AMC 8 · 2000 · #17

학년 6 arithmetic

fraction-arithmeticfunction-evaluationorder-of-operations identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The operation $\otimes$ is defined for all nonzero numbers by $a\otimes b =\frac{a^{2}}{b}$ . Determine $[(1\otimes 2)\otimes 3]-[1\otimes (2\otimes 3)]$ .

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-rac{2}{3}$

(B)

$-rac{1}{4}$

(C)

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{2}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $0$ 이 아닌 두 수에 대해 새 연산이 $a \otimes b = \dfrac{a^{2}}{b}$ 로 정의되어 있어요. $[(1 \otimes 2) \otimes 3] - [1 \otimes (2 \otimes 3)]$ 의 값을 구하세요. 양쪽 식에 들어가는 세 수는 같지만 괄호 위치가 달라서, 어느 수가 "제곱되는 자리" 에 놓이는지가 달라집니다.

주어진 것: 규칙: $a \otimes b = \dfrac{a^{2}}{b}$; 계산할 식: $[(1 \otimes 2) \otimes 3] - [1 \otimes (2 \otimes 3)]$; 선택지: (A) $-\dfrac{2}{3}$, (B) $-\dfrac{1}{4}$, (C) $0$, (D) $\dfrac{1}{4}$, (E) $\dfrac{2}{3}$

구하는 것: $[(1 \otimes 2) \otimes 3] - [1 \otimes (2 \otimes 3)]$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

괄호 구조가 일을 네 번의 작은 대입으로 깔끔하게 나눠 주니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 자연스럽게 들어맞아요. 양쪽 모두 안쪽 $\otimes$ 를 먼저 계산하고, 그 결과를 바깥쪽 $\otimes$ 에 넣은 뒤 마지막에 두 값의 차를 구합니다. $\otimes$ 는 결합법칙이 성립하지 않으므로 — 왼쪽 수만 제곱되니까 — 양쪽 값은 같지 않고, 그 차이가 답입니다. AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기) 을 안전장치로 둡니다: 왼쪽은 매우 작고 오른쪽은 $1$ 에 가까우므로 차이는 반드시 음수, 이것만으로도 (C), (D), (E) 가 지워집니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

문제를 네 번의 대입으로 쪼갭니다.
왼쪽: 먼저 $1 \otimes 2$, 그 결과에 $\otimes 3$.
오른쪽: 먼저 $2 \otimes 3$, 그 결과에 $1 \otimes$.
마지막에 두 값을 빼면 끝.

$$[(1 \otimes 2) \otimes 3] - [1 \otimes (2 \otimes 3)]$$

💡 괄호를 먼저 처리하는 것은 5학년 "수식에서 괄호 사용하기" 그대로이고, 덕분에 풀어야 할 작은 문제가 네 개로 정리됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 2

왼쪽, 안쪽 $\otimes$.
규칙에 $a = 1$, $b = 2$ 를 대입합니다 — $1$ 을 제곱하고 $2$ 로 나눕니다.

$$1 \otimes 2 \;=\; \dfrac{1^{2}}{2} \;=\; \dfrac{1}{2}$$

💡 정의된 식의 글자 $a$, $b$ 자리에 수를 그대로 넣는 6학년 "문자가 수를 나타내는 식의 값 구하기" 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.A.1 단계 3

왼쪽, 바깥쪽 $\otimes$.
$\tfrac{1}{2}$ 를 $a$ 자리, $3$ 을 $b$ 자리에 대입합니다 — $\tfrac{1}{2}$ 를 제곱해 $\tfrac{1}{4}$, 그것을 $3$ 으로 나눕니다.

$$\left(\dfrac{1}{2}\right) \otimes 3 \;=\; \dfrac{(1/2)^{2}}{3} \;=\; \dfrac{1/4}{3} \;=\; \dfrac{1}{12}$$

