AMC 8 · 2000 · #10
학년 6 arithmeticrate-ratio문제
Ara and Shea were once the same height. Since then Shea has grown 20% while Ara has grown half as many inches as Shea. Shea is now 60 inches tall. How tall, in inches, is Ara now?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Ara와 Shea는 예전에 키가 같았습니다. 그 뒤로 Shea는 키가 $20\%$ 자랐고, Ara는 Shea가 자란 길이의 절반(인치 기준)만큼 자랐습니다. 지금 Shea의 키는 $60$ 인치입니다. Ara의 지금 키는 몇 인치인가요?
주어진 것: Ara와 Shea의 예전 키는 같았다; Shea는 그 뒤로 키가 $20\%$ 자랐다; Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐다; Shea의 지금 키는 $60$ 인치; 선택지: (A) $48$, (B) $51$, (C) $52$, (D) $54$, (E) $55$
구하는 것: Ara의 지금 키 (인치)
이해
문제 재정리: Ara와 Shea는 예전에 키가 같았습니다. 그 뒤로 Shea는 키가 $20\%$ 자랐고, Ara는 Shea가 자란 길이의 절반(인치 기준)만큼 자랐습니다. 지금 Shea의 키는 $60$ 인치입니다. Ara의 지금 키는 몇 인치인가요?
주어진 것: Ara와 Shea의 예전 키는 같았다; Shea는 그 뒤로 키가 $20\%$ 자랐다; Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐다; Shea의 지금 키는 $60$ 인치; 선택지: (A) $48$, (B) $51$, (C) $52$, (D) $54$, (E) $55$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 나누기
보조 도구: #9 거꾸로 풀기
한 문장 안에 "백분율", "비교", "덧셈" 세 작은 아이디어가 들어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 (a) 지금 $60$ 인치에서 Shea의 옛 키를 되돌리고, (b) Shea가 자란 인치를 구하고, (c) 그 절반을 Ara의 옛 키에 더해 끝냅니다. (a)는 "$\times 1.2$ 를 되돌리기 위해 $1.2$ 로 나누기" — 도구 #9(거꾸로 풀기)의 전형적인 움직임입니다. 변수나 방정식 없이, 각 작은 문제는 한 줄 산수면 됩니다.
실행 — 정답: E
6.RP.A.3 단계 1 - 작은 문제 1: Shea의 옛 키를 되돌립니다.
- "$20\%$ 자랐다" 는 새 키가 옛 키의 $100\% + 20\% = 120\%$ 라는 뜻이므로 $60 = 1.2 \times (\text{옛 키})$.
- 양변을 $1.2$ 로 나눠 성장 효과를 되돌립니다.
💡 옛 키의 $120\%$ 가 $60$ 이라면 옛 키 자체($100\%$)는 $\tfrac{60}{1.2} = 50$ — 성장 배율로 나누어 한 발 되돌립니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 작은 문제 2: Shea가 자란 인치를 구합니다.
- 새 키에서 옛 키를 뺍니다.
💡 성장 길이는 새 키와 옛 키의 차 — 두 키를 알면 뺄셈 한 번이면 됩니다.
4.OA.A.2 단계 3 - 작은 문제 3: Ara가 자란 인치를 구합니다.
- Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐으므로 $10$ 인치의 절반을 잡습니다.
💡 "절반" 은 곱셈으로 표현되는 비교 — Shea의 성장에 $\tfrac{1}{2}$ 을 곱하면 Ara의 성장이 됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 정리: Ara의 옛 키는 Shea와 같은 $50$ 인치였고, 거기에 자란 $5$ 인치를 더합니다.
💡 지금 키 $=$ 옛 키 $+$ 자란 길이 — 세 작은 문제가 마지막 덧셈에서 합쳐집니다.
6.RP.A.3 작은 문제 1: Shea의 옛 키를 되돌립니다. "$20\%$ 자랐다" 는 새 키가 옛 키의 $100\% + 20\% = 120\%$ 라는 뜻이 4.OA.A.3 작은 문제 2: Shea가 자란 인치를 구합니다. 새 키에서 옛 키를 뺍니다. 4.OA.A.2 작은 문제 3: Ara가 자란 인치를 구합니다. Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐으므로 $10$ 인치의 절반 4.OA.A.3 정리: Ara의 옛 키는 Shea와 같은 $50$ 인치였고, 거기에 자란 $5$ 인치를 더합니다. 검토
합리성 확인: 크기 점검: Ara는 Shea보다 적게 자랐으니 지금 키는 $50$ 보다는 크고 $60$ 보다는 작아야 합니다. 답 $55$ 는 정확히 그 사이에 있어 자연스럽습니다. 백분율 단계도 거꾸로 확인: $1.2 \times 50 = 60$ 으로 Shea의 지금 키와 맞습니다. 함정 선택지도 흔한 실수와 짝지어 있습니다. (A) $48$ 은 Shea의 $20\%$ 성장을 $60$ 에서 $20\%$ 빼는 것으로 착각한 경우. (D) $54$ 는 $60$ 의 $20\%$ ($= 12$) 의 절반 ($= 6$) 을 더했지만, $20\%$ 는 옛 키 기준이라는 점을 놓친 경우입니다. (E) 를 골랐다는 건 백분율을 먼저 되돌린 뒤 절반을 잡았다는 뜻이에요.
대안 접근: 도구 #6(짐작하고 확인하기): Shea가 $20\%$ 자랐다면 옛 키는 $1.2$ 배가 $60$ 으로 깔끔하게 떨어지는 "좋은" 수일 가능성이 큽니다. $50$ 을 넣어 보면 $50 + 0.2 \times 50 = 50 + 10 = 60$. 딱 맞으니 옛 키는 $50$, 성장은 $10$ 인치. 그 절반은 $5$ 이므로 Ara는 $50 + 5 = 55$ — 나눗셈 없이도 같은 답 (E).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율을 이용해 실세계 문제 해결하기 (양의 백분율 구하기 포함) ("$20\%$ 성장" 을 곱셈 배율 $1.2$ 로 읽고, $60 \div 1.2 = 50$ 으로 옛 키를 되돌리는 데 사용.)4.OA.A.2곱셈·나눗셈을 이용한 "~배" 비교 문장제 해결하기 ("절반의 인치" 를 $\tfrac{1}{2} \times 10 = 5$ 라는 곱셈 단계로 바꿔 Ara의 성장을 구하는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결하기 ($60 - 50 = 10$ 으로 Shea의 성장을 구하고 $50 + 5 = 55$ 로 Ara의 지금 키를 더하는 데 사용.)
⭐ $20\%$ 성장은 새 값이 옛 값의 $1.2$ 배라는 뜻이라, $1.2$ 로 나누면 그대로 되돌릴 수 있어요. Shea가 자란 $10$ 인치를 알면 Ara의 "절반" 은 $5$ 인치이고, 같은 $50$ 인치에서 출발했으니 답은 $55$ — 선택지 (E).
⭐ $20\%$ 성장은 새 값이 옛 값의 $1.2$ 배라는 뜻이라, $1.2$ 로 나누면 그대로 되돌릴 수 있어요. Shea가 자란 $10$ 인치를 알면 Ara의 "절반" 은 $5$ 인치이고, 같은 $50$ 인치에서 출발했으니 답은 $55$ — 선택지 (E).