5 = 7.6$ 으로 반올림 없이 정확히 떨어집니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)을 좌표와 함께 사용합니다. $D=(0,0)$, $C=(10,0)$, $B=(10,8)$, $A=(0,8)$ 로 두면 $E=(4,8)$, $F=(10,3)$, $G=(6,0)$, $H=(0,5)$. 벡터 $\overrightarrow{HE} = (4, 3)$ 의 길이는 $5$ 이므로 $HE = FG = 5$ 확인. 평행사변형의 넓이는 $|\overrightarrow{HE} \times \overrightarrow{HG}|$, 여기서 $\overrightarrow{HG} = (6, -5)$ 이므로 $|4(-5) - 3(6)| = |-20 - 18| = 38$. 따라서 $d = 38 / 5 = 7.6$. 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점·직선·선분·반직선·각, 그리고 수직·평행 직선을 그리고 평면도형에서 식별하기 (직사각형의 각 모서리가 직각임을 인식하여, 표시된 변 조각이 곧 네 모서리 직각삼각형의 두 다리임을 읽어내는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·사각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 구하기 (네 모서리 삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times \text{다리} \times \text{다리}$ 로 구해 직사각형 넓이 $80$ 에서 빼서 평행사변형 넓이 $38$ 을 얻고, 밑변 $\times$ 높이 $=5d$ 로 $d$ 를 푸는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 미지 변의 길이 구하기 ($\triangle CFG$ 의 빗변으로 평행사변형 밑변 $FG$ 를 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형의 $5$ 로 구하는 데 사용.)

⭐ 기울어진 평행사변형은 직접 재기 어렵지만, 직사각형이 내어준 네 모서리 삼각형은 쉽습니다 — 그 합 $42$ 를 직사각형 넓이 $80$ 에서 빼면 넓이는 $38$, 다시 밑변 $FG=5$ ($3$-$4$-$5$ 삼각형) 로 나누면 $d = 7.6$ 으로 떨어집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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