💡 분수 $\tfrac{1}{4}$ 를 자연수 $3$ 으로 나누면 분모가 곱해져 $\tfrac{1}{4 \cdot 3} = \tfrac{1}{12}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 4

오른쪽, 안쪽 $\otimes$.
규칙에 $a = 2$, $b = 3$ 을 대입합니다 — $2$ 를 제곱해 $4$, $3$ 으로 나눕니다.

$$2 \otimes 3 \;=\; \dfrac{2^{2}}{3} \;=\; \dfrac{4}{3}$$

💡 같은 대입 동작이지만, 이번엔 왼쪽 입력이 $2$ 라 제곱이 의미를 갖고 결과가 $4$ 로 점프합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.A.1 단계 5

오른쪽, 바깥쪽 $\otimes$.
$1$ 을 $a$ 자리, $\tfrac{4}{3}$ 을 $b$ 자리에 대입합니다 — $1$ 을 제곱하고 $\tfrac{4}{3}$ 으로 나눕니다.
분수로 나누는 것은 그 역수 $\tfrac{3}{4}$ 를 곱하는 것과 같습니다.

$$1 \otimes \dfrac{4}{3} \;=\; \dfrac{1^{2}}{4/3} \;=\; 1 \cdot \dfrac{3}{4} \;=\; \dfrac{3}{4}$$

💡 "분수로 나누기" $=$ "역수를 곱하기" — 6학년 분수 나눗셈의 핵심 습관입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

오른쪽 값에서 왼쪽 값을 빼지 않도록 주의 — 왼쪽 $-$ 오른쪽 입니다.
공통분모 $12$ 로 통분합니다.

$$\dfrac{1}{12} - \dfrac{3}{4} \;=\; \dfrac{1}{12} - \dfrac{9}{12} \;=\; -\dfrac{8}{12} \;=\; -\dfrac{2}{3}$$

💡 $\tfrac{3}{4}$ 를 $\tfrac{9}{12}$ 로 다시 쓰는 것은 5학년 "공통분모" 단계이고, $-\tfrac{8}{12}$ 를 분자·분모 모두 $4$ 로 나눠 약분합니다.

#3 가능성 지우기 5.OA.A.1 단계 7

구한 값을 다섯 선택지와 맞춰 봅니다.
$-\tfrac{2}{3}$ 과 맞는 것은 (A) 뿐.
부호 검산으로 다른 선택지를 빠르게 지울 수도 있어요: 오른쪽 $\tfrac{3}{4}$ 가 왼쪽 $\tfrac{1}{12}$ 보다 훨씬 크니 차이는 음수 — 이미 (C), (D), (E) 가 지워지고, (B) $-\tfrac{1}{4}$ 는 크기가 맞지 않습니다.

$$-\dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 계산값을 다섯 선택지에 맞춰 보는 AMC 객관식 습관이 부호나 크기 실수를 잡아 줍니다.

[1] #7 5.OA.A.1 문제를 네 번의 대입으로 쪼갭니다. 왼쪽: 먼저 $1 \otimes 2$, 그 결과에 $\otimes 3$. 오른쪽: 먼저 $2 \otimes

[2] #7 6.EE.A.2 왼쪽, 안쪽 $\otimes$. 규칙에 $a = 1$, $b = 2$ 를 대입합니다 — $1$ 을 제곱하고 $2$ 로 나눕니다.

[3] #7 6.NS.A.1 왼쪽, 바깥쪽 $\otimes$. $\tfrac{1}{2}$ 를 $a$ 자리, $3$ 을 $b$ 자리에 대입합니다 — $\tfrac{1}{2}$

[4] #7 6.EE.A.2 오른쪽, 안쪽 $\otimes$. 규칙에 $a = 2$, $b = 3$ 을 대입합니다 — $2$ 를 제곱해 $4$, $3$ 으로 나눕니다.

[5] #7 6.NS.A.1 오른쪽, 바깥쪽 $\otimes$. $1$ 을 $a$ 자리, $\tfrac{4}{3}$ 을 $b$ 자리에 대입합니다 — $1$ 을 제곱하고 $\

[6] #7 5.NF.A.1 오른쪽 값에서 왼쪽 값을 빼지 않도록 주의 — 왼쪽 $-$ 오른쪽 입니다. 공통분모 $12$ 로 통분합니다.

[7] #3 5.OA.A.1 구한 값을 다섯 선택지와 맞춰 봅니다. $-\tfrac{2}{3}$ 과 맞는 것은 (A) 뿐. 부호 검산으로 다른 선택지를 빠르게 지울 수도 있

검토

합리성 확인: 부호와 크기를 점검해 봅시다. 오른쪽 값 $\tfrac{3}{4}$ 가 $1$ 에 가까운 까닭은 $1$ 을 $1$ 보다 살짝 큰 수 ($\tfrac{4}{3}$) 로 나누었기 때문입니다. 왼쪽 값 $\tfrac{1}{12}$ 가 훨씬 작은 까닭은 분수 ($\tfrac{1}{2}$) 를 제곱해 $\tfrac{1}{4}$ 로 더 작아진 뒤 다시 자연수 $3$ 으로 나누었기 때문입니다. 그러니 왼쪽 $-$ 오른쪽 은 "작은 값 $-$ $1$ 근처 값" — 분명히 음수이며 작지도 않습니다. $-\tfrac{2}{3}$ 과 잘 맞아요. 또한 답이 $0$ 이 아니라는 사실은 $\otimes$ 가 결합법칙을 만족하지 않는다는 점을 그대로 보여 줍니다 — 만약 결합법칙이 성립했다면 차이가 $0$ (선택지 (C)) 이 되었을 것이고, 사실 이 문제가 진짜로 묻는 것이 바로 그 차이예요.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): $\otimes$ 를 익숙한 함수 $f(a, b) = \dfrac{a^{2}}{b}$ 로 다시 쓰면, 식은 $f(f(1, 2),\, 3) - f(1,\, f(2, 3))$ — "이 함수가 결합법칙을 만족하는가?" 라는 표준 질문이 됩니다. $f(1, 2) = \tfrac{1}{2}$, $f(\tfrac{1}{2}, 3) = \tfrac{1}{12}$; 그리고 $f(2, 3) = \tfrac{4}{3}$, $f(1, \tfrac{4}{3}) = \tfrac{3}{4}$. 차이는 $\tfrac{1}{12} - \tfrac{3}{4} = -\tfrac{2}{3}$, 다시 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 수식에서 괄호, 대괄호, 중괄호를 사용하고 그 값 구하기 (괄호의 의미를 지켜 양쪽 모두 안쪽 $\otimes$ 를 먼저 계산하고, 마지막에 결과값을 객관식 선택지와 맞추는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (규칙 $\dfrac{a^{2}}{b}$ 의 글자 $a$, $b$ 자리에 네 번에 걸쳐 수를 대입해 식의 값을 구하는 데 사용 — 변수에 값을 넣어 식을 계산하는 동작 그 자체.)
6.NS.A.1 곱셈과 나눗셈 개념을 확장해 분수의 나눗셈 다루기 (왼쪽에서 $\dfrac{1/4}{3} = \tfrac{1}{12}$, 오른쪽에서 $\dfrac{1}{4/3} = \tfrac{3}{4}$ 을 계산하는 분수 나눗셈에 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈에서 공통분모 찾기 ($\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}$ 로 통분해 $\tfrac{1}{12} - \tfrac{9}{12} = -\tfrac{8}{12} = -\tfrac{2}{3}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 괄호가 "어느 수가 제곱되는지" 를 정하고, 분수를 제곱하면 더 작아지지만 자연수를 제곱하면 커지죠 — 바로 이 비대칭 때문에 양쪽 값이 같지 않고, 차이는 $-\tfrac{2}{3}$, 답은 (A) 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